2022年湖南省邵阳市邵阳县中考数学模拟试卷（教师版）

这是一份2022年湖南省邵阳市邵阳县中考数学模拟试卷（教师版），共21页。试卷主要包含了选择题．，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省邵阳市邵阳县中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题．（单选题，本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（﹣5）2的平方根是（　　）
A．﹣5 B．±5 C．5 D．25
2．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有（　　）
①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0； ④当x＞0时，y随x的增大而减小．

A．①② B．②③ C．①④ D．②④
3．（3分）不等式的整数解的个数是（　　）
A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个
4．（3分）如图：AD∥BC，AB＝AC，∠ABC＝52°，则∠DAC的度数为（　　）

A．52° B．62° C．64° D．42°
5．（3分）如果两组数据x1，x2、……xn；y1，y2……yn的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数是（　　）
A．2 B．2 C．2+ D．
6．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则C的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣2
7．（3分）如图：将▱ABCD的对角线的交点与直角坐标系的原点重合，且点B（，﹣1）和C（2，1）所分别对应的D点和A点的坐标是（　　）

A．（﹣，1）和（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1）和（﹣，﹣1）
C．（﹣2，1）和（，1） D．（﹣1，﹣2）和（﹣1，）
8．（3分）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（　　）

A．4cm B．4cm C．5cm D．2.5cm
9．（3分）已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5
10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为　 　．
12．（3分）单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式，则m+n＝　 　．
13．（3分）已知1+3＝41+3+5＝91+3+5+7＝161+3+5+7+9＝25，则1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝　 　（其中n为自然数）
14．（3分）如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝2，tan∠BCD＝，则AB＝　 　．

15．（3分）如图：点A在反比例函数y＝的图象上，作AB⊥x轴，垂足为点B，若△AOB的面积为4，则k的值为　 　．

16．（3分）抛物线y＝2x2+1向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为　 　．
17．（3分）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为　 　cm．
18．（3分）从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是6的倍数的概率为　 　．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分）
19．（8分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝2．
20．（8分）已知：如图，▱ABCD中，AF＝CE，EF与对角线BD相交点O，求证：OB＝OD．

21．（8分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
22．（8分）某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查，见表：
抽取灯泡数a
40
100
150
500
1000
1500
优等品数b
36
92
145
474
950
1427
优等品频率ba






（1）计算表中的优等品的频率（精确到0.001）；
（2）根据抽查的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率（精确到0.01）．
23．（8分）建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．
（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？
（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？

24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．

25．（8分）一艘航母在海上由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后达到B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94；cos70°≈0.34；tan70°≈2.75；sin37°≈0.6；cos37°≈0.80；tan37°≈0.75）

26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的详解式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．


湖南省邵阳市邵阳县中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题详解
一、选择题．（单选题，本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（﹣5）2的平方根是（　　）
A．﹣5 B．±5 C．5 D．25
【分析】根据平方根的定义进行计算即可得解．
【解答】解：∵（﹣5）2＝（±5）2，
∴（﹣5）2的平方根是±5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的有（　　）
①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0； ④当x＞0时，y随x的增大而减小．

A．①② B．②③ C．①④ D．②④
【分析】由函数图象可得抛物线开口向下，得到a＜0，又对称轴在y轴右侧，可得b＞0，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，得到c＞0，进而得到abc＜0，结论①错误；由抛物线与x轴的交点为（3，0）及对称轴为x＝1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），进而得到方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣1和3，结论②正确；由抛物线的对称轴为x＝1，利用对称轴公式得到2a+b＝0，结论③正确；由抛物线的对称轴为直线x＝1，得到对称轴右边y随x的增大而减小，对称轴左边y随x的增大而增大，故x大于0小于1时，y随x的增大而增大，结论④错误．
【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；
∵对称轴为直线x＝1，∴﹣＝1，即2a+b＝0，故③正确；
∵由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；
当x＞1时，y随x的增大而减小，故④错误；
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c的符号由抛物线与y轴交点的位置确定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线详解式中y＝0得到一元二次方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．
3．（3分）不等式的整数解的个数是（　　）
A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的整数解，即可得出答案．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣0.5，
解不等式②得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣0.5＜x≤2，
∴不等式组的整数解为0，1，2，共3个．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．
4．（3分）如图：AD∥BC，AB＝AC，∠ABC＝52°，则∠DAC的度数为（　　）

A．52° B．62° C．64° D．42°
【分析】根据等腰三角形的性质可求出底角∠ACB的度数，然后根据两直线平行，内错角相等解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝52°，
∴∠ACB＝52°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝52°．
故选：A．
【点评】考查了平行线的性质，运用了等腰三角形的性质、平行线的性质．
5．（3分）如果两组数据x1，x2、……xn；y1，y2……yn的平均数分别为和，那么新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数是（　　）
A．2 B．2 C．2+ D．
【分析】均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
【解答】解：由已知，（x1+x2+…+xn）＝n，
（y1+y2+…+yn）＝n，
新的一组数据2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn的平均数为
（2x1+y1，2x2+y2……2xn+yn）÷n
＝[2（x1+x2+…+xn）+（y1+y2+…+yn）]÷n
＝（）÷n
＝2+
故选：C．
【点评】本题考查平均数的计算，可以先把它们都加起来，再除以数据的个数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
6．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则C的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【分析】将经过的点的坐标代入抛物线求解即可．
【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），
∴2×22﹣4×2+c＝﹣3，
解得c＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标适合详解式是解题的关键．
7．（3分）如图：将▱ABCD的对角线的交点与直角坐标系的原点重合，且点B（，﹣1）和C（2，1）所分别对应的D点和A点的坐标是（　　）

A．（﹣，1）和（﹣2，﹣1） B．（2，﹣1）和（﹣，﹣1）
C．（﹣2，1）和（，1） D．（﹣1，﹣2）和（﹣1，）
【分析】由四边形ABCD对角线的交点与直角坐标系的原点重合，即可得出B、C与D、A分别关于原点对称，进而可求解．
【解答】解：∵B、C与D、A分别关于原点对称，点B与点C的坐标分别是（，﹣1），C（2，1），
∴可得D点的坐标为（﹣，1）；点A的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查坐标与图形的结合问题，即对称问题，熟练掌握平行四边形的性质及对称的而性质，能够求解一些简单的问题．
8．（3分）已知⊙O的直径AB＝8cm，点C在⊙O上，且∠BOC＝60°，则AC的长为（　　）

A．4cm B．4cm C．5cm D．2.5cm
【分析】先证明△OBC是等边三角形，得∠ABC＝60°，再解直角三角形得AC．
【解答】解：∵OB＝OC，∠BOC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝ABsin60°＝8×＝4．
故选：B．
【点评】本题是考查圆的基本性质的一个题，主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，关键是证明∠ABC＝60°．
9．（3分）已知：α为锐角，且＝1，则tanα的值等于（　　）
A．﹣1 B．2 C．3 D．2.5
【分析】根据同角三角函数关系tanα＝进行解答．
【解答】解：由＝1，得＝1．
所以＝1．
解得tanα＝2.5．
故选：D．
【点评】考查了同角三角函数关系，熟练运用同角的同角三角函数关系式进行求解．
10．（3分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，
∴，
解得﹣1＜m＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（3分）多项式x4﹣7x2+12在实数范围内因式分解为　（x+2）（x﹣2）（x+）（x﹣）　．
【分析】原式利用十字相乘法，以及平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x2﹣4）（x2﹣3）＝（x+2）（x﹣2）（x+）（x﹣），
故答案为：（x+2）（x﹣2）（x+）（x﹣）
【点评】此题考查了实数范围内分解因式，以及因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式，则m+n＝　3　．
【分析】直接利用合并同类项法则得出关于m，n的方程组进而得出答案．
【解答】解：∵单项式3xm+2ny8与﹣2x2y3m+4n的和仍是单项式，
∴，
解得：，
则m+n＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确求出m，n的值是解题关键．
13．（3分）已知1+3＝41+3+5＝91+3+5+7＝161+3+5+7+9＝25，则1+3+5+7+9+…+（2n+1）＝　（n+1）2　（其中n为自然数）
【分析】观察题中已知：是从1开始的奇数求和，结果为自然数的平方，若算式的最后一个为2n+1，结果恰是（n+1）2，由此可以求解．
【解答】解：∵1+3＝4＝22；
1+3+5＝9＝32；
1+3+5+7＝16＝42；
1+3+5+7+9＝25＝52
…
∴1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝（n+1）2．
故答案为：（n+1）2．
【点评】此题主要考查数的规律探索与运用，观察已知找到存在的规律，并准确应用是解题的关键．
14．（3分）如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，若AC＝2，tan∠BCD＝，则AB＝　3　．

【分析】由等角的余角相等可得出∠A＝∠BCD，在Rt△ABC中，由tanA＝可求出BC的长，再利用勾股定理可求出AB的长．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°；
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90，
∴∠A＝∠BCD．
在Rt△ABC中，tanA＝，
∴BC＝AC•tanA＝，
∴AB＝＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了解直角三角形、三角形内角和定理以及勾股定理，利用tanA＝求出BC的长是解题的关键．
15．（3分）如图：点A在反比例函数y＝的图象上，作AB⊥x轴，垂足为点B，若△AOB的面积为4，则k的值为　8　．

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【解答】解：∵点A是反比例函数y＝图象上一点，作AB⊥x轴，垂足为点B，
∴S△AOB＝|k|＝4；
又∵函数图象位于一、三象限，
∴k＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
16．（3分）抛物线y＝2x2+1向右平移2个单位长度，得到新的抛物线的表达式为　y＝2（x﹣2）2+1　．
【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的详解式．
【解答】解：∵y＝2x2+1，
∴抛物线y＝2x2+，1的顶点坐标是（0，1），
∴将抛物线y＝2x2+1向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（2，1），
则平移后新抛物线的详解式为：y＝2（x﹣2）2+1．
故答案是：y＝2（x﹣2）2+1．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数详解式．
17．（3分）一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为　2π　cm．
【分析】根据弧长公式可得结论．
【解答】解：根据题意，扇形的弧长为＝2π，
故答案为：2π
【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
18．（3分）从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是6的倍数的概率为　　．
【分析】根据概率公式计算可得．
【解答】解：从编号分别为1到100的100张卡片中任取一张，所得编号是6的倍数的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
三、解答题（本大题有8个小题，第19-25题每小题8分，第26题10分，共66分）
19．（8分）先化简再求值：（﹣）÷，其中x＝2．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝
＝﹣，
当x＝2时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8分）已知：如图，▱ABCD中，AF＝CE，EF与对角线BD相交点O，求证：OB＝OD．

【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，由“AAS”可证△DOF≌△BOE，即可得OB＝DO．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠ADB＝∠DBC
∵AF＝CE，AD＝BC
∴DF＝BE，且∠DOF＝∠BOE，∠ADB＝∠DBC
∴△DOF≌△BOE（AAS）
∴OB＝OD
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△DOF≌△BOE是本题的关键．
21．（8分）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2800kg，则至少购进A型机器人多少台？
【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，根据A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同建立方程求出其解就可以得出结论．
（2）设购进A型机器人a台，根据每小时搬运材料不得少于2800kg列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）千克材料，
根据题意，得＝，
解得x＝120．
经检验，x＝120是所列方程的解．
当x＝120时，x+30＝150．
答：A型机器人每小时搬运150千克材料，B型机器人每小时搬运120千克材料；

（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，
根据题意，得150a+120（20﹣a）≥2800，
解得a≥．
∵a是整数，
∴a≥14．
答：至少购进A型机器人14台．
【点评】本题考查了分式方程的运用，一元一次不等式的运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的数量关系．
22．（8分）某工厂对一批灯泡的质量进行随机抽查，见表：
抽取灯泡数a
40
100
150
500
1000
1500
优等品数b
36
92
145
474
950
1427
优等品频率ba






（1）计算表中的优等品的频率（精确到0.001）；
（2）根据抽查的灯泡优等品的频率，估计这批灯泡优等品的概率（精确到0.01）．
【分析】（1）根据优等品的频数除以数据的总个数即可求得优等品的频率；
（2）根据表格中的数据可以得到优等品的概率；
【解答】解：（1）表中优等品的频率从左到右依次是：0.900 0.920 0.967 0.948 0.950 0.951．
（2）根据求出的优等品的频率，可以知道，随着抽取的灯泡数的增多，优等品的频率逐渐稳定在0.95左右，由此可以估计这批灯泡优等品的概率是0.95
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用概率的知识解答．
23．（8分）建造一个面积为130m2的长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长为a米，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆总长为33米．
（1）求养鸡场的长与宽各为多少米？
（2）若10≤a＜18，题中的解的情况如何？

【分析】（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，利用厂房的面积公式结合养鸡场的面积为130m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合10≤a＜18，可得出长方形的长为13米宽为10米．
【解答】解：（1）设养鸡场的宽为x米，则长为（33﹣2x）米，
依题意，得：（33﹣2x）x＝130，
解得：x1＝6.5，x2＝10，
∴33﹣2x＝20或13．
答：养鸡场的长为20米宽为6.5米或长为13米宽为10米．
（2）∵10≤a＜18，
∴33﹣2x＝13，
∴养鸡场的长为13米宽为10米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA＝∠ABC．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P＝60°，PC＝2，求PE的长．

【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，求得∠BCO+∠ACO＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BCO，等量代换得到∠BCO＝∠ACP，求得∠OCP＝90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠ACO＝90°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO，
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACP，
∴∠ACP+∠OCA＝90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵∠P＝60°，PC＝2，∠PCO＝90°，
∴OC＝2，OP＝2PC＝4，
∴PE＝OP﹣OE＝OP﹣OC＝4﹣2．

【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
25．（8分）一艘航母在海上由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后达到B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向，如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94；cos70°≈0.34；tan70°≈2.75；sin37°≈0.6；cos37°≈0.80；tan37°≈0.75）

【分析】根据题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
【解答】解：由题意知∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里．
在Rt△ACD中，cos∠ACD＝．
∴≈0.34，
∴CD＝27.2（海里）
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝．
∴≈0.75，
∴BD＝20.4（海里）．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的详解式；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

【分析】（1）根据OA，OB的长，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数详解式；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得EG，EF的长，根据整式的加减，可得答案．
【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA＝3，OB＝1，得
A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；
（2）设抛物线的详解式为y＝a（x+3）（x﹣1），
把C点坐标代入函数详解式，得
a（0+3）（0﹣1）＝3，
解得a＝﹣1，
抛物线的详解式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；
（3）EF+EG＝8（或EF+EG是定值），理由如下：
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．
设P（t，﹣t2﹣2t+3），
则PQ＝﹣t2﹣2t+3，AQ＝3+t，QB＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴＝，
∴EF＝＝＝×（﹣t2﹣2t+3）＝2（1﹣t）；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴＝，
∴EG＝＝＝2（t+3），
∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8．

【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用点的坐标表示方法；解（2）的关键是利用待定系数法；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出EG，EF的长，又利用了整式的加减．