2022-2023学年江西省南昌市四校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年江西省南昌市四校联考九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将一个大正方体的一角截去一个小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在一次数学测试中，小明成绩分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是(    )

A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差

5.  在同一直角坐标系中，函数和函数是常数，且的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  在中，，，，以点为圆心，为半径作圆弧，与交于，再分别以，为圆心，大于的长为半径作圆弧交于点，，作直线，交于，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  现今世界上较先进的计算机显卡每秒可绘制出个三角形，且显示逼真，用科学记数法表示这种显卡每秒绘制出三角形______个．

8.  因式分解：          ．

9.  已知方程两根的和与两根的积相等，则        ．

10.  九章算术有个题目，大意是：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．”设每只雀、燕的重量分别为两，两，可得方程组是______．

11.  如图，在矩形中，，将向内翻析，点落在上，记为，折痕为若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则______．
 

12.  如图，中，，，点是的中点，将绕点顺时针旋转角时，得到，当为等腰三角形时，的值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

13.  老师在上概率课时，邀请小明和小华两名同学来做游戏，要求：小明用不透明的白布包住三根同样颜色、长短的细绳、、，只露出它们的头和尾，如图所示．
小华从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率是多少？
小华先从左端、、三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，这三根绳子能连结成一根长绳就算小华赢，否则，就算小明赢．这个游戏公平吗？

四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：；
解不等式组．

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

16.  本小题分
在正方形中，点是边上任意一点，请你仅用无刻度的直尺，分别按要求作图．
如图，在边上求作一点，连接，使得；
如图，在边上求作一点，连接，使得．
 

17.  本小题分
如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点、，交轴于点．
求的取值范围；
若点的坐标是，且，求的值和一次函数的解析式．

18.  本小题分

一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是元：要求销售单价不低于元，且不高于元经销一段时间后得到如下数据：

设与的关系是我们所学过的某一种函数关系．
直接写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
当销售单价为多少时，销售利润最大最大利润是多少

19.  本小题分
某校八年级学生进行了一次体质健康测试，现随机抽取了名学生的成绩单位：分，收集的数据如下，

整理数据：

分析数据：

根据以上信息，回答下列问题．
请直接写出表格中，，，的值．
该校八年级学生共有人，请估计成绩在的学生大约有多少人．
八班张亮的测试成绩为分，请结合本次统计结果给他提出提升体质水平的合理建议．

20.  本小题分
鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上．其中，米．
求无人机的飞行高度；结果保留根号
求河流的宽度结果精确到米，参考数据：，
 

21.  本小题分
如图，是的直径，是上一点，过点作，交的延长线于，交于点，是的中点，连接．
求证：是的切线．
若，求证：．

22.  本小题分
为了探索函数的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．
列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

如图，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；
已知点，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：
若，则______；若，则______；
若，则______填“”，“”或“”．
某农户要建造一个图所示的长方体形无盖水池，其底面积为平方米，深为米．已知底面造价为千元平方米，侧面造价为千元平方米．设水池底面一边的长为米，水池总造价为千元．
请写出与的函数关系式；
若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长应控制在什么范围内？

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，且．
求抛物线的函数解析式；并直接写出的顶点坐标；
将先向右平移个单位，再向上平移个单位，记为第一次操作，得到抛物线，按同样的操作方式，经过第二次操作，可得到抛物线，经过第三次操作，可得到抛物线，，经过第次操作可得到抛物线．
的顶点是否在上，请说明理由；
若抛物线恰好经过点，求抛物线的解析式；
定义：当抛物线与轴有两个交点时，定义以这两个交点及抛物线顶点构成的三角形叫做该抛物线的“轴截三角形”如是抛物线的“轴截三角形”记抛物线，，，，的“轴截三角形”的面积分别为，，，，当时，求值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个看不见的小正方形画为虚线，
故选：．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式的加减法，正确化简分式是解题关键．直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【解答】
解：原式．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，
故选：．
根据中位数的意义求解可得．
本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．
 

5.【答案】 

【解析】

解：、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数的图象可知，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
故选：．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为．
本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．  

6.【答案】 

【解析】解：由作图可得，，，垂直平分，
，
，，，
，
，，
∽，
，即，
解得，
故选：．
由作图可得，，，垂直平分，依据勾股定理即可得到的长，再根据相似三角形的性质，即可得到的长．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．
 

7.【答案】 

【解析】解：个．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：原式；
故答案为：．
原式先提取，再运用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
由题意，得，
解得．
故答案为：．
先将方程整理成一般形式：，再根据一元二次方程根与系数的关系列出关于的方程，解方程求出．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系及求根公式，解题的关键是注意掌握一元二次方程的两根、之间的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：设每只雀、燕的重量分别为两，两，由题意得：
，
故答案为：．
根据题意可得等量关系：五只雀的重量六只燕的重量两；只雀的重量只燕的重量只燕的重量只雀的重量，根据等量关系列出方程组即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．依据≌，即可得出，再根据折叠的性质，即可得到，最后依据勾股定理进行计算，即可得到的长，即的长．
【解答】
解：由折叠可得，，，，，，
，
，
又，，
≌，
，
，
中，，
，
故答案为：．  

12.【答案】或或 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，圆周角定理和等腰三角形的性质等知识．
连结，由旋转的性质得，则可判断点、在以为直径的圆上，利用圆周角定理得，，，然后分当时，当时，当时三种情况讨论．
【解答】
解：连结，
，
点是的中点，
，
绕点顺时针旋转角时，得到，
，
点在以为直径的圆上，
，
点在以为直径的圆上，
，，，
当时，，
即，解得；
当时，，
即，解得；
当时，，
即，解得，
综上所述，的值为或或．  

13.【答案】解：小华从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率是；
画树状图：

共有种等可能的结果数，其中三根绳子能连结成一根长绳的结果数为种，
所以小华赢的概率，则小明赢的概率，
因为，
所以这个游戏不公平． 

【解析】直接根据概率公式求解；
左右两端随机选两个打一个结各有三个情况：、、和、、，然后利用树状图展示所有种等可能的结果数，找出三根绳子能连结成一根长绳的结果数，再计算小华赢和小明赢的概率，然后通过比较概率的大小判断游戏的公平性．
本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了列表法与树状图．
 

14.【答案】解：原式

；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】原式利用特殊角的三角函数、绝对值的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的混合运算、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

15.【答案】解：

，
把代入得，原式． 

【解析】直接分解因式，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的混合运算是解题关键．
 

16.【答案】解：如图，连接交于点，连接并延长交于点，
则为所作；
如图，连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，
则为所作．
 

【解析】连接交于点，连接并延长交于点，利用正方形的性质，先证明≌得到，然后证明≌，从而得到；
连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，利用正方形的性质，先证明≌得到，则，则可判断四边形为平行四边形，所以．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了正方形的性质．
 

17.【答案】解：根据题意，反比例函数图象位于第四象限，
，
解得；

点在反比例函数图象上，
，
解得，
反比例函数解析式为，
，
，
设点的坐标为，
则点到轴的距离为，点到轴的距离为，
所以，
解得，
，
解得，
点的坐标是，
设这个一次函数的解析式为，
点、是一次函数与反比例函数图象的交点，
，
解得，
一次函数的解析式是． 

【解析】根据双曲线位于第四象限，比例系数，列式求解即可；
先把点的坐标代入反比例函数表达式求出的值，从而的反比例函数解析式，设点的坐标为，利用相似三角形对应边成比例求出的值，然后代入反比例函数解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可．
本题主要考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求函数解析式，求出点的坐标是解题的关键，也是本题的难点．
 

18.【答案】解：由表格可知：销售单价每涨元，就少销售，
与是一次函数关系，
与的函数关系式为：，
销售单价不低于元且不高于元，
自变量的取值范围为：；
设销售利润为元，
则

，
，
当时，随的增大而增大，
当时，销售利润最大，最大利润是：元，
答：当销售单价为元时，销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】此题考查了二次函数与一次函数的应用．注意理解题意，找到等量关系是关键．
首先由表格可知：销售单价每涨元，就少销售，即可得与是一次函数关系，则可求得答案；
首先设销售利润为元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．
 

19.【答案】解：由题意得：的有人，
，
，
，
把抽取了名学生的成绩排序为：                                                                              ，
中位数，
其中出现的次数最多，
；
抽取的名学生的成绩在的有人，
人，
即该校八年级学生共有人，估计成绩在的学生大约有人；
积极参加体质加强训练项目，提升体质水平，争取达到平均分分． 

【解析】由题意可得、的值，再由中位数和众数的定义求出，即可；
求出抽取的名学生的成绩在的有人，进而得出答案；
根据抽取的名学生的成绩的平均数提出建议即可．
本题考查了统计表、众数、中位数、平均数、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：如图，过点作，垂足为点，由题意可知，
，，米，
在中，，米，
米，
答：无人机的飞行高度为米；
由可得米，
在中，
，即：，
米，
米，
米，
答：河流的宽度约为米． 

【解析】在中，由，，可求出；
在中，，，可求出，进而求出和即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
 

21.【答案】证明：是的直径，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
与相切；
解：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论；
根据三角形的内角和得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

22.【答案】解：函数图象如图所示：

，，．
由题意，．
由题意，
，
可得，
令，解得或，
由的图象开口向上，两根之间的图象在轴下方，
故得时，
长应控制在的范围内． 

【解析】

【分析】
用光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可．
利用图象法解决问题即可．
总造价底面的造价侧面的造价，构建函数关系式即可．
二次函数图象解决问题即可．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：见答案；
若，则；若，则，
若，则．
故答案为，，．
见答案．  

23.【答案】解：，抛物线的对称轴为直线，
则点、的坐标分别为、，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
顶点坐标为：；

由平移的性质得，抛物线的顶点坐标为：，
则抛物线的表达式为：，
当时，，
则点在抛物线上，
即的顶点在上；

由题意得，抛物线的表达式为：，
同理可得，，
，
将点的坐标代入的表达式得：，
解得：，
抛物线的表达式为：；

令，
解得：，
则，
解得：． 

【解析】求出点、的坐标，再用待定系数法即可求解；
由平移的性质得，抛物线的顶点坐标为：，进而求解；
推理出，即可求解；
令，得到，再由面积公式即可求解．
本题为二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的性质和图象、面积的计算等，按题设的顺序逐次求解和理解新定义是此类题目解题的关键．