镇江九校、南通通州区高三第一学期期末联考数学试卷解析版

2022届高三第一学期期末质量监测

数   学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

A．             B．                C．                D．

【答案】C

【解析】，，故选C．

2．已知集合，，则

A．          B．            C．             D．

【答案】B

【解析】，，，，故选B．

3．若二项式的展开式中常数项为160，则的值为

A．             B．              C．                  D．

【答案】B

【解析】，时，，，故选B．

4．甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是

A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分

B．第二名的总分可能超过18分

C．第三名的总分共有3种情形

D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

【答案】C

【解析】由题意甲的得分可能是23或25，三人总分为54分，所以第二名、第三名的总分之和可能是20或31分，A是对的，①第一名25，第二名20，第三名9；B对，②第一名25，第二名18，第三名11；③第一名23，第二名20，第三名11；④第一名23，第二名16，第三名14；第三名有四种情况，故选C．

5．梅森素数是指形如的素数，其中也是素数（质数），如是梅森素数，不是梅森素数．长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”．已知在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为

A．              B．              C．              D．

【答案】A

【解析】不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，8个数中取2个共个结果，梅森素数有3，7两个，至少有一个为梅森素数的情况有，故选A．

6．已知，，，则

A．         B．          C．         D．

【答案】A

【解析】，，，又，故选A．

7．在正三棱锥中，是棱上的点，且．设，与平面所成的角分别为，，则

A．               B．               C．             D．

【答案】D

【解析】设点到平面的距离为，，又和与平面所成的角相等，，，故选C．

8．函数广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数的最大整数，例如：，．已知函数，则

A．4097             B．4107           C．5119           D．5129

【答案】B

【解析】，，，…，，，由此规律可得和为，故选C．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列命题中，正确的是

A．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立

B．已知随机变量的方差为，则

C．已知随机变量服从二项分布，若，则

D．已知随机变量服从正态分布，若，则

【答案】BC

【解析】，互斥不能得到，独立，故A错；，故B对；，，C对；，，，，D错，故选BC．

10．已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足＝，则

A．直线BC的斜率为                 B．∠AOC＝60°

C．△ABC的面积为               D．B．C两点在同一象限

【答案】ABD

【解析】，，，A对；，，B对；，故C错；设，则，，若在第二象限，则，也在第二象限，若在第四象限，同理也在第四象限，D对，故选ABD．

11．已知函数的图象如图所示，则

A．

B．是偶函数

C．当时，的最大值为1

D．若，则的最小值为

【答案】AC

【解析】，，A对；，，，是奇函数，B错；，，，C对；当，时，，但，D错，故选AC．

12．已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝，其中k≠0，则

A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点P(b，a)在g(x)的图象上

B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为

C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于

D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点

【答案】ACD

【解析】，与互为反函数，A对；与关于直线对称，作与平行得切线，设切点为，则，切点，切点到直线的距离为，由对称性，B错；时，，单调递增，，，有且只有一个零点，，，在上单调递减，在上单调递增，，C对；时，，由图象的对称性可知有3个零点，D对，故选ACD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

13．已知单位向量，，，满足．则          ．

【答案】

【解析】，．

14．若，则的一个可能角度值为          ．

【答案】

【解析】，可取．

15．已知椭圆的上顶点与抛物线的焦点重合，为与的一个公共点．若的离心率为，且，则          ．

【答案】3

【解析】，，，，椭圆可化为，联立抛物线，解得，，．

16．将正方形沿对角线折成直二面角，设三棱锥的外接求和内切球的半径分别为，球心分别为．若正方形的边长为1，则        ；          ．

【答案】；

【解析】如图，为外接球球心，且，，，由对称性，内切球球心在平面内，且到的距离都等于其半径，．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)

从以下3个条件中选择2个条件进行解答．
①，②，③．

在中，已知          ，是边的中点，且，求的长及的面积．

【解】选①②：，由，，，可得，在中，由余弦定理得，，又，所以的面积．

选②③：设，，

在中，由余弦定理得，，

在中，由余弦定理得，，

解得，，故，．

选①③：在中，由余弦定理得，，解得，

当时，，；

当时，，．

18．(本小题满分12分)

已知数列的前项和为，满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设的最大值为，最小值为，求的值．
【解】（1）时，，又，，

，由及相减得，

，又，，．

（2）由（1）可得，，

为偶数时，递增，；为奇数时，递减，，

所以．

19．(本小题满分12分)

如图，，分别是以为直径的半圆上的点，满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．
（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值．

【解】（1）取中点，连接，

因为，所以四边形是平行四边形，

所以，又为的中点，为的中点，

所以，故，所以四边形是平行四边形，

所以，因为平面，平面，

所以平面．

（2）连接，在半圆内过作的垂线．

因为为等边三角形，为中点，所以，

因为平面与半圆垂直，交线为，所以半圆，

如图，建系，设，则，，，

设平面的法向量为，由，，求得，

取平面的一个法向量，设二面角为，由图可知为锐角，

则=．

20．(本小题镇分12分)

当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争．特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击．我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利．

（1）在研发过程中，对研发时间（月）和产品的厚度（nm）进行统计，其中1~7月的数据资料如下：

现用作为关于的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少?

（2）某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线．现有以下两种售卖方案可供选择：

①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；

②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖．已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元．请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学? 并说明理由．

参考数据：设，，，，，；

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为，．

【解】，，

，所以可以估计该产品得“理想”优良厚度约为13nm．

（2）方案①，3条生产线得卖价共为15万元；

方案②，设改造成功的生产线条数为，则，，

设3条生产线的卖家为，则，，，

所以选择方案②售卖更为科学.

21．(本小题满分12分)

已知双曲线的两条渐近线方程为，直线交于，两点．

（1）若线段的中点为，求的方程：

（2）若以线段为直径的圆过坐标原点，且到的距离为，求的方程．

【解】（1）由渐近线方程为，得，所以，

显然直线的斜率存在，设为，联立，消去得，

，且，，

设，，由韦达定理得，

所以，满足条件，所以．

（2）当直线的斜率不存在时，易得的方程为，

当直线的斜率存在时，由以为直径的圆点，，

所以，

即得，又到的距离为，，

的方程为．

22．(本小题满分12分)

已知函数．

（1）当时，判断并证明在上的单调性；

（2）当时，，求的取值范围．

【解】（1）时，，

所以函数在上的单调性．

（2），，，

，，，

下证必要性：，单调递增，

又，单调递增，又，

单调递增，故．