重庆市2021年秋高三第一次联合诊断检测数学试卷解析版

2022年普通高等学校招生全国统一考试

高三第一次联合诊断检测数学

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,则

 A. B. C. D.

【答案】C

【解析】=,所以,故选C.

2.设复数满足,则的实部为

 A. B. C. D.

【答案】A

【解析】设,则,,故选A.

3.设向量,是互相垂直的单位向量,则与向量垂直的一个单位向量是

 A. B. C. D.

【答案】B

【解析】与向量垂直的向量为,其方向上的单位向量为,故选B.

4.已知且,则函数为奇函数的一个充分不必要条件是

 A. B. C. D.

【答案】C

【解析】函数为定义域为的奇函数,所以,所以,所以,所以函数为奇函数的一个充分不必要条件是或者,故选C.

5.设双曲线的右焦点为,过点且垂直于轴的直线与双曲线及其渐近线在第一象限分别交于两点,为坐标原点,若,则双曲线的渐近线方程为

 A. B. C. D.

【答案】B

【解析】因为,所以为的中点,点,,,因为点在双曲线上,所以,化简:,,所以,,所以双曲线的渐近线为:.

6.已知,则

 A. B. C. D.

【答案】D

【解析】,即,,即.

7.通过核酸检测可以初步判定被检测者是否感染新冠病毒,检测方式分为单检和混检.单检,是将一个人的采集拭子放入一个采样管中单独检测;混检,是将多个人的采集拭子放入一个采样管中合为一个样本进行检测,若检测结果呈阳性,再对这多个人重新采集单管拭子,逐一进行检测,以确定当中的阳性样本.混检按一个采样管中放入的采集拭子个数可具体分为“3合1”混检,“5合1”混检,“10合1”混检等.调查研究显示,在群体总阳性率较低(低于)时,混检能较大幅度地提高检测效力、降低检测成本.根据流行病学调查结果显示,某城市居民感染新冠病毒的概率为.若对该城市全体居民进行核酸检测,记采用“10合1”混检方式共需检测次,采用“5合1”混检方式共需检测次,已知当时,,据此计算的近似值为

 A. B. C. D.

【答案】B

【解析】由于一个城市的总人口数很大,而总体阳性率较低,所以我们可以认为阳性个体均匀分布,若进行10合1混检,对任意一个10人组进行检测,总检测次数有两种结果:1次和11次,橬率分别为和,故这10人组检测次数的期望为,相当于每个个体平均检测次,同理,采用5合1混检,每个个体平均检测次,

8.定义在上的函数满足:当时,,当时,,若关于的方程有两个不等实根,则的取值范围是

 A. B. C. D.

【答案】C

【解析】当时,,故在上单减,在上单增,,时,当时,故在上单增,在上单减,时时,故有两个不等实根只需,即.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.下列函数中,最小正周期为,且在上单调递增的是

 A. B. C. D.

【答案】

【解析】因为的最小正周期为,故排除；B正确；C选项图像由通过保留轴上方的图像不变,将轴下方的图像沿着轴翻折到轴上方得来,故最小正周期为,且在上单调递增,正确；C选项图像由通过保留轴上方的图像不变,将轴下方的图像沿着轴翻折到轴上方得来,故最小正周期为,且在上单调递增,正确；故选.

10.已知具有相关关系的两个变量的一组观测数据,由此得到的线性回旧方程为,则下列说法中正确的是

A.回归直线至少经过点中的一个点

B.若,则回归直线一定经过点

C.若点都落在直线上,则变量的样本相关系数

D.若,则相应于样本点的残差为

【答案】

【解析】观测数据可以在回归直线附近,A错；线性回归方程过样本点中心,B对；样本相关系数是指样本中变量之间的线性相关程度,C对；残差在数理统计中是指实际观察值与估计值（拟合值）之间的差,D对.

11.已知数列满足:,则下列说法中正确的是

 A. B.

 C.数列的前10项和为定值 D.数列的前20项和为定值

【答案】

【解析】:取得,故;取得,与前式相减得;由题知,①,②,③,

②-①得,

②+③得,

为定值,题中条件只限制,所以的值不确定,故前10项和无法确定;前20项中奇数项有10项,相邻两项的和确定,故这10项的和确定,同理10个偶数项的和确定,故前20项和为定值.

12.已知正方体是棱CC的中点,以下说法正确的是

A.过点有且只有一条直线与直线都相交

B.过点有且只有一条直线与直线都平行

C.过点有且只有一条直线与直线都垂直

D.过点有且只有一条直线与直线所成角均为

【答案】

【解析】选项,过点与直线相交的直线必在平面内,过点与直线相交的直线必在平面内,故满足条件的直线必为两平面的交线,显然两平面有唯一交线,正确;选项,若存在一条直线与都平行,则,矛盾,B不正确;选项,因为,若则,若,则平面,显然满足条件的直线唯一,即正确;D选项,过取的中点,连,则,若与直线所成角为,则与所成角为,显然的角平分线及其外角平分线均符合,D不正确.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知为非零实数,直线与曲线相切,则              .

【答案】

【解析】设切点坐标为,则.

14.的值等于              .

【答案】

【解析】

.

15.中国长征系列运载火箭包括长征一号、长征二号、长征三号、长征四号4个系列十多种型号,具有发射从低轨到高轨、不同质量与用途的各种卫星、载人航天器和月球探测器的能力.其中长征三号系列火箭因其入轨精度高、轨道选择多、适应能力强,成为发射北斗导航卫星的“专属列车”.12年间,长征三号系列火箭用38次成功发射的优异表现,将53颗北斗导航卫星送入预定轨道.现假设长征三号系列火箭某8次成功发射共运送11生相··同的北斗导航卫星进入预定轨道,每次发射运送1颗或2颗卫星,则这11颗卫星的不同运送方式共有_        __种.

【答案】

【解析】由题知,有3次运送2颗、有5次运送1颗,而卫星无区别,故只需确定8次中是哪3次运送颗,共有种情况.

16.在平面直角坐标系中,过动点作圆的一条切线,其中为切点,若,则的最大值为              .

【答案】

【解析】,设,则,化简得,故点轨迹是以为圆心、为半径的圆,的最大值为,故的最大值为.

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在△中,角的对边分别为.

(1)求;

(2)若,点在边上,且,求的长.

【答案】（1）,（2）

【解析】 (1),

即,即,故;

(2)由余弦定理知,

由知,,

即.

18.如图,在直三棱柱中,是的中点,.

(1)求的长;

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）,（2）

【解析】(1)取中点,连接,则,

平面,

又平面,

故平面即为在平面内的射影,

又,

故Rt,而;

(2)连接,由(1)知平面,故为直线与平面所成角,

19.已知数列满足:.

(1)证明:数列是等差数列;

(2)是否存在使得数列为等差数列?若存在,求的值及数列的前项和;否则,请说明理由.

【答案】（1）见解析,（2）存在,使得为等差数列,

【解析】(1),两式相减得,

故是公差为3的等差数列;

(2)由题知,若为等差数列,则,

故即

此时

,即对有,

故为等差数列,且.

20.某电视台举办“读经典”知识挑战赛,初赛环节,每位选手先从三类问题中选择一类.该类题库随机提出一个问题,该选手若回答错误则被淘汰,若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答.该类题库随机提出一个问题,该选手若回答正确则取得复赛资格,本轮比赛结束;否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题,两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格,否则被淘汰.已知选手甲能正确回答,两类问题的概率均为,能正确回答类问题的概率为,每题是否回答正确与回答顺序无关,且各题回答正确与否相互独立.

（1）已知选手甲先选择类问题且回答正确,接下来他等可能地选择中的一类问题继续回答,求他能取得复赛资格的概率;

（2）为使取得复赛资格的概率最大,选手甲应如何选择各类问题的回答顺序?请说明理由.

【答案】（1）,（2）见解析

【解析】(1)考虑两种情况:

甲接下来选择回答类问题并取得复赛资格的概率为,

甲接下来选择回答类问题并取得复赛资格的概率为,

故所求概率为;

(2)由于甲回答两类问题的概率相同,故只需考虑这三种回答顺序,

按顺序回答,取得复赛资格的概率为,

按顺序回答,取得复赛资格的概率为,

按顺㡱回答,取得复赛资格的概率为,

,故甲按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大.

21.已知椭圆的右顶点为为坐标原点,为线段的中点,过点的直线与椭圆交于两点,且当直线与轴垂直时,.

（1）求椭圆的离心率;

（2）若,求直线的斜率.

【答案】（1）,（2）

【解析】(1)由题意可得,点.在椭圆上,将点代入椭圆方程得,故,

(2)由(1)知,设,直线,

代入椭圆方程得,由在椭圆内部知必有,

则,

由题知,故①,②,

由得,即,故的斜率为.

22.已知函数.

（1）当时,讨论的单调性;

（2）若存在唯一极值点,求的取值范围.

【答案】（1）在和上单增,在上单减,（2）

【解析】(1)由题知,

即,令,则,
故在和上单增,在上单减,又,

所以或,

从而或,

在和上单增,在上单减;

(2)由题知,

即,令,则或,

,即在和上单增,在上单减,

且时时在上唯一零点,记为,

当时,单增,当时,单减,

为的极小值点,由题知有唯一极值点,故在上无极值点,

时且时,

故当时在上单增,

在上无极值点;

当时在和内各存在一个零点,分别记为,则

或时单增,时单减,

所以为的极大值点,为的极小值点,不合题意,舍去;

综上,即.

2022年普通高等学校招生全国统一考试

高三第一次联合诊断检测数学参考答案

一、选择题

1-8CABCBDBC

第6题解析:,即,,即.

第7题解析:由于一个城市的总人口数很大,而总体阳性率较低,所以我们可以认为阳性个体均匀分布,若进行10合1混检,对任意一个10人组进行检测,总检测次数有两种结果:1次和11次,橬率分别为和,故这10人组检测次数的期望为,相当于每个个体平均检测次,同理,采用5合1混检,每个个体平均检测次,

第8题解析:当时,,故在上单减,在上单增,,时,当时,故在上单增,在上单减,时时,故有两个不等实根只需,即.

二、选择题

9. 10. 11. 12.

第11题解析:取得,故;取得,与前式相减得;由题知,①,②,③,

②-①得,

②+③得,

为定值,题中条件只限制,所以的值不确定,故前10项和无法确定;前20项中奇数项有10项,相邻两项的和确定,故这10项的和确定,同理10个偶数项的和确定,故前20项和为定值.

第12题解析:选项,过点与直线相交的直线必在平面内,过点与直线相交的直线必在平面内,故满足条件的直线必为两平面的交线,显然两平面有唯一交线,正确;选项,若存在一条直线与都平行,则,矛盾,B不正确;选项,因为,若则,若,则平面,显然满足条件的直线唯一,即正确;D选项,过取的中点,连,则,若与直线所成角为,则与所成角为,显然的角平分线及其外角平分线均符合,D不正确.

三、填空题

13. 14. 15. 16.

第15题解析:由题知,有3次运送2颗、有5次运送1颗,而卫星无区别,故只需确定8次中是哪3次运送2颗,共有种情况.

第16题解析:,设,则,化简得,故点轨迹是以为圆心、为半径的圆,的最大值为,故的最大值为.

17.解:(1),

即,即,故;

(2)由余弦定理知,

由知,,

即.

18.解:(1)取中点,连接,则,

平面,

又平面,

故平面即为在平面内的射影,

又,

故Rt,而;

(2)连接,由(1)知平面,故为直线与平面所成角,

19.解:(1),两式相减得,

故是公差为3的等差数列;

(2)由题知,若为等差数列,则,

故即

此时

,即对有,

故为等差数列,且

20.解:(1)考虑两种情况:

甲接下来选择回答类问题并取得复赛资格的概率为,

甲接下来选择回答类问题并取得复赛资格的概率为,

故所求概率为;

(2)由于甲回答两类问题的概率相同,故只需考虑这三种回答顺序,

按顺序回答,取得复赛资格的概率为,

按顺序回答,取得复赛资格的概率为,

按顺㡱回答,取得复赛资格的概率为,

,故甲按或顺序回答问题取得复赛资格的概率最大.

21.解:(1)由题意可得,点.在椭圆上,将点代入椭圆方程得,故,

(2)由(1)知,设,直线,

代入椭圆方程得,由在椭圆内部知必有,

则,

由题知,故①,②,

由得,即,故的斜率为.

22.解:(1)由题知,

即,令,则,
故在和上单增,在上单减,又,

所以或,

从而或,

在和上单增,在上单减;

(2)由题知,

即,令,则或,

,即在和上单增,在上单减,

且时时在上唯一零点,记为,

当时,单增,当时,单减,

为的极小值点,由题知有唯一极值点,故在上无极值点,

时且时,

故当时在上单增,

在上无极值点;

当时在和内各存在一个零点,分别记为,则

或时单增,时单减,

所以为的极大值点,为的极小值点,不合题意,舍去;

综上,即.