2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题14 存在性-平行四边形（教师版）

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中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第14节 平行四边形的存在性

方法点拨
平行四边形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，则O的坐标为()或者()

解题方法：
(1)选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；
(2)利用中点坐标公式列方程计算








例题演练
1．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A(﹣1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的二次函数解析式：
(2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
(3)如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．
【解答】解：(1)∵y过A(﹣1，0)，B(5，0)
把A(﹣1，0)，B(5，0)代入抛物线y＝ax2+bx﹣5
得，
解得
y＝x2﹣4x﹣5；
(2)当x＝0时，y＝﹣5，
∴C(0，﹣5)，
设P(m，m2﹣4m﹣5)，Q(n，0)，
①BC为对角线，
则xQ﹣xC＝xB﹣xP，yQ﹣yC＝yB﹣yP，
解得，(舍去)，
∴P(4，﹣5)，
②CP为对角线，
则xQ﹣xC＝xP﹣xB，yQ﹣yC＝yP﹣yB，
解得或，
∴P(2+，5)或(2﹣，5)，
综上P(4，﹣5)或(2﹣，5)或(2+，5)；
第三种，CQ为对角线不合要求，舍去；
(3)过H作HD∥y轴交BC于D，

∴S△BCH＝S△CDH+S△BDH＝HD(xH﹣xC)+HD(xB﹣xH)＝HD(xB﹣xC)＝HD，
设BC：y＝kx+b1，
∵BC过B、C点，
代入得，
，
，
∴y＝x﹣5，
设H(h，h2﹣4h﹣5)，D(h，h﹣5)，
S△BCH＝HD＝×[h﹣5﹣(h2﹣4h﹣5)]＝﹣(h﹣)2+，
∴当h＝时，H(，﹣)时，S△BCHmax＝．

2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．
(1)求b、c的值；
(2)点P为线段AC上一动点(不与A、C重合)，过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
(3)在(2)的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)对于，令＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝，
故点A、B的坐标分别为(﹣3，0)、(0，)，
将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
即b＝﹣，c＝；

(2)由(1)知，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+，
由点A、C的坐标知，AC＝5，
∵PD∥AB，
则△ABC∽△PBC，
∴，即，解得yD＝，
则S＝S△PCB﹣S△PCD＝×PC×(yB﹣yD)＝×(﹣)×n＝﹣n2+n(0＜n＜5)；

(3)由S＝﹣n2+n知，当n＝时，S最大，此时点P的坐标为(﹣，0)，
由点P、D的坐标得，直线PD的表达式为y＝x+，
设点M坐标为(m，n)，则n＝﹣m2﹣m+①，设点Q的坐标为(x，x+)，
①当PB是边时，
则点B向左平移个单位向下平移个单位得到点P，同样点M向左平移个单位向下平移个单位得到点Q，
即m﹣＝x且n﹣＝x+②，
联立①②并解得x＝﹣(不合题意的值已舍去)，
故点Q的坐标为(﹣，﹣)；
②当PB是对角线时，
由中点坐标公式得：(0﹣)＝(x+m)且(0+)＝(n+x+)③，
联立①③并解得x＝(不合题意的值已舍去)，
故点Q的坐标为(，)．
综上，点Q的坐标为(，)或(﹣，﹣)．
3．如图，抛物线与y轴交于点A(0，1)，过点A的直线与抛物线交于另一点B(3，)，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上(不与点O、C重合)时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；
②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．

【解答】解：(1)∵抛物线经过A(0，1)和点B，
∴，
∴解得：，
∴．
∴该抛物线表达式为．
(2)①由题意可得：直线AB的解析式为，
∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，
∴P(m，0)，，
∴．
②由题意可得：，MN∥BC，
∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．
1° 当点P在线段OC上时，，
又∵BC＝，
∴．
得m1＝1，m2＝2．
2° 当点P在线段OC的延长线上时，．
∴，
解得 (不合题意，舍去)，．
综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．
4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(﹣2，0)，B(5，0)，点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；
(3)将满足(2)中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(﹣2，0)，B(5，0)，
∴y＝﹣(x+2)(x﹣5)，
∴y＝﹣x2+3x+10，
(2)作PH⊥AC于H，PD∥y轴交AC于D点，交x轴于E，
∵∠CAB＝45°，
∴∠PDH＝45°，
∴PD＝，
设P(m，﹣m2+3m+10)，
则E(m，0)，
∴AE＝m+2，
∴DE＝m+2，
∴PD＝﹣m2+3m+10﹣(m+2)
＝﹣m2+2m+8，
当m＝1时，PD最大为9，
∴PH的最大值为，
即P到AC的最大距离为，
(3)由(2)知：P(1，12)，
∴Q(1，8)，
∵直线AC：y＝x+2与抛物线y＝﹣(x+2)(x﹣5)交点C坐标为(4，6)，
抛物线y＝﹣(x+2)(x﹣5)向右平移2个单位后解析式为：y＝﹣x(x﹣7)＝﹣x2+7x，
∴对称轴为：直线x＝，
当CQ为边时，如图，若C(4，6)平移到N，Q(1，8)平移到M，则M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
当CQ为边时，若C(4，6)平移到M，Q(1，8)平移到N，则M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
当CQ为对角线时，可看作C平移到N，M平移到Q，
∴M的横坐标为，
将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，
∴，
综上所述：或M()或M()．

5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A(﹣2，0)，B(4，0)，在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．
(Ⅰ)求抛物线的函数表达式；
(Ⅱ)若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(Ⅰ)将A(﹣2，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx﹣6得：得，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为：；
(Ⅱ)抛物线的对称轴为直线x＝1，C(0，﹣6)，
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把B(4，0)，C(0，﹣6)代入可得：
'
解得，
∴直线BC的函数表达式为：，
有，则，
∴，其中1＜t＜4；
(Ⅲ)，
化简得，
解得t1＝1(舍去)，t2＝3，
∴，
①如图2，
当MB∥ND，且MB＝ND时，
四边形BDNM即为平行四边形，
此时MB＝ND＝4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，
∴由对称性可知N点横坐标为﹣1，将x＝﹣1代入，
解得．
∴此时，四边形BDNM即为平行四边形；
②如图3，
当MN∥BD，且MN＝BD时，四边形BDMN为平行四边形，
过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP＝DF，
∴此时N点纵坐标为，
将y＝代入，
得，解得：，
∴此时或，四边形BDMN为平行四边形，
综上所述，或或．



6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，
∴对称轴x＝﹣＝＝，
∴b＝，
又∵直线y＝x+2与y轴交于C，
∴C(0，2)，
∵C点在抛物线上，
∴c＝2，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
(2)∵点P的横坐标为x0，且在抛物线上，
∴P(x0，+x0+2)，
∵F在直线y＝x+2上，
∴F(x0，x0+2)，
∵PF∥CO，
∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
①当0＜x0＜3时，
PF＝(+x0+2)﹣(x0+2)＝﹣+3x0，
∵OC＝2，
∴﹣+3x0＝2，
解得x01＝1，x02＝2，
即当x0＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
②当x0≥3时，
PF＝(x0+2)﹣(+x0+2＝﹣3x0，
∵OC＝2，
∴﹣3x0＝2，
解得x03＝，x04＝(舍去)，
即当x0＝时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，
综上当x0＝1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．


7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x＝﹣1，已知经过A、C两点直线解析式为y＝﹣3x+3．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)连接BC，点P在抛物线上且在直线BC的上方，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，过点P作AC的平行线交BC于点K，求出使△PQK的周长最大的值及此时点P的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，将抛物线向左平移一定距离使平移后的抛物线经过点P，在直线PK上有一动点M，点N在平移后的抛物线上，以B、Q、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

【解答】解：(1)对于y＝﹣3x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1，
故点A、C的坐标分别为(1，0)、(0，3)，
由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；

(2)如图1，∵PQ∥y轴，PK∥AC，BC为定直线，
∴在运动的过程中∠QPK和∠PQK都不变，
∴所有△PQK都相似，故PQ最大值，△PQK的周长就取得最大值，
设点P的坐标为(t，﹣t2﹣2t+3)，则点Q的坐标为(t，t+3)，
则PQ＝(﹣t2﹣2t+3)﹣(t+3)＝﹣(t+)2+≤，
故PQ在t＝﹣时，取得最大值为，此时点P的坐标为(﹣，)，
则点Q的坐标为(﹣，)，
∵PK∥AC，
故设直线PK的表达式为y＝﹣3x+r，
将点P的坐标代入上式得：＝﹣3×(﹣)+r，
解得r＝﹣，
故直线PK的表达式为y＝﹣3x﹣①，
由点B、C的坐标，同理可得BC的表达式为y＝x+3②，
联立①②并解得，
故点K的坐标为(﹣，)，
则QK＝＝，
同理可得：PK＝，
故△PQK的周长最大的值为++＝；

(3)能，理由：
∵平移的距离为2×[﹣1﹣(﹣)]＝1，
∴平移后的抛物线表达式为y﹣(x+1)2﹣2(x+1)+3＝﹣x2﹣4x，设点N的坐标为(n，﹣n2﹣4n)，
∵PK的表达式为y＝﹣3x﹣，故设点M(m，﹣3m﹣)，
①当BQ为对角线时，
则由中点坐标公式得，
解得m＝﹣4±，
故点M的坐标为(﹣4+，﹣)或(﹣4﹣，+)；
②当BQ为边时，
则MN∥BQ，MN＝BQ，
则
解得m＝1±，
故点M的坐标为(1+，﹣﹣3)或(1﹣，﹣+3)．
综上，点M的坐标为(﹣4+，﹣)或(﹣4﹣，+)或(1+，﹣﹣3)或(1﹣，﹣+3)．
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点(A在B左侧)，交y轴于点C，且OC＝OB＝3，对称轴l交抛物线于点D，交x轴于点G．
(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)如图2，过点C作CH⊥DG于H，在射线HG上有一动点M(不与H重合)，连接MC，将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN，连接DN，在点M的运动过程中，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(3)如图3，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移后交直线l于点E，交原抛物线于点Q且点Q在第一象限，过点Q作QP⊥x轴于点P，设点Q的横坐标为m，问：在原抛物线y＝﹣x2+bx+c上是否存在点F，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

【解答】解：(1)由OC＝OB＝3知，点B、C的坐标分别为(3，0)、(0，3)，
将点C、B的坐标代入抛物线的表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3＝(x﹣1)2+4①，
故顶点的坐标为(1，4)；

(2)是定值，理由：
过点N作NK⊥GD于点K，设点M的坐标为(1，m)，

∵∠CMH+∠NMK＝90°，∠NMK+∠MNK＝90°，
∴∠CMH＝∠MNK，
∵∠MHC＝∠NKM＝90°，MC＝MN，
∴△MHC≌△NKM(AAS)，
∴KN＝MH＝3﹣m，HM＝CH＝1，
故点N的坐标为(4﹣m，m+1)，
由点ND的坐标得：ND＝＝(3﹣m)，
而HM＝3﹣m，
∴＝为定值；

(3)设抛物线向右平移了t(t＞0)的单位，则平移后的抛物线表达式为y＝﹣(x﹣t)2+2(x﹣t)+3②，
联立①②并解得，即PQ＝﹣t2+4，
∴点Q的坐标为(t+1，﹣t2+4)，则m＝t+1
①当PQ为边时，如题干图3，
∵点F在原抛物线上，故点F只能和点D重合，即点F(1，4)，
当x＝1时，y＝﹣(x﹣t)2+2(x﹣t)+3＝﹣t2+4，即点E的只能为(1，﹣t2+4)，
则FE＝4﹣(﹣t2+4)＝t2，
当以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则DE＝PQ，
即t2＝﹣t2+4，解得t＝(负值已舍去)，
故m＝t+1＝+1；
②当PQ是对角线时，
设点F的坐标为(p，q)，则q＝﹣p2+2p+3，
由中点坐标公式得：(p+1)＝(t+1+t+1)且(﹣t2+4)＝(q+1)，
解得，
即t2＝﹣(t+1)2+2(t+1)+3，
解得t＝(负值已舍去)，
故m＝1+，
综上，m＝+1或1+．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，将射线PB绕P逆时针方向旋转45°后与函数图象交于点Q．
(1)求二次函数y＝ax2+bx+4的表达式；
(2)当P在二次函数对称轴上时，求此时PQ的长；
(3)求线段PQ的最大值；
(4)抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，B(4，0)代入y＝ax2+bx+4，
得，解得，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x+4．
(2)如图1，作QE⊥x轴于点E，作直线y＝x+1交y轴于点F，则F(0，1)，且该直线过点A(﹣1，0)，
∵OA＝OF，∠AOF＝90°，
∴∠OAF＝∠BPQ＝45°，
∴PQ∥AF，
设直线PQ的解析式为直线y＝x+c，
由A(﹣1，0)，B(4，0)得，抛物线的对称轴为直线x＝，
当点P落在直线x＝上，则P(，0)，
∴+c＝0，
解得c＝，
∴y＝x，
由，得，(不符合题意，舍去)，
∴PQ＝EQ＝×＝．
(3)如图2，当﹣1≤x≤4时，EQ的长随x的增大而减小．
∴当点P与点A(﹣1，0)重合时，EQ的长最大，PQ的长也最大，
此时直线PQ的解析式为y＝x+1，
由，得，(不符合题意，舍去)，
此时EQ＝4，PQ＝EQ＝4，
∴PQ的最大值为4．
(4)存在．
如图3，PQ为以P、Q、B、D四点为顶点的四边形的一边，则BD∥PQ．
∴∠GBD＝45°，
设直线x＝交x轴于点G，
∵∠BGD＝90°，
∴DG＝BG•tan45°＝BG＝4＝，
此时BD＝DG＝，
在抛物线上一定存在点Q，其纵坐标为，
作QE⊥x轴于点E，在x轴上取点P，使PE＝QE，
则∠BPQ＝45°，且PQ＝，
∴四边形PQBD是平行四边形，
此时D(，)；
如图4，DQ∥PB，DQ＝PB．
设P(r，0)(﹣1≤r≤4)，设直线PQ的解析式为y＝x+d，则r+d＝0，即d＝﹣r，
∴y＝x﹣r，
由，得，(不符合题意，舍去)，
∴Q(1+，1+)，
∵PD＝BQ，GD＝EQ，∠PGD＝∠BEQ＝90°，
∴Rt△PDG≌Rt△BQE(HL)，
∴DG＝BE，
∴r﹣＝4﹣(1+)，
解得r1＝，r2＝(不符合题意，舍去)，
∴y＝1+＝1+＝1+＝，
∴DG＝QE＝，
∴D(，)．
综上所述，点D的坐标为(，)或(，)．




10．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A(﹣1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C(0，4)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为直线BC上方抛物线的一点，分别连接PB、PC，若直线BC恰好平分四边形COBP的面积，求P点坐标；
(3)在(2)的条件下，是否在该抛物线上存在一点Q，该抛物线对称轴上存在一点N，使得以A、P、Q、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)把A(﹣1，0)、B(4，0)、C(0，4)三点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c得，
，
解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
(2)设P点坐标为(x，﹣x2+3x+4)，如图，
∴四边形COBP的面积＝S△COP+S△BOP＝＝﹣2x2+8x+8，
∵直线BC平分四边形COBP的面积，
∴四边形COBP的面积＝2S△COB，
即：﹣2x2+8x+8＝，
解得x1＝x2＝2，
将x＝2代入抛物线表达式得y＝6，
故点P坐标为(2，6)，

(3)存在，
①当AQ为平行四边形的对角线时，
∴Q点横坐标为，
∴，
故Q()，
②当AN为平行四边形的对角线时，
∴Q点横坐标为，
∴，
故Q()，
③当AP为对角线时，
∴点Q的横坐标为﹣，
∴点Q(﹣)，
综上所述，Q点坐标为．，(﹣)，(﹣)．