2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题15 存在性-矩形（教师版）

这是一份2023年中考数学二轮复习二次函数压轴题专题15 存在性-矩形（教师版），共40页。
中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第15节 矩形的存在性

方法点拨
矩形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，则O的坐标为()或者()

解题方法：(在平行四边形的基础上增加对角线相等)
(1)选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；
(2)利用中点坐标公式列方程：；
(3)对角线相等：






例题演练
1．如图，在平面，在平面直角坐标系中，地物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1，0)，B(3，0)与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线BC下方抛物线上的任意一点，连接PB，PC，以PB，PC为邻边作平行四边形CPBD，求四边形CPBD面积的最大值；
(3)将该抛物线沿射线CB方向平移个单位，平移后的抛物线与y轴交于点E，点M为直线BC上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点C，E，M，N为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)把A(﹣1，0)，B(3，0)代入y＝x2+bx+c，
得，解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2.
(2)如图1，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G．
∵抛物线y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点C，
∴C(0，﹣2)．
设直线BC的函数表达式为y＝kx﹣2，则3k﹣2＝0，解得k＝，
∴y＝x﹣2．
设P(x，x2﹣x﹣2)(0＜x＜3)，则G(x，x﹣2)，
∴PG＝x﹣2﹣(x2﹣x﹣2)＝﹣x2+2x，
∵S△PBC＝PG•OH+PG•BH＝PG•OB＝PG，
∴S平行四边形CPBD＝2S△PBC＝3PG，
∴S平行四边形CPBD＝3(﹣x2+2x)＝﹣2x2+6x＝﹣2(x﹣)2+，
∴当x＝时，四边形CPBD的面积的值最大，最大值为．
(3)存在．
如图2，设抛物线y＝x2﹣x﹣2的顶点为Q，其对称轴交x轴于点J，交直线BC于点K，
设抛物线y＝x2﹣x﹣2平移后的顶点为R，过点R作RI⊥JQ于点I．
∵QR∥BC，
∴∠RQI＝∠BKJ＝∠BCO，
∵∠RIQ＝∠BOC＝90°，
∴△RIQ∽△BOC．
∵OB＝3，OC＝2，
∴BC＝＝，
∴OC：OB：BC＝2：3：，
∴IQ：IR：QR＝2：3：，
∵QR＝，
∴IQ＝QR＝×＝1，IR＝QR＝×＝．
由y＝x2﹣x﹣2＝y＝(x﹣1)2﹣，得Q(1，﹣)，
∴1+＝，+1＝，R(，)，
∴平移后抛物线的函数表达式为y＝(x﹣)2﹣，
当x＝0时，y＝×()2＝，
∴E(0，)．
若以C、E、M、N为顶点的四边形是以CE为一边的矩形，则EN∥CM，EN＝CM．
当y＝时，由x﹣2＝，得x＝，
∴M(，)，N(，﹣2)；
若以C、E、M、N为顶点的四边形是以CE为对角线的矩形，则EN∥CM，EN＝CM．
如图3，作NT⊥y轴于点T.
∵EN∥BC，
∴∠NET＝∠ECM＝∠BCO，
∵∠NTE＝∠EMC＝∠BOC＝90°，
∴△NTE∽△EMC∽△BOC，
∴EN＝CM＝CE＝×(+2)＝，
∴TN＝EN＝×＝，TE＝EN＝×＝，
∴OT＝＝，
∴N(，)．
综上所述，点N的坐标为(，﹣2)或(﹣，)．



2．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A(﹣2，0)、B(4，0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点D是抛物线上一点，D点横坐标为3，连接AD，点P为AD上方抛物线上一点，连接PA，PD，请求出△PAD面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线y＝ax2+bx+4沿x轴负半轴方向平移2个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，新抛物线与原抛物线交于点M．点N是原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系内是否存在点Q，使得以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由e
【解答】解：(1)将A、B点的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+4中，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
(2)分别过点D、P作x轴的垂线，交x轴于E、F，如图1，
∵点P为AD上方抛物线上一点，
∴x的取值范围是﹣2＜x＜3，
∵D、P都是抛物线上的点，设P(x，﹣x2+x+4)，D点的横坐标为3，
∴DE＝﹣×32+3+4＝，PF＝﹣x2+x+4，
∵S△PAD＝S梯形PFED+S△APF﹣S△AED，
即S△PAD＝×[(PF+DE)×EF]+×AE×DE，
∴S△PAD＝×[(﹣x2+x+4+)×(3﹣x)]+×[x﹣(﹣2)]×(﹣x2+x+4)﹣×[3﹣(﹣2)]×，
化简得S△PAD＝﹣x2+x+，
∵﹣＜0，
∴S△PAD有最大值，
当x＝＝时，S△PAD有最大值为，
此时P(，)；
(3)存在，
∵抛物线解析式y＝﹣x2+x+4＝﹣(x﹣1)2+，
∴移动后的解析式为y＝﹣(x﹣1+2)2+＝﹣x2﹣x+4，
∵二次函数前后图象交于M，
∴﹣x2+x+4＝﹣x2﹣x+4，
解得x＝0，
∴M(0，4)，
∵抛物线移动前对称轴为x＝＝1，点N是原对称轴上的一点，
∴N点的横坐标为1；
①若以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形，当MN和AM为邻边时，
则MN⊥AM，
过点N作平行于x轴的直线交y轴于点T，如图2，
在△AMO和△MNT中，
，
∴△AMO∽△MNT，
∴＝，
∵AO＝2，MO＝4，NT＝1，
∴＝，即＝，
∴MT＝，
∴点T的纵坐标为4﹣＝，
∴点N的坐标为(1，)，
根据矩形性质和平移法则，线段AM向右平移1，向下平移，得到对应线段QN，四边形AQNM构成矩形，
∴点A向右平移1，向下平移，得到点Q，
此时点Q的坐标为(﹣1，﹣)，
②若以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形，当AN和AM为邻边时，
则AN⊥AM，设原抛物线对称轴交x轴于G，如图3，
在△AOM和△NGA中，
，
∴△AOM∽△NGA，
∴＝，
∵AO＝2，MO＝4，AG＝1﹣(﹣2)＝3，
∴＝，即＝，
∴NG＝3，
同理点M向右平移3，向下平移，得到Q，
∴此时点Q的坐标为(3，)，
综上，以点A、M、N、Q为顶点的四边形是矩形时点Q的坐标为(﹣1，﹣)或(3，)．


3．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过点A作AD∥BC交抛物线于点D，AD与y轴交于点E，P为直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PA交BC于点F，求S△PEF的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点M为抛物线上一动点，在平面内找一点N，是否存在以点A，M，N，P为顶点的四边形是以PA为边的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵﹣1，3是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0的两个根，
∴，解得，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+x+2．
(2)如图1，作PH⊥x轴，交AD于点H，作PG⊥AD于点G，作BK⊥AD于点K．
当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，则A(﹣1，0)、B(3，0)；
当x＝0时，y＝2，则C(0，2)．
设直线BC的解析式为y＝kx+2，则3k+2＝0，解得k＝，
∴y＝x+2；
设直线AD的解析式为y＝x+c，则+c＝0，解得c＝，
∴y＝x，E(0，)，
∵OA＝1，OE＝，∠AOE＝90°，
∴AE＝＝，
∴OE：OA：AE＝2：3：．
∴BK＝AB•sin∠OAE＝(3+1)×＝，
∴S△AEF＝××＝，
设P(x，x2+x+2)，则H(x，x)，
∴PH＝x2+x+2+x+＝x2+2x+，
∵PH∥y轴，
∴∠PHG＝∠AEO，
∴PG＝PH•sin∠AEO＝(x2+2x+)，
∴S△PEF＝××(x2+2x+)＝x2+x＝(x)2+，
∴当x＝时，S△PEF的面积最大，最大值为，此时P(，)．
(3)存在．
如图2，设直线AP交y轴于点R，直线AM交y轴于点Q，直线AP的解析式为y＝px+q，
由(1)得P(，)，则，解得，
∴y＝x+1，R(0，1)，OA＝OR＝1．
当矩形AMNP以AP、AM为邻边时，则∠RAQ＝90°，PN∥AM，MN∥AP．
∵∠OAR＝∠ORA＝45°，∠AOR＝∠AOQ＝90°，
∴∠OAQ＝∠OQA＝45°，
∴OQ＝OA＝1，Q(0，﹣1)；
设直线AM的解析式为y＝mx﹣1，则﹣m﹣1＝0，解得m＝﹣1，
∴y＝﹣x﹣1；
设直线PN的解析式为y＝﹣x+n，则+n＝，解得n＝4，
∴y＝﹣x+4．
由，得，，
∴M(，)；
设直线MN的解析式为y＝x+r，则+r＝，解得r＝﹣10，
∴y＝x﹣10，
由，得，
∴N(7，﹣3)；
设PN交抛物线于另一点M′，作M′N′∥AP交AM于点N′．
由，得，，
∴M′(2，2)，
设直线M′N′的解析式为y＝x+d，则2+d＝2，解得d＝0，
∴y＝x，
由，得，
当矩形AN′M′P以AP、PM′为邻边，则N′(，)．
综上所述，点N的坐标为(7，﹣3)或(，)．


4．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A，B的坐标分别为(0，1)，(﹣9，10)，AC∥x轴．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AC下方抛物线上的动点，过点P且与y轴平行的直线l与直线AB交于点E，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
(3)点A关于x轴的对称点为A′，将该抛物线平移至其顶点与A′重合，得到一条新抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点D，但以点C，D，M，N为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵y＝x2+bx+c经过A(0，1)，B(﹣9，10)，
则，
解得，
故抛物线的解析式是y＝x2+2x+1①；

(2)设直线AB的解析式为y＝mx+n，
将A(0，1)，B(﹣9，10)代入得：，解得，
∴AB解析式为y＝﹣x+1，
由x2+2x+1＝1解得x1＝0，x2＝﹣6，
∴C(﹣6，1)，AC＝6，
∵P在AC下方抛物线上，设P(t，t2+2t+1)，
∴﹣6＜t＜0
∵过点P且与y轴平行的直线l与直线AB交于点E，
∴E(t，﹣t+1)，
∴EP＝(﹣t+1)﹣(t2+2t+1)＝﹣t2﹣3t，
而四边形AECP的面积S四边形AECP＝S△EAC+S△PAC＝AC•EF+AC•PF＝AC•EP，
∴S四边形AECP＝×6×(﹣t2﹣3t)＝﹣t2﹣9t＝﹣(t+)2+，
∵﹣6＜﹣＜0，
∴t＝﹣时，S四边形AECP最大值为：，此时t2+2t+1＝×(﹣)2+2×(﹣)+1＝﹣，
∴P(﹣，﹣)；

(3)存在，理由：
点A的坐标为(0，1)，则点A′为(0，﹣1)，
则平移后的抛物线表达式为y＝x2﹣1②，
联立①②并解得，故点M的坐标为(﹣1，﹣)，
设点N的坐标为(﹣3，m)，点D的坐标为(s，t)，
而点C的坐标为(﹣6，1)，
①当CM是矩形的边时，
点C向右平移5个单位向下平移个单位得到点M，
同样点N(D)向右平移5个单位向下平移个单位得到点D(N)，且CD＝MN(CN＝DM)，
则或，
解得或；
故点D的坐标为(2，)或(﹣8，﹣5)；
②当CM是矩形对角线时，
则CM的中点即为DN的中点，且CM＝DN，
∴，
解得或，
故点D的坐标为(﹣4，)或(﹣4，)．
综上，点D坐标为(2，)或(﹣8，﹣5)或(﹣4，)或(﹣4，)．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴交于点A、B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为点D．
(1)求点B、D的坐标；
(2)如图1，点P在直线BD下方抛物线上运动(不含端点B、D)，记△PCB的面积为S1，记△PDB的面积为S2，求2S1﹣S2的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将该抛物线沿直线DB平移，设平移后的新抛物线的顶点为D'(D'与D不重合)，新抛物线与直线DB的另一个交点为点E，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点C、D'、E、F为顶点的四边形为矩形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)令x＝0，则y＝﹣6，
∴C(0，﹣6)，
令y＝0，则，
解得x＝﹣2或6，
∴A(﹣2，0)，B(6，0)，
∵，
∴D(2，﹣8)，
即B(6，0)，D(2，﹣8)；

(2)设直线BC为y＝k1x﹣6，代入B点坐标得：0＝6k1﹣6，
解得k1＝1，
∴直线BC解析式为y＝x﹣6，
同理，直线BD解析式为y＝2x﹣12，
设P，过P作PM∥y轴交BC于M，交BD于N，如下图，

则M(x，x﹣6)，N(x，2x﹣12)，
∴PM＝x﹣6﹣＝，
∴＝，
∴PN＝2x﹣12﹣(x2−2x−6)＝﹣x2+4x﹣6，
同理S2＝PN•(6−2)＝2PN＝2(﹣x2+4x﹣6)＝﹣x2+8x+12，
∴2S1﹣S2＝﹣2x2+10x﹣12＝，
∵2＜x＜6，
∴时，2S1﹣S2最大值为，
此时P()；

(3)将抛物线沿BD方向平移，设D′(n，2n﹣12)，
∴平移后的抛物线为：，
∵平移后的抛物线与直线BD交于点D′和点E，
∴联立，
化简得，x2﹣(2n+4)x+n2+4n＝0，
∴xD′+xE＝2n+4，
又xD′＝n，
∴xE＝n+4，
∴yE＝2(n+4)﹣12＝2n﹣4，
∴E(n+4，2n﹣4)，
以C、D′、E、F为顶点构矩形，分以下三类：
①当CD′为矩形CED′F的对角线时，
，
解得，
∴F(﹣4，﹣14)，
∵CD′＝EF，
∴n2+(2n﹣6)2＝(n+8)2+(2n+10)2，
∴，符合题意，
此时F(﹣4，﹣14)，
②当D′E为矩形CD′FE的对角线时，
，
解得，
∴F(2n+4，4n﹣10)，
∵CF＝D′E，
∴(2n+4)2+(4n﹣4)2＝42+82，
∴或2，符合题意，
此时F()或(8，﹣2)，
③当CE为矩形CD′EF的对角线时，
设点F的坐标为(a，b)，
而点E、C、D′的坐标分别为(n+4，2n﹣4)、(0，﹣6)、(n，2n﹣12)，
由中点公式得，解得，
故点F的坐标为(4，2)；
综上，点F的坐标为F(﹣4，﹣14)或()或(8，﹣2)或(4，2)．
6．如图，直线y＝﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)经过点A、E，点E的坐标是(5，3)，抛物线交x轴于另一点C(6，0)．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H．
①当∠DPH＝∠CAD时，求t的值；
②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)在直线y＝﹣2x+4中，
令x＝0时，y＝4，
∴点B坐标(0，4)，
令y＝0时，得：﹣2x+4＝0，
解得：x＝2，
∴点A(2，0)，
∵抛物线经过点A(2，0)，C(6，0)，E(5，3)，
∴可设抛物线解析式为y＝a(x﹣2)(x﹣6)，
将E(5，3)代入，得：3＝a(5﹣2)(5﹣6)，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线解析式为：y＝﹣(x﹣2)(x﹣6)＝﹣x2+8x﹣12；
(2)①∵抛物线解析式为：y＝﹣x2+8x﹣12＝﹣(x﹣4)2+4，
∴顶点D(4，4)，
∵点B坐标(0，4)，
∴BD∥OC，BD＝4，
∵y＝﹣x2+8x﹣12与x轴交于点A，点C，
∴点C(6，0)，点A(2，0)，
∴AC＝4，
∵点D(4，4)，点C(6，0)，点A(2，0)，
∴AD＝CD＝2，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵BD∥AC，
∴∠DPH＝∠PQA，
且∠DPH＝∠DAC，
∴∠PQA＝∠DAC，
∴PQ∥DC，且BD∥AC，
∴四边形PDCQ是平行四边形，
∴PD＝QC，
∴4﹣2t＝3t，
∴t＝；
②存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形，此时t＝1﹣．
如图，若点N在AB上时，即0≤t≤1，
∵BD∥OC，
∴∠DBA＝∠OAB，
∵点B坐标(0，4)，A(2，0)，点D(4，4)，
∴AB＝AD＝2，OA＝2，OB＝4，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴tan∠OAB＝＝＝tan∠DBA＝，
∴PN＝2BP＝4t，
∴MH＝PN＝4t，
∵tan∠ADB＝tan∠ABD＝＝2，
∴MD＝2t，
∴DH＝＝2t，
∴AH＝AD﹣DH＝2﹣2t，
∵BD∥OC，
∴＝，
∴＝，
∴5t2﹣10t+4＝0，
∴t1＝1+(舍去)，t2＝1﹣；
若点N在AD上，即1＜t≤，
∵PN＝MH，
∴点E、N重合，此时以点P，N，H，M为顶点的矩形不存在，
综上所述：当以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形时，t的值为1﹣．


7．已知，二次函数y＝﹣x2+x+2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；
(3)如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y'＝ax2+bx+c(a≠0)，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)令x＝0，则y＝，
∴，
令y＝0，则，
解得：，
∴，
∴，
在Rt△AOB中，AC2＝OA2+OC2＝15，
同理，BC2＝60，
又AB＝，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即△ABC为直角三角形；
(2)设直线AC为，
代入点A(，0)得，k1＝2，
∴直线AC为，
同理，直线BC为，
(2)∵PE⊥x轴，
∴PE∥y轴，
设P(m，)，
F(m，)，
∴，
∵GF⊥PE，PE⊥x轴，
∴GF∥x轴，∠GFP＝90°，
∵AC∥PD，
∴∠CAO＝∠PDE＝∠PGF，
又∠AOC＝∠GFP＝90°，
∴△AOC∽△GFP，
∴，
∴GF＝，
∵，
∴，
∴当PF最大时，S阴取得最大值，
∵＝，
又，
∴当m＝时，PF最大值为，S阴最大值为3，
∴P()，
∵PD∥AC，
∴可设直线PD为y＝2x+b，
代入点P，得b＝，
∴直线PD为：，
令y＝0，解得x＝，
∴，
此时S阴最大值为3；
(3)存在这样的点M，使以C、B、M、N为顶点的四边形为矩形，
∵，
∴当抛物线沿射线AC方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移3个单位，
∵y＝，
∴平移后得抛物线为：，
∴对称轴为直线，
①当∠MCB＝90°，MB为对角线，构成矩形MCBN时，如图1，
过M作MQ⊥y轴于Q点，
∴∠MCQ+∠OCB＝90°，
又∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠MCQ＝∠OBC，
∴tan∠MCQ＝tan∠OBC＝，
∴，
又MQ＝，
∴，
∴，
由坐标与平移关系可得，
N()，
②当∠CBM＝90°，CM为对角线，构成矩形BCNM时，如图2，
∵∠CBO+∠OBM＝90°，
∠BMQ+∠OBM＝90°，
∴∠BMQ＝∠CBO，
∴tan∠BMQ＝tan∠CBO，
∴，
∵，
∴，
∴，
由坐标与平移关系可得，
N()，
综上所述，N为()或()．


8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣3，0)、B两点，顶点为点C(﹣1，﹣2)，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，作∠ABC的角平分线BE，交对称轴于交点D，交抛物线于点E，求DE的长；
(3)如图2，在(2)的条件下，点F是线段BC上的一动点(点F不与点和点B重合，连接DF，将△BDF沿DF折叠，点B的对应点为点B1，△DFB1与△BDC的重叠部分为△DFG，请探究，在坐标平面内是否存在一点H，使以点D、F、G、H为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线的顶点C(﹣1，﹣2)，
∴可以假设抛物线的解析式为y＝a(x+1)2﹣2，
把A(﹣3，0)代入可得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝(x+1)2﹣2＝x2+x﹣．

(2)如图1中，设抛物线的对称轴交x轴于F(﹣1，0)．

由题意，BF＝2，CF＝2，
∴tan∠CBF＝＝，
∴∠CBF＝60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴DF＝BF•tan30°＝，
∴D(﹣1，﹣)，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣，
由，解得，或，
∴E(﹣，﹣)，
∴DE＝＝．

(3)如图2﹣1中，当∠DGF＝90°时，点H在第三象限，此时CG＝GB，G(0，﹣)，F(，﹣)，利用平移的性质可得H(﹣，﹣)．

如图2﹣2中，当∠DFC＝90°时，点H在第三象限，此时CF＝FB，点C，G，B′共点，F(0，﹣)，利用平移的性质可得H(﹣2，﹣)．

如图2﹣3中，当∠DGF＝90°，点H在第三象限，此时G(﹣1，)，F(﹣，﹣)，利用平移的性质可得H(﹣，﹣)，

综上所述，满足条件的点H的坐标为(﹣，﹣)或(﹣2，﹣)或(﹣，﹣)．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2(a≠0)交x轴于A(﹣1，0)，B(4，0)，交y轴于点C．
(1)求该抛物线解析式；
(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣2(a≠0)向右平移经过点Q，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1(a1≠0)，点E在新抛物线的对称轴上，是否存在平面内一点F，使得A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx﹣2(a≠0)交x轴于A(﹣1，0)，B(4，0)，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．

(2)如图，连接BC，OP，设P(m，m2﹣m﹣2)．

∵CQ∥PB，
∴S△PBQ＝S△PBC＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×2×m+×4×(﹣m2+m+2)﹣×2×4＝﹣m2+4m＝﹣(m﹣2)2+4，
∵﹣1＜0，
∴m＝2时，△PBQ的面积的最大值为4，
∴P(2，﹣3)．

(3)存在．
理由：如图2中，过点P作PH⊥AB于H，过点P作新抛物线的对称轴l的垂线垂足为J，设直线l与x轴的交点为T，过点A作AE⊥AP交新抛物线的对称轴于E′，可得矩形AE′F′P．

∵P(2，﹣3)，B(4，0)，
∴直线PB的解析式为y＝x﹣6，
∵CQ∥PB，
∴CQ的解析式为y＝x﹣2，
∴Q(，0)，
∴AQ＝1+＝，
∴平移后的抛物线的对称轴x＝，
∴AT＝，
∵PH⊥AH，AH＝PH＝3，
∴∠HAP＝∠APH＝45°，
∴AT＝TE′＝，
∴E′(，)，
∵PA＝E′F′，PA∥E′F′，
∴点E′向右平移3个单位，向下平移3个单位得到F′，
∴F′(，)，
过点P作PE⊥PA，交直线l于E，可得矩形APEF，过点P作PJ⊥直线l于J，
同法可得，PJ＝EJ＝，
∴E(，﹣)，
∵PA＝EF，PA∥EF，
∴点E向左平移3个单位，向上平移3个单位得到F，
∴F(，)．
综上所述，满足条件的点F的坐标为(，)或(，)．
10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，交y轴于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)已知点P为抛物线上一点，直线PC与x轴交于点Q．使得PQ＝CQ．求点P坐标；
(3)若点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在以A，C，M，N为顶点的矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)抛物线交x轴于A(﹣3，0)，B(1，0)，
∴，解得，
∴抛物线解析式为；

(2)∵点P为抛物线上一点，
∴设P(m，﹣m2﹣m+4)，如图1，作PH⊥x轴于H，

∴PH∥OC，
∴△QCO∽△QPH，
∴，
∴(﹣m2﹣m+4)＝±，
解得：m＝﹣或﹣或，
∴P点坐标(﹣，5)或(﹣，5)或(，﹣5)或(，﹣5)；

(3)∵抛物线y＝﹣x2﹣x+4的对称轴为x＝﹣1，
设点M的坐标为(﹣1，m)，
∵点A的坐标为(﹣3，0)，点C的坐标为(0，4)，
∴AM＝＝，
同理可得：AC＝5，CM＝，
分AC为边或AC为对角线两种情况考虑：
①当AC为边时，有AC2+AM2＝CM2或AC2+CM2＝AM2，即25+m2+4＝m2﹣8m+17或25+m2﹣8m+17＝m2+4，
解得：m＝﹣或，
∴点M的坐标为(﹣1，﹣)或(﹣1，)；
如图2，过M作y轴的垂线交于点H，过点N作x轴的垂线交于点G，

由题意得：四边形NACM为矩形，则AN＝CM，
∵∠MCH＝∠BAM′＝∠ANG，∠NGA＝∠CHM＝90°，
∴△AGN≌△MHC(AAS)，
∴NG＝HC＝﹣4＝，AG＝MH＝1，
∴点N的坐标为(﹣4，)，
同理可得，点N′的坐标为(2，)，
由全等三角形的性质得，N点的坐标为(﹣4，)或(2，)；
②当AC为对角线时，有AM2+CM2＝AC2，即m2+4+m2﹣8m+17＝25，
解得：m＝2+或2﹣，
∴点M的坐标为(﹣1，2+)或(﹣1，2﹣)．
如图3，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，

由全等三角形的性质，同理可得：N点的坐标为(﹣2，2﹣)或(﹣2，2+)，
综上所述：存在以A、C、M、N为顶点的矩形，点N的坐标为：(2，)或(﹣4，)或(﹣2，2﹣)或(﹣2，2+)．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)、B(﹣5，0)两点，与y轴交于点C(0，)，点D为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点D作DH⊥x轴于点H，若点P为抛物线上位于第二象限内且在对称轴左侧的一点，连接PD、PB，求四边形DHBP面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，点E在y轴负半轴上，点F是抛物线上一点，在抛物线对称轴上是否存在一点G，使得以点B、E、F、G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)、B(﹣5，0)两点，与y轴交于点C(0，)，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：y＝﹣+，
∴顶点坐标D为(﹣2，)，
(2)连接BD，过P作y轴平行线交BD于Q，

∴S△HBP＝S△BDH+S△BDP，
△BDH的面积为定值，
∴当△BDP面积最大时，四边形DHBP面积最大，
∵DH⊥x轴，
∴DH＝yD＝，BH＝，
∵B为(﹣5，0)，D为(﹣2，)，
设直线BD为：y＝kx+b，
∴，
∴，
设P为(t，﹣)，
则Q为(t，)，
∴PQ＝yP﹣yQ＝﹣t2﹣t﹣，
∵S△BDP＝S△BPQ+S△DPQ＝＝＝﹣，
∴当t＝﹣时，△BDP的面积最大，最大为，‘
∴四边形DHBP面积最大为＝，
此时，点P为(﹣，)，
(3)∵抛物线对称轴为：x＝﹣2，
∴设点G(﹣2，m)，
又∵E在y轴负半轴上，F在抛物线上，
∴设E(n，﹣n2﹣n+)，
∵B(﹣5，0)，
∴①当矩形以BG为对角线时，BE⊥EG，
∴，
∴，
∴，
∴此时G(﹣2，﹣)，
②当矩形以BE为对角线时，BG⊥EC，
∴，
∴，
∴此时G(﹣2．﹣3)，
③当矩形以BF为对角线时BE⊥BG，
∴，
∴，
∴或，
∵e＜0，
∴e，
∴，
∴综上所述：
G的坐标为(﹣2，)或(﹣2，﹣)或(﹣2，﹣3)．
12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB相交于A(﹣4，﹣4)，B(0，4)两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C，点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
(3)在y轴上存在一点H，连接EH，HF，是否存在点E，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：(1)根据题意，得，解得，
∴y＝﹣x2﹣2x+4；

(2)设直线AB的函数表达式为y＝mx+n，则，解得，
∴y＝2x+4，
设点E的坐标为(x，2x+4)，则点G的坐标为(x，﹣x2﹣2x+4)，
∴GE＝(﹣x2﹣2x+4)﹣(2x+4)＝﹣x2﹣4x，
∵四边GEOB是平行四边形，
∴OB∥GE，GE＝OB，
∴﹣x2﹣4x＝4，解得x1＝x2＝﹣2，
∴y＝﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+4＝4，
∴点G的坐标为(﹣2，4)；

(3)存在，理由：
由AC的表达式知，点C(0，﹣6)，
由A、B、C的坐标知，AB2＝42+82＝80，AC2＝42+22＝20，BC2＝100，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，则∠EAF为直角，
如图1，由(2)知，直线AB的解析式为y＝2x+4，

∴设E(a，2a+4)，
∵直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴F(a，﹣a﹣6)，
设H(0，p)，
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，如上图，
则EF为对角线，
∴EF与AH互相平分，
∴(﹣4+0)＝(a+a)，(﹣4+p)＝(2a+4﹣a﹣6)，
解得，
∴E(﹣2，0)．