2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题16 二次函数的实际问题中最值问题(教师版)

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备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)
专题16 二次函数的实际问题中最值问题
【典型例题】
1．(2022·浙江东阳·九年级期末)工厂加工某花茶的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．
(1)求工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．
(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并尽可能让利于民，则定价应为多少元？
【答案】(1)工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为：．
(2)当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元．
(3)为了尽可能让利于民，则应该降价5元．
【解析】
【分析】
(1)由题意知，，整理即可；
(2)由的图象与性质可知当时，值最大，计算求解即可；
(3)令，则，计算求解满足要求的解即可．
(1)
解：由题意知

∴工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为．
(2)
解：由的图象和性质，可知当时，值最大，值为9800
∴当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元．
(3)
解：令
则
解得或
∵时，每天销售650千克，时，每天销售750千克

∴为了尽可能让利于民，则应该降价5元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程．解题的关键在于依据题意列等式．





【专题训练】
一、 解答题
1．(2021·广东南雄·九年级期中)某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天可售出60件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2件．试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多？最大盈利为多少元？
【答案】商场每件衬衫降价5元时，商场服装部每天盈利最多，最大盈利为2450元．
【解析】
【分析】
假设商场每件衬衫降价x元，利润为w元；根据题意，找出等量关系：商场降价后每天的盈利＝(40-降低的价格) (60+增加的件数)；利用等量关系把相关数值代入，即可得到二次函数解析式；最后利用二次函数最值求法得出即可．
【详解】
解：设商场每件衬衫降价x元，利润为w元，
w＝(40﹣x)(60+2x)＝﹣2x2+20x+2400＝﹣2(x﹣5)2+2450，
∴当x＝5时，w取得最大值，此时w＝2450
答：商场每件衬衫降价5元时，商场服装部每天盈利最多，最大盈利为2450元．
【点睛】
本题属于二次函数的应用中的销售问题，主要考查了二次函数的应用、二次函数的最值求法，找到销售利润的等量关系是解题的关键，难点是得到降价后增加的销售量．
2．(2021·山东·济宁学院附属中学一模)为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购种玩具，用5000元进购种玩具．已知一个种玩具进价比一个种玩具进价多5元，又知进购玩具的数量是玩具数量的2倍．
(1)，两种玩具的进价各是多少元？
(2)玩具店将种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售种玩具的单日利润最高，玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？
【答案】(1)A的进价是20元，B的进价是25元
(2)降价7元，最高利润是845元
【解析】
【分析】
(1)设B的进价为x元，则A的进价是(x−5)元，由题意得列出分式方程，解方程即可解得答案；
(2)设A玩具降价m元，单日利润是w元，可得w关于m的二次函数，据此即可得到答案．
(1)
解：设B的进价为x元，则A的进价是(x−5)元，
根据题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，
25-5=20(元)，
故A的进价是20元，B的进价是25元；
(2)
解：设A玩具降价m元，单日利润是w元，
根据题意得：，
故当时，单日利润最高，最高利润为845元，
故玩具应该降价7元销售，单日最高利润是845元．
【点睛】
本题考查了分式方程及二次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系及用含m的代数式表示w．
3．(2022·山东招远·九年级期末)新年前夕，金百超市在销售中发现：某服装平均每天可售出30套，每件盈利45元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．
(1)要想平均每天在销售服装上盈利1750元，那么每套应降价多少元？
(2)商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？
【答案】(1)应降价20元
(2)每套应降价15元
【解析】
【分析】
(1)设每件衬衫应降价元，利用每件利润×总销量=总利润，列方程求解即可；
(2)利用每件利润×总销量=总利润，进而求出二次函数最值即可．
(1)
(1)解：设每件衬衫应降价元，根据题意，得
，
解得，．
∵尽快减少库存，
∴
答：应降价20元．
(2)
解：设每件衬衫应降价元，总利润为元，根据题意，得．
，
当时，利润最大．
商场要想每天获取最大利润，每套应降价15元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程以及二次函数的应用，正确利用每件利润×总销量=总利润得出关系式是解题关键．
4．(2022·黑龙江龙凤·九年级期末)某景区超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W(元)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝﹣x+60(15≤x≤24)
(2)每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大值为324
【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
(2)根据“总利润＝每件的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
(1)
设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将(15，45)，(24，36)代入
，
解得：，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60(15≤x≤24)；
(2)
根据题意知，W＝(x﹣15)y
＝(x﹣15)(﹣x+60)
＝﹣x2+75x﹣900，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜时，W随x的增大而增大，
∴当15≤x≤24，时，W随x的增大而增大，
∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324，
答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大值为324，．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
5．(2022·山东莱芜·九年级期末)2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为(元)．

(1)求出每月的销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系式；
(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)当这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元
(3)当销售单价应定为60元，每月的最大利润为8000元
【解析】
【分析】
(1)根据题意可以利用待定系数法求出关系式．
(2)利润=单件利润×销量，我们可以得出总利润，根据二次函数的性质，即可解题．
(3)根据函数的性质，求出时的最大值就可．
(1)
设，把，和，代入得：
，解得，，所以；
(2)
；
即与之间的函数关系式为：；
，开口向下，
∴当时，有最大值9000，
当这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．
(3)
根据第二问得：当时，随的增大而增大，又因为，所以当时，，所以当销售单价应定为60元，每月的最大利润为8000元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．
6．(2021·山东城阳·一模)高尔夫球场各球洞因地形变化而出现不等的距离，因此每次击球受地形的变化影响很大．如图，OA表示坡度为1：5山坡，山坡上点A距O点的水平距离OE为40米，在A处安装4米高的隔离网AB．在一次击球训练时，击出的球运行的路线呈抛物线，小球距离击球点30米时达到最大高度10米，现将击球点置于山坡底部O处，建立如图所示的平面直角坐标系(O、A、B及球运行的路线在同一平面内)．

(1)求本次击球，小球运行路线的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)通过计算说明本次击球小球能否越过隔离网AB？
(3)小球运行时与坡面OA之间的最大高度是多少？
【答案】(1)
(2)小球不能飞越隔离网AB，理由见解析
(3)小球运行时与坡面OA之间的最大高度是4.9米
【解析】
【分析】
(1)设小球运行的函数关系式为y=a(x-30)2+10，把原点的坐标代入即可；
(2)由OE=40可得小球的高度，再利用坡度求出AE，比较即可；
(3)设小球运行时与坡面 OA 之间的高度是w米，求出解析式，再利用顶点式求出最大值即可．
(1)
设小球运行的函数关系式为y=a(x-30)2+10，
把(0，0)代入解析式得：900a+10=0，
解得：a=− ，
∴解析式为y=−(x-30)2+10；
(2)
小球不能飞越隔离网AB，理由如下：
将x=40代入解析式为：y=-×(40-30)2+10= ，
∵坡度为i=1：5，OE=40，
∴AE=8，AB=4，
∴BE=12，＜12，
∴小球不能飞越隔离网AB．
(3)
设OA的解析式为y=kx，
把(30，6)代入得：6=30k，解得k= ，
∴OA的解析式为y=x，
设小球运行时与坡面 OA 之间的高度是w米，
w=−(x-30)2+10-x=-x2+ x=-(x-21)2+4.9，
∵a＜0，
∴当x=21时，w最大是4.9，
答：小球运行时与坡面OA之间的最大高度是4.9米．
【点睛】
本题考查了点的坐标求法，一次函数、二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系．
7．(2021·山东青岛·一模)如图，一座温室实验室的横截面由抛物线和矩形组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的加湿管．

(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．
(2)若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？
(3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？
【答案】(1)y=-x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米
(2)至少是2.25米
(3)至少是8米
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件，用待定系数法求函数解析式，并用二次函数的性质求最值即可；
(2)先求出C点横坐标x=2，再代入(1)中解析式求出y=5.75，据此即可求得；
(3)先求出y=5.75+1.25=7，再代入解析式解方程，求值即可．
(1)
解：将点(0,4)，(16,4)分别代入y=-x2+bx+c中，
得：，
解得：，
∴y=-x2+x+4=-(x-8)2+8，
∵，
∴当x=8时，y有最大值，最大值为8，
∴抛物线的函数关系式为y=-x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米；
(2)
解：由题意得：C点横坐标为16÷2-12÷2=2，
将x=2代入y=-x2+x+4中，
解得：y=5.75，
8-5.75=2.25(米)，
∴加湿管与拱顶的距离至少是2.25米；
(3)
解：5.75+1.25=7(米)，
由题意得：y≤7，
当-x2+x+4=7时，
解得：x1=4，x2=12，
∴12-4=8，
∴恒温管的长度至少是8米．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
8．(2021·内蒙古额尔古纳·模拟预测)为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是元．超市规定每盒售价不得少于元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒元时，每天可以卖出盒，如果每盒售价每提高元，则每天要少卖出盒．
(1)试求出每天的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式；
(2)要使每天销售的利润为元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？
(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)售价应定为元
(3)每盒售价定为元时，每天销售的利润元最大，最大利润是元
【解析】
【分析】
(1)根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出方程，解方程取较小的值即可；
(3)根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．
(1)
解：由题意得销售量y＝700﹣20(x﹣45)＝﹣20x+1600，
∴每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式为y＝﹣20x+1600(45≤x＜80)；
(2)
解：由题意得：(x﹣40)(﹣20x+1600)＝6000，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
∵要让顾客得到最大的实惠，
∴x＝50，
∴售价应定为50元；
(3)
解：P＝(x﹣40)(﹣20x+1600)
＝﹣20x2+2400x﹣64000
＝﹣20(x﹣60)2+8000，
∵a＝﹣20＜0，45≤x＜80，
∴当x＝60时，P有最大值，最大值为8000，
∴每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8000元．
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数与一元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒商品子所获得的利润×销售量，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键．
9．(2022·江苏扬州·九年级期末)某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果700千克．据市场预测，该种水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y＝50＋2x．但保存这批水果平均每天将耗损15千克，且最多能保存8天．另外．批发商保存该批水果每天还需50元的费用．
(1)填空：若开发商保存3天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为 (元/千克)
(2)设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出．求批发商所获得的总利润w(元)与保存时间x(天)之间的函数关系式；
(3)填空：在(2)的条件下，批发商经营这批水果所获得的最大利润为 ．
【答案】(1)56
(2)w=-30x2+600x+7000；
(3)9880元．
【解析】
【分析】
(1)将x=3代入水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y=50+2x即可求得该种水果的售价；
(2)根据利润=售价×销售量-成本列出函数关系式即可；
(3)利用配方法即可求出利润最大值．
(1)
解：当x=3时，y=50+2x=50+2×３＝56(元/千克)；
故填：56

(2)
解：由题意得：w=(50+2x)(700-15x)-50x-700×40
化简得：w=-30x2+600x+7000；
(3)
解：∵w=-30x2+600x+7000
∴w=-30(x-10)2+10000
∵0≤x≤8，x为整数，当x≤8时，w随x的增大而增大，
∴x=8时，w取最大值，w最大=9880．
答：批发商所获利润w的最大值为9880元．
故答案为：9880元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细审题，将实际问题用函数表示出来，注意掌握配方法求二次函数最值得应用．
10．(2021·山东北区·一模)某古代石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞图案如下左图所示．每个桥洞均可抽象成抛物线形状，其最大高度为4.5m，宽度为6m．将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立如下右图所示的平面直角坐标系，OM=6．

(1)求OAM这条抛物线的函数关系式；
(2)如图所示，若想在桥洞距水平面3米高的内壁处，安装照明灯，请计算两盏灯P、H之间的水平距离为多少米？
(3)若想在每个桥洞距水平面3米高的内壁处都安装照明灯，则这三个桥洞最左端的灯与最右端灯P、Q之间的水平距离为 　 　米(请直接给出答案，无需提供求解过程)．
【答案】(1)y=-0.5 x2+3 x
(2)2米
(3)12+2
【解析】
【分析】
(1)设y=a(x-h)2+k，把顶点坐标为(3,4.5)代入可得解析式；
(2)将y=3代入解出x的值可得答案；
(3)根据抛物线的平移求出以C为顶点的抛物线的解析式，把y=3代入可得Q的坐标，根据P、Q的横坐标可得答案．
(1)
解：设OAM这条抛物线的函数关系式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，
由题意得OAM这条抛物线的顶点坐标为(3,4.5)，
∴y=a(x-3)2+4.5，
又∵函数图像经过点(6,0)，
∴0=a(6-3)2+4.5，
∴a=-0.5，
∴y=-0.5(x-3)2+4.5=-0.5 x2+3 x；
(2)
解：当y=3时，
3=-0.5(x-3)2+4.5，
解得：，；
∴；
故两盏灯P、H之间的水平距离为2米；
(3)
解：∵OAM这条抛物线的顶点坐标为(3,4.5)，
∴NCQ这条抛物线的顶点坐标为(15,4.5)，
∴以C为顶点的抛物线的解析式为y=-0.5(x-15)2+4.5，
把y=3代入可得，；
所以点Q的横坐标为．
∴(米)．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
11．(2022·湖北洪山·模拟预测)某公司投入研发费用120万元(120万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为8元/件．经试销发现年销售量y(万件)与售价x(元/件)有如表对应关系．
x(元/件)
1
3
5
y(万件)
39
37
35

(1)直接写出y关于x的函数关系式：　 　．
(2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%，当第一年的产品的售价x为多少时，年利润W最大，其最大值是多少？
(3)为了提高利润，第二年该公司将第一年的最大利润再次投入研发(此费用计入第二年成本)，使产品的生产成本降为5元/件，但规定第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，在年销售量y(万件)与售价x(元/件)的函数关系不变的情况下，若公司要求第二年的利润不低于166万元，求该公司第二年售价x(元/件)应满足的条件．
【答案】(1)y＝﹣x+40
(2)20元
(3)18≤x≤24
【解析】
【分析】
(1)设y关于x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0)，用待定系数法求解或直接观察表中数据可得答案；
(2)根据年利润W等于每件的利润乘以销售量，再减去研发费用120万元，可得W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
(3)根据第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，可得x≤24，又第二年的利润不低于166万元，故(x﹣5)(﹣x+40)﹣120≥166，即可解得答案．
(1)
设y关于x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0)，
将(1，39)，(3，37)代入，
解得，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x+40，
故答案为：y＝﹣x+40；
(2)
∵每件商品的利润率不得超过150%，
∴x≤8(1+150%)，即x≤20，
由题意得：
W=(x-8)(-x+40)-120
=-x2+48x-440
=-(x-24)2+136，
∵-1＜0，x≤20在对称轴直线x=24左侧，W随x的增大而增大，
∴当x=20时，年利润W最大，Wmax=-(20-24)2+136=120，
∴售价x为20元时，年利润W最大，其最大值是120万元；
(3)
∵第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，
∴第二年产品的售价x≤20×(1+20%)，即x≤24，
根据题意得：(x-5)(-x+40)-120≥166，
解得18≤x≤27，
∴该公司第二年售价x(元/件)应满足的条件是18≤x≤24．
【点睛】
本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12．(2022·福建洛江·九年级期末)某店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发现，每箱销售价格：售价不高于50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．
(1)若每箱售价55元，试计算平均每天的销售利润；
(2)已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于58元．设售价为x(元)，平均每天的销售利润为w(元)．
①写出w与x的函数关系式，以及x的取值范围；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
【答案】(1)1125
(2)①；②当x=58时，w取得最大，最大值是1188．
【解析】
【分析】
(1)用每项利润乘销售量即得每天的销售利润；
(2)①根据w=每项利润×销售量，解可得答案；②根据二次函数性质即可求解．
(1)
每箱售价55元，则每箱利润为55-40=15(元)，
∵售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱，
∴每箱售价55元，销售量为90-(55-50)×3=75(箱)，
∴平均每天的销售利润是15×75=1125(元)；
(2)
①当时
当500
∴当时，随x的增大而增大，
∴当时w取得最大，最大值是900
当50