2023年山东省泰安宁阳第二实验中学中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省泰安宁阳第二实验中学中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，绝对值最小的数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式计算不正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图是由几个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为纳米纳米米“纳米”用科学记数法表示为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

5.  如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，点、在以为直径的半圆上，且，点是上任意一点，连接，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，是甲、乙两位同学五次体育测试成绩的折线统计图，下列说法：甲同学成绩的平均数更小，乙同学成绩的中位数是，甲同学成绩的众数是，乙同学成绩的方差更大；其中正确的说法有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

8.  如图，，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作，过点作的平行线交两弧于点、，则图中阴影部分的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在二次函数，与的部分对应值如下表：

则下列说法：图象经过原点；图象开口向下；当时，随的增大而增大；图象经过点；方程有两个不相等的实数根其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，在矩形中，，相交于点，过点作于点，交于点，过点作交于点交于点，连接，有下列结论：图中共有三个平行四边形；当时，四边形是菱形；；其中，正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在中，，，是的高上一个动点，以点为旋转中心把线段逆时针旋转得到，连接，则的最小值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  计算：        ．

14.  如图，图形是由图形旋转得到的，则旋转中心的坐标为______．

15.  关于的方程组，则的值等于        ．

16.  如图，渔船在处观测灯塔位于北偏西方向，轮船从处以海里小时的速度沿南偏西方向匀速航行，小时后到达码头处，此时，观测灯塔位于北偏西方向，则灯塔与码头相距        海里．

17.  如图，动点从坐标原点出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第秒运动到点，第秒运动到点，第秒运动到点，第秒运动到点则第秒时点所在位置的坐标是______．

18.  如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，是边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接则当取得最小值时，的长度为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式：；
计算：．

20.  本小题分
“米跑步”是体育中考的必考项目，某校为了了解学生长跑能力，学校从初三名学生中随机抽取部分学生进行测试，并将跑步时间折算成得分绘制统计图部分信息未给出，其中扇形统计图中分的圆心角度数为．

由图中给出的信息解答下列问题：
求抽取学生的总人数，并补全频数分布直方图；
如果全体初三学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果估计该校初三学生获得分学生的人数；
经过一段时间训练，学校将从之前抽测获得分的位同学名男生，名女生当中抽取人再次测试，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到的都是男生概率．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．
求一次函数与反比例函数的解析式；
若点在轴正半轴上，且，求点的坐标．

22.  本小题分
铭润超市用元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的倍．
试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？
如果超市将该品种苹果按每千克元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？

23.  本小题分
已知，为等边三角形，点在边上．
【基本图形】如图，以为一边作等边三角形，连结可得不需证明．
【迁移运用】如图，点是边上一点，以为一边作等边三角求证：．
【类比探究】如图，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由．
 

24.  本小题分
如图，抛物线过，，三点；点是第一象限内抛物线上的动点，点的横坐标是，且．
试求抛物线的表达式；直接写出抛物线对称轴和直线的表达式；
过点作轴并交于点，作轴并交抛物线的对称轴于点，若，求点的坐标；
当点运动到使时，请简要求出的值．
 

25.  本小题分
如图，在中，，平交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
绝对值最小的数是，
故选：．
根据绝对值的概念，零指数幂，负整数指数幂，分别求出每个选项中数的绝对值，即可确定答案．
本题考查了负整数指数幂，零指数幂，绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
，
故B符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，该几何体的主视图为：，
故选：．
由已知条件可知，主视图有列，每列小正方形数目分别为，，，据此可得出图形，从而求解．
本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
 

4.【答案】 

【解析】解：纳米米米．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
由，，可得，再由，可得．
本题主要考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
四边形为的内接四边形，
，
，
为直径，
，
，
．
故选：．
连接，如图，根据圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到，则可计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
本题考查了圆周角定理，求出的度数是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由题意可知，甲次的成绩分别为、、、、；乙次的成绩分别为、、、、；
甲同学成绩的平均数更小，说法正确；
乙同学成绩的中位数是，说法正确；
甲同学成绩的众数是，说法正确；
乙同学成绩的方差更大，说法正确．
所以正确的说法有个．
故选：．
根据折线统计图，可得甲次的成绩，乙次的成绩，根据众数、中位数，方差以及平均数的定义可得答案．
本题考查了折线统计图，利用折线统计图获得有效信息是解题关键，又利用了众数、中位数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
，，以为直径作半圆，圆心为点；以点为圆心，为半径作弧，
，，，
又，
．
在中，，，
，，，
的面积

，
故选：．
如图，连接图中根据已知条件易求得，，，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．
本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图表可以得出当或时，，时，，
，
解得：，
，
，
图象经过原点，故正确；
，
抛物线开口向上，故错误；
抛物线的对称轴是直线，
时，随的增大而增大，故正确；
把代入得，，
图象经过点，故正确；
抛物线与轴有两个交点、，
有两个不相等的实数根，故正确；
故选：．
结合图表可以得出当或时，，时，，根据此三点可求出二次函数解析式，然后根据二次函数的性质逐一判断即可．
此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及由解析式求函数与坐标轴的交点以及一元二次方程根的判别式的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故选：．
根据某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由元降到了元，列一元二次方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：矩形是特殊的平行四边形，
矩形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，
，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
，，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形．
图中有个平行四边形：四边形，四边形，四边形，
的结论正确；
当时，
四边形是矩形，
，
，
，
．
同理：．
，
．
，
，
，
，
，
平行四边形为菱形．
的结论正确；
如图，与不垂直，

的结论不正确；
，，
∽，
，
，
，，
．
的结论正确．
综上，结论正确的有：，
故选：．
利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理即可判定的结论正确；利用含角的直角三角形的性质，菱形的判定定理即可判定的结论正确；举出反例说吗的结论不正确；利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质即可判定的结论正确．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，在上截取，连接，

，，，
，，
线段逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
≌

当时，有最小值，即有最小值，
，，


故选：．
在上截取，连接，由等腰直角三角形的性质可得，，，由旋转的性质可得，，可证≌，可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求的最小值．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
先进行二次根数的乘法运算和化简，然后合并同类二次根式即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的旋转特殊角度如：，，，，．
利用旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，它们相交于点，则点为旋转中心，然后写出点坐标即可．
【解答】
解：如图，旋转中心点坐标为．

故答案为：．

15.【答案】 

【解析】解：，
，得，
整理得：．
故答案为：．
得出，去括号后合并同类项即可．
本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法求解是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作，垂足为，

，
由题意得：
海里，，，
，
在中，海里，
海里，
在中，海里，
灯塔与码头相距海里，
故答案为：．
过点作，垂足为，根据垂直定义可得：，根据题意可得：海里，，，从而利用三角形内角和定理，然后在中，利用锐角三角函数的定义可求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由题意分析可得，
动点第秒运动到，
动点第秒运动到，
动点第秒运动到，
以此类推，动点第秒运动到，
动点第秒运动到，
故答案为：．
分析点的运动路线及所处位置的坐标规律，进而求解．
此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
 

18.【答案】． 

【解析】解：如图，连接，则中，，

当在上时，最小，在上截取，连接，则，
设，则，，
在和中，利用勾股定理，可得
，即，
解得，
，
故答案为：．
连接，当在上时，最小，在上截取，连接，，则，设，则，，利用勾股定理，可得，即，解得．
本题主要考查了折叠的性质、正方形的性质、勾股定理、两点之间线段最短的综合运用；解题时，常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

19.【答案】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为，得：；




． 

【解析】根据解一元一次不等式的方法解答即可；
先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法和解一元一次不等式的方法．
 

20.【答案】解：获得分的学生的人数占抽取人数的百分数为：，
则剩余学生人数为：名，占抽取人数的，
抽取学生的总人数为：名，
获得分的学生的人数为：名，
补全频数分布直方图如下：

估计该校初三学生获得分学生的人数为：名；
列表如下：

一共有种等可能的结果，其中选中的两人均是男的情况共有种等可能的结果，
选中的两人都是男生． 

【解析】求出抽取的总人数，即可解决问题；
由初三学生总人数乘以获得分学生的人数所占的比例即可；
用列表法求出总的事件所发生的数目，再根据概率公式即可求出选中的这两人都是男生的概率．
本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象过点，点，
，
反比例函数的解析式为，
点的横坐标为，
，
把，代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
由可知，
点是轴上一点，且，
，
，
或． 

【解析】把点代入，解得，即可求得反比例函数的解析式以及的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
根据求得，进而即可求得的坐标．
本题是一次函数和反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

22.【答案】解：设试销时该品种苹果的进价是每千克元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
则两次共购进苹果千克，
答：试销时该品种苹果的进价是每千克元，两次共购进苹果千克．
元．
答：超市在这两次苹果销售中共盈利元． 

【解析】设试销时该品种苹果的进价是每千克元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克元，根据数量总价单价结合第二次购进苹果数量是试销的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
根据数量总价单价即可求出两次购进苹果的数量，再利用利用销售收入成本即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量关系，列式计算．
 

23.【答案】【基本图形】证明：与都是等边三角形，
，，，，
，即，
在与中，
，
≌ ，
，
，
，
；
【迁移运用】证明：如图，过点作，交于点，

是等边三角形，
，
，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，即，
在与中，
，
≌，
，
；
【类比探究】，
理由如下：如图，过点作，交于点，

是等边三角形，
，
，
，，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
，即，
在与中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】【基本图形】证明≌，根据全等三角形的性质得到，证明结论；
【迁移运用】过点作，交于点，证明≌，得到，证明结论；
【类比探究】过点作，交于点，仿照【迁移运用】的证明方法证明即可．
本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：把，，代入得：
，
解得，
抛物线的表达式为，
，
抛物线的对称轴为直线，
由，可得直线表达式为；
设，则，，
，，
，
，
解得或，
，
，
的坐标为；
作的平分线交轴与，过作于，设交轴于，如图：

平分，，，
，，
设，则，
，，
，
，
即，
解得，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
由，可得直线的函数表达式为，
解得或，
，
点的横坐标的值为． 

【解析】用待定系数法可得抛物线的表达式为，即知对称轴为直线，由，可得直线表达式为；
设，由，可得，解方程并根据，即得的坐标为；
作的平分线交轴与，过作于，设交轴于，知，，设，根据，有，可解得，从而，而，可得，，由，可得直线的函数表达式为，再联立解析式可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用放字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
 

25.【答案】证明：如图，连接，则，

，
是的平分线，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；

证明：如图，

连接，，，
是的直径，
，
，
，
，
，
由知，，
∽，
，
；

解：如图，

连接，由知，，
，
设的半径为，则，
，
，
在中，，
，
，
，，
连接，
由知，，，
，
在中，，
，
由知，，
． 

【解析】先判断出，得出，即可得出结论；
先判断出再判断出，进而得出，进而判断出∽，即可得出结论；
先利用三角函数求出的半径，进而求出，，再判断出，进而利用三角函数求出，最后借助的结论即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，求出圆的半径是解本题的关键．