2022年上海市浦东新区第四教育署中考数学模拟试卷（3月份）（教师版）

这是一份2022年上海市浦东新区第四教育署中考数学模拟试卷（3月份）（教师版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市浦东新区第四教育署中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2x3＝x6 B．x3+x2＝x5 C．（3x3）2＝9x5 D．（2x）2＝4x2
2．（4分）下列各式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（ x+1）2 B．y＝（ x﹣3）2
C．y＝（ x﹣1）2+2 D．y＝（ x﹣1）2﹣2
4．（4分）正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
5．（4分）已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（　　）
A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1或d＞5 D．0≤d＜1或d＞5
6．（4分）下列命题中的真命题是（　　）
A．关于中心对称的两个图形全等
B．全等的两个图形是中心对称图形
C．中心对称图形都是轴对称图形
D．轴对称图形都是中心对称图形
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）计算：a﹣（a﹣b）＝　 　．
8．（4分）因式分解：a2﹣2a＝　 　．
9．（4分）方程的解是x＝　 　．
10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是　 　．
11．（4分）函数中，自变量x的取值范围是　 　．
12．（4分）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是　 　．
13．（4分）解方程时，如果设y＝x2+x，那么原方程可化为　 　．
14．（4分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是　 　．
15．（4分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的中线，如果CD＝2，那么AB＝　 　．
16．（4分）在四边形ABCD中，E是AB边的中点，设，，那么用，表示为　 　．
17．（4分）已知一个弓形所在圆的直径10厘米，弓形的高为2厘米，那么这个弓形的弦长为　 　厘米．
18．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝，∠B＝45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于　 　．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：33+（）﹣2﹣|0﹣1|+（）0
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形统计图和条形统计图：

请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）小张同学共调查了　 　名居民的年龄，扇形统计图中a＝　 　；
（2）补全条形统计图，并注明人数；
（3）若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为　 　；
（4）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有3500人，请估计该辖区居民人数是　 　人．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，圆O经过点B、C，圆心O在△ABC的内部，且到点A的距离为2，求圆O的半径．

23．（12分）在△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BD交CA延长线于点E．
（1）求证：ED2＝EA•EC；
（2）若ED＝6，BD＝CD＝3，求BC的长．

24．（12分）已知：函数y＝ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y＝ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y＝ax2+x+1上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

25．（14分）已知：如图，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝3，AD＝2．点P在线段AB上，连接PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．

（1）当AP＝AD时，求线段PC的长；
（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数详解式，并写出函数的定义域；
（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．

上海市浦东新区第四教育署中考数学模拟试卷（3月份）
参考答案与试题详解
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．x2x3＝x6 B．x3+x2＝x5 C．（3x3）2＝9x5 D．（2x）2＝4x2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
【分析】根据同底数幂的运算法则进行计算即可．
【解答】解：A、应为x2x3＝x5，故本选项错误；
B、x3与x2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为（3x3）2＝9x6，故本选项错误；
D、应为（2x）2＝4x2，正确．
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的运算：乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指数相减；
乘方，底数不变，指数相乘．
2．（4分）下列各式中与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．菁优网版权所有
【分析】先化简二次根式，再判定即可．
【解答】解：A、与不是同类二次根式，
B、＝2，所以与不是同类二次根式，
C、＝2，所以与是同类二次根式，
D、＝2，所以与不是同类二次根式，
故选：C．
【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．
3．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（　　）
A．y＝（ x+1）2 B．y＝（ x﹣3）2
C．y＝（ x﹣1）2+2 D．y＝（ x﹣1）2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
【专题】535：二次函数图象及其性质．
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式详解式写出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），
∵向左平移2个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），
∴所得抛物线的表达式为y＝（ x+1）2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
4．（4分）正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．108°
【考点】R3：旋转对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据旋转的定义，最小旋转角即为正五边形的中心角．
【解答】解：正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是＝72度．
故选：C．
【点评】考查图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．
【链接】旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
5．（4分）已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（　　）
A．0＜d＜1 B．d＞5 C．0＜d＜1或d＞5 D．0≤d＜1或d＞5
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】55：几何图形．
【分析】若两圆没有公共点，则可能外离或内含，据此考虑圆心距的取值范围．
【解答】解：若两圆没有公共点，则可能外离或内含，
外离时的数量关系应满足d＞5；
内含时的数量关系应满足0≤d＜1．
故选：D．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，关键是根据两圆的位置关系和数量关系之间的等价关系解答．
6．（4分）下列命题中的真命题是（　　）
A．关于中心对称的两个图形全等
B．全等的两个图形是中心对称图形
C．中心对称图形都是轴对称图形
D．轴对称图形都是中心对称图形
【考点】O1：命题与定理；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义和真假命题的概念进行分析．
【解答】解：A、关于中心对称的两个图形全等，故正确；
B、全等的两个图形不一定是中心对称图形，故错误；
C、中心对称图形不一定是轴对称图形，故错误；
D、轴对称图形不一定是中心对称图形，故错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及真假命题的概念．
【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．（4分）计算：a﹣（a﹣b）＝　b　．
【考点】35：合并同类项；36：去括号与添括号．菁优网版权所有
【分析】去括号时注意符合的变化，然后合并同类项．
【解答】解：a﹣（a﹣b）＝a﹣a+b＝b．
【点评】括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．
8．（4分）因式分解：a2﹣2a＝　a（a﹣2）　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．菁优网版权所有
【专题】44：因式分解．
【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
【点评】本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可．
9．（4分）方程的解是x＝　4　．
【考点】AG：无理方程．菁优网版权所有
【分析】将无理方程两边平方，转化为一元一次方程来解．
【解答】解：两边平方得：x﹣3＝1，
移项得：x＝4．
经检验x＝4是原方程的根．
故本题答案为：x＝4．
【点评】本题由于两边平方，可能产生增根，所以解答以后要验根．
10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是　m≤　．
【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．
【解答】解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，
△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，
解得m．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
11．（4分）函数中，自变量x的取值范围是　x≠1　．
【考点】62：分式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．菁优网版权所有
【分析】分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是　k＜1　．
【考点】G4：反比例函数的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据k＜0时，图象是位于二、四象限即可得出结果．
【解答】解：由题意可得k﹣1＜0，
则k＜1．
故答案为：k＜1．
【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
13．（4分）解方程时，如果设y＝x2+x，那么原方程可化为　y2+y﹣2＝0　．
【考点】B4：换元法解分式方程．菁优网版权所有
【专题】43：换元法．
【分析】本题考查用换元法整理分式方程的能力，关键是明确方程各部分与y的关系，用y代替，转化为整式方程即可．
【解答】解：由y＝x2+x得y+1＝，
去分母得y2+y﹣2＝0．
【点评】本题考查换元法解分式方程，要注意题设中的所设分式形式，及其变形整理．
14．（4分）在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的3个红球和11个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是　　．
【考点】X4：概率公式．菁优网版权所有
【分析】根据题意分析可得：共11+3＝14个球，其中3个红球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是．
【解答】解：P（摸到红球）＝．
故本题答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
15．（4分）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的中线，如果CD＝2，那么AB＝　4　．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线．菁优网版权所有
【分析】此题主要考查直角三角形的性质，可直接求得结果．
【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，∴AB＝2CD＝4．
【点评】熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
16．（4分）在四边形ABCD中，E是AB边的中点，设，，那么用，表示为　﹣　．
【考点】LM：*平面向量．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】画出图形，根据平行四边形法则解答即可．
【解答】解：根据平行四边形法则，
+＝，
即＝﹣＝﹣＝﹣．
故答案为﹣．

【点评】此题结合四边形考查了平面向量，利用平行四边形法则是解题的关键．
17．（4分）已知一个弓形所在圆的直径10厘米，弓形的高为2厘米，那么这个弓形的弦长为　8　厘米．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．菁优网版权所有
【分析】连接弓形所在圆的圆心及弓形弦的一端，过圆心作弓形弦的垂线，在构建的直角三角形中，可根据圆的半径和弓形的高求出弓形弦的弦心距，进而可根据勾股定理求出弓形的弦长．
【解答】解：如图，弓形AB的高CD＝2厘米，连接OA，
Rt△OAD中，OA＝5cm，OD＝OC﹣CD＝3cm，
根据勾股定理，得AD＝4cm，
故AB＝2AD＝8cm．
即这个弓形的弦长是8厘米．

【点评】此题主要考虑的是垂径定理及勾股定理的应用．
18．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝，∠B＝45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于　2，﹣3，　．

【考点】LJ：等腰梯形的性质．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】首先理解题意，得出此题应该分三种情况进行分析，分别是AB＝AE，AB＝BE，AE＝BE，从而得到最后答案．
【解答】解：作AM⊥BC，DN⊥BC，

根据已知条件可得，BM＝（BC﹣AD）÷2，
在直角三角形ABM中，cosB＝，
则AB＝（BC﹣AD）÷2÷cosB＝3，
①当AB＝AE′时，如图，

∠B＝45°，∠AE′B＝45°，
∴AE′＝AB＝3，
则在Rt△ABE′中，BE′＝＝3，
故E′C＝4﹣3＝．
易得△FE′C为等腰直角三角形，
故CF＝＝2．

②当AB＝BE″时，

∵AB＝3，
∴BE″＝3，
∵∠AE″B＝∠BAE″＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠FE″C＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CFE″＝180°﹣∠C﹣∠FE″C＝67.5°，
∵△E″CF为等腰三角形，
∴CF＝CE″＝CB﹣BE″＝4﹣3；

③当AE＝BE′″时，△ABE′″和△CFE′″是等腰Rt△，

∴BE′″＝，
∴CE′″＝
∴CF＝FE′″＝．
故答案为：2，4﹣3，．
【点评】本题要注意分析出现等腰三角形的情况．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：33+（）﹣2﹣|0﹣1|+（）0
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用负指数幂的性质和零指数幂的性质进而得出答案．
【解答】解：原式＝27+4﹣1+1
＝31．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）解方程组：．
【考点】AF：高次方程．菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】由①得出（x+y）（x﹣2y）＝0，即可转化成两个二元一次方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：
由①得：（x+y）（x﹣2y）＝0，
x+y＝0，x﹣2y＝0，
即原方程组化为，，
解得：，，
即原方程组的解为，．
【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二次一次方程组是解此题的关键．
21．（10分）小张同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形统计图和条形统计图：

请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）小张同学共调查了　500　名居民的年龄，扇形统计图中a＝　20%　；
（2）补全条形统计图，并注明人数；
（3）若在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为　12%　；
（4）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有3500人，请估计该辖区居民人数是　17500　人．
【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）用15～40岁的人数除以该组所占百分比即可得到总人数；用0～14岁人数除以总人数即可得到该组所占百分比；
（2）小长方形的高等于该组的人数；
（3）抽中的概率等于该组占全部的百分数；
（4）用总人数乘以该组所占百分比即可．
【解答】解：（1）由条形统计图和扇形统计图可知：15～40岁的有230人，占总人数的46%，
∴230÷46%＝500人，
∵0～14岁有100人，
∴a＝100÷500＝20%；
（2）
（3）∵抽中的概率等于该组所占百分比，
∴在该辖区中随机抽取一人，那么这个人年龄是60岁及以上的概率为12%；
（4）3500÷（1﹣46%﹣22%﹣12%）＝17500．
【点评】本题考查了统计图的知识，解题的关键是正确的识图．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，sin∠ABC＝，圆O经过点B、C，圆心O在△ABC的内部，且到点A的距离为2，求圆O的半径．

【考点】M2：垂径定理；T7：解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，由于AB＝AC，所以BD＝CD，故AD过圆心O，再根据sin∠ABC＝求出AD的长，根据勾股定理得出BD的长，在Rt△OBD中根据勾股定理求出OB的长即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴AD过圆心O，
∵sin∠ABC＝，即＝，
∴AD＝＝＝6，
∴OD＝AD﹣OA＝6﹣2＝4，
∴BD＝＝＝8，
在Rt△OBD中，
∵OD＝4，BD＝8，
∴OB＝＝＝4，即⊙O的半径为4．

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键
23．（12分）在△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BD交CA延长线于点E．
（1）求证：ED2＝EA•EC；
（2）若ED＝6，BD＝CD＝3，求BC的长．

【考点】S9：相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有
【专题】552：三角形．
【分析】（1）根据EF是BD的垂直平分线，可得EB＝ED，再证明△EAB∽△EBC，列比例式为，将EB与ED替换可得结论；
（2）解法一：根据△EAB∽△EBC，得，代入可得EA＝4，作高线AG、DH，根据勾股定理求EF＝，利用面积法可得DH的长，再用平行相似得：△AGE∽△DHE，列比例式得AG的长，从而得EG的长，根据勾股定理得BC的长．
解法二：证明△ABD∽△ACB，则，得AB和BC的长．
【解答】（1）证明：∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵∠EDB＝∠C+∠DBC，∠EBD＝∠ABE+∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠C＝∠ABE，
∵∠BEC＝∠BEA，
∴△EAB∽△EBC，
∴，
∴EB2＝EA•EC，
∵EB＝ED，
∴ED2＝EA•EC；
（2）解法一：∵ED＝EB＝6，BD＝CD＝3，
∴EC＝6+3＝9，
由（1）知：ED2＝EA•EC；
∴EA＝4，
如右图，过A作AG⊥EB于G，过D作DH⊥EB于H，
Rt△EFD中，ED＝6，DF＝，
∴EF＝＝，
∴S△EBD＝EB•DH＝BD•EF，
∴DH＝EF＝，
∵AG∥DH，
∴△AGE∽△DHE，
∴＝＝，
∴＝，AG＝，
由勾股定理得：EG＝＝＝，
∴BG＝6﹣＝，
由勾股定理得：AB＝＝＝，
∵△EAB∽△EBC，
∴，
∴，
∴BC＝．
解法二：根据解法一得：AE＝4，
∴AD＝2，AC＝5，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴，
∴AB＝，BC＝．

【点评】本题考查了三角形相似的性质和判定、勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握三角形相似的性质和判定是关键，并利用面积法和勾股定理计算边的长．
24．（12分）已知：函数y＝ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点．
（1）求这个函数关系式；
（2）如图所示，设二次函数y＝ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标；
（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y＝ax2+x+1上？若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）此题应分两种情况：①a＝0，此函数是一次函数，与x轴只有一个交点；
②a≠0，此函数是二次函数，可由根的判别式求出a的值，以此确定其详解式；
（2）设圆与x轴的另一个交点为C，连接PC，由圆周角定理知PC⊥BC；由于PB是圆的直径，且AB切圆于B，得PB⊥AB，由此可证得△PBC∽△BAO，根据两个相似三角形的对应直角边成比例，即可得到PC、BC的比例关系，可根据这个比例关系来设P点的坐标，联立抛物线的详解式即可求出P点的坐标；
（3）连接CM，设CM与PB的交点为Q，由于C、M关于直线PB对称，那么PB垂直平分CM，即CQ＝QM；过M作MD⊥x轴于D，取CD的中点E，连接QE，则QE是Rt△CMD的中位线；在Rt△PCB中，CQ⊥OB，QE⊥BC，易证得∠BQE、∠QCE都和∠CPQ相等，因此它们的正切值都等于（在（2）题已经求得）；由此可得到CE＝2QE＝4BE，（2）中已经求出了CB的长，根据CE、BE的比例关系，即可求出BE、CE、QE的长，由此可得到Q点坐标，也就得到M点的坐标，然后将点M代入抛物线的详解式中进行判断即可．
【解答】解：（1）当a＝0时，y＝x+1，图象与x轴只有一个公共点
当a≠0时，△＝1﹣4a＝0，a＝，此时，图象与x轴只有一个公共点．
∴函数的详解式为：y＝x+1或y＝x2+x+1；

（2）设P为二次函数图象上的一点，过点P作PC⊥x轴于点C；
∵y＝ax2+x+1是二次函数，由（1）知该函数关系式为：
y＝x2+x+1，
∴顶点为B（﹣2，0），图象与y轴的交点
坐标为A（0，1）
∵以PB为直径的圆与直线AB相切于点B
∴PB⊥AB则∠PBC＝∠BAO
∴Rt△PCB∽Rt△BOA
∴＝，故PC＝2BC，
设P点的坐标为（x，y），
∵∠ABO是锐角，∠PBA是直角，
∴∠PBO是钝角，
∴x＜﹣2
∴BC＝﹣2﹣x，PC＝﹣4﹣2x，
即y＝﹣4﹣2x，P点的坐标为（x，﹣4﹣2x）
∵点P在二次函数y＝x2+x+1的图象上，
∴﹣4﹣2x＝x2+x+1
解之得：x1＝﹣2，x2＝﹣10
∵x＜﹣2，
∴x＝﹣10，
∴P点的坐标为：（﹣10，16）

（3）点M不在抛物线y＝ax2+x+1上
由（2）知：C为圆与x轴的另一交点，连接CM，CM与直线PB的交点为Q，过点M作x轴的垂线，垂足为D，取CD的中点E，连接QE，则CM⊥PB，且CQ＝MQ，即QE是中位线．
∴QE∥MD，QE＝MD，QE⊥CE
∵CM⊥PB，QE⊥CE，PC⊥x轴
∴∠QCE＝∠EQB＝∠CPB
∴tan∠QCE＝tan∠EQB＝tan∠CPB＝
CE＝2QE＝2×2BE＝4BE，又CB＝8，
故BE＝，QE＝
∴Q点的坐标为（﹣，）
可求得M点的坐标为（，）
∵++1＝≠
∴C点关于直线PB的对称点M不在抛物线y＝ax2+x+1上．

【点评】此题是二次函数的综合题，涉及到一次函数、二次函数详解式的确定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形中位线定理，解直角三角形的应用等重要知识，需要特别注意的是（1）题所求的是函数y＝ax2+x+1，而没有明确是一次函数还是二次函数，所以要把两种情况都考虑到，以免漏解．
25．（14分）已知：如图，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝3，AD＝2．点P在线段AB上，连接PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．

（1）当AP＝AD时，求线段PC的长；
（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数详解式，并写出函数的定义域；
（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．
【考点】SO：相似形综合题．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；32：分类讨论．
【分析】（1）过C作CE垂直于AE，交AD的延长线于E点，在由AB垂直于BC，PD垂直于CD，以及AD平行于BC，得到三个角为直角，再由AD与BC平行，利用两直线平行同旁内角互补得到∠BAC为直角，利用三个角为直角的四边形是矩形得到ABCE为矩形，根据矩形的对边相等可得出CE＝AB＝3，利用同角的余角相等的一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形ADP与三角形DEC相似，由相似得比例，将AD与AP的长代入，得到DE＝CE＝3，在直角三角形ADP与直角三角形DEC中，分别利用勾股定理求出DP与DC的长，在直角三角形PDC中，利用勾股定理即可求出PC的长；
（2）在直角三角形APD中，由AP＝x，AD＝2，利用勾股定理表示出PD，再由三角形ADP与三角形DEC相似，由相似得比例，将AD与CE的长代入，根据表示出的PD表示出DC，根据三角形PDC为直角三角形，利用两直角边乘积的一半，即可表示出三角形PDC的面积，以及此时x的范围；
（3）当三角形APD相似于三角形DPC时，即得三角形APD，三角形DPC，以及三角形DCE都相似，分两种情况考虑：
（i）当点P与点B不重合时，可得出∠APD＝∠DPC，由三角形APD与三角形DCE相似得比例，再由三角形APD与三角形DPC相似得比例，将比例式变形后相等，可得出DE＝AD，由AD的长得出DE的长，根据AD+DE＝AE求出AE的长，再由ABCE为矩形，可得出BC＝AE，即可得到BC的长；（ii）当点P与点B重合时，如图所示∠ABD＝∠DBC，再由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换并利用等角对等边得到AB＝AD，为AB与AD不相等，故此种情况不存在，综上，得到满足题意的BC的长．
【解答】解：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，

∵AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD∥BC，
∴∠ABC＝∠AEC＝∠PDC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠BAE+∠ABC＝180°，又∠ABC＝90°，
∴∠BAE＝90°，
∴四边形ABCE为矩形，又AB＝3，
∴CE＝AB＝3，
又∵∠ADP+∠EDC＝90°，且∠DCE+∠EDC＝90°，
∴∠ADP＝∠DCE，又∠BAD＝∠DEC＝90°，
∴△APD∽△DCE，
∴＝，
由AP＝AD＝2，CE＝3，得：DE＝CE＝3，
在Rt△APD和Rt△DCE中，
根据勾股定理得：PD＝＝2，CD＝＝3，
在Rt△PDC中，根据勾股定理得：
PC＝＝＝；
（2）在Rt△APD中，由AD＝2，AP＝x，
根据勾股定理得：PD＝，
∵△APD∽△ECD，且CE＝3，AD＝2，
∴＝＝，
∴CD＝PD＝，
在Rt△PCD中，S△PCD＝PD•CD＝××，
∴所求函数详解式为y＝x2+3，此时函数的定义域为0≤x≤3；
（3）当△APD∽△DPC时，即得△APD∽△DPC∽△EDC，
根据题意，当△APD与△DPC相似时，有下列两种情况：
（i）当点P与点B不重合时，可知∠APD＝∠DPC，
由△APD∽△EDC，得＝，即＝，
由△APD∽△DPC，得＝，
∴＝，又AD＝2，
∴DE＝AD＝2，
∴AE＝AD+DE＝4，
又∵∠ABC＝∠BAE＝∠AEC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC＝AE＝4；
（ii）当点P与点B重合时，可知∠ABD＝∠DBC，
又∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AD＝AB，
而AD＝2，AB＝3，即AD≠AB，
故此种情况不存在．

综上，当△APD∽△DPC时，线段BC的长为4．
【点评】此题考查了相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及勾股定理，利用了数形结合及分类讨论的思想，灵活运用相似三角形的判定与性质是解本题的关键．