岳阳市2022届高三教学质量监测（一）数学试卷解析版

岳阳市2022届高三教学质量监测（—)

（考试时间：120分钟     试卷满分：150分）

一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，集合，则

 A.  B.  C.  D.   

【答案】C

【解析】

2.一直复数满足，则复数在复平面内对应点所在象限是

 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限  

【答案】A

【解析】由得，故在复平面对应的点在第一象限

3.已知等差数列满足，则数列的前5项和为

 A. 10 B. 15 C. 20 D. 30

【答案】B

【解析】因为是等差数列，则，.

4.已知圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为

 A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】因为，故弧长，故侧面展看扇形圆心角大小为

5.已知向量，则与的夹角大小为为

 A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】，，故与的夹角为

6.已知椭圆长轴的长为4，为椭圆上一点，满足，则椭圆的离心率为

  A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由题，设椭圆方程为，不妨设在第二象限，则，代入点有，所以，故.

7.已知函数，其中，，函数的周期为，其时，取得极值，则下列说法正确的是

 A.   B.  

 C. 函数在单调递增 D. 函数图象关于点对称

【答案】D

【解析】由题，当时，，此时单调区间不定，，对称中心由得，故选D

8.已知为正实数，直线与曲线相切，则的最小值

 A. 8 B.  C. 6 D.

【答案】A

【解析】由题设切点为，，则切点为，代入切线为，即，由柯西不等式有

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列叙述正确的是

 A.命题“”的否定是 “”

 B.“”是“”的充要条件 

 C. 的展开式中的系数为 

 D. 在空间中，已知直线满足：，则   

【答案】AC

【解析】A正确；B中，与不等价，错误；C中二项式通项公式为，故的系数为，正确；D中空间中垂直不具有平行传递性，错误；故选AC

10.若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值和方差，则下列结论正确的是

 A.   B.  

 C.   D.

【答案】ABD

【解析】由两点分布可知，，，，，，，故选ABD

11.已知函数（且）的图象如下所示，函数的图象上有两个不同的点，则

 A.   B. 在上是奇函数 

 C. 在上是单调递增函数 D. 当时，

【答案】BCD

【解析】由图可知即所以，，显然为奇函数且在上单调递增，当时，，令，则：

 ，故选BCD

12.已知圆上两点、满足，点满足，则不正确的是

 A. 当时， 

 B. 当时，过点的圆的最短弦长是 

 C. 线段的中点纵坐标最小值是 

 D. 过点作圆的切线且切点为，则的取值范围是

【答案】ABC

【解析】由圆弦长公司可知，圆心到直线的距离，因为,所以为中垂线与轴的交点，当时，可变，故不定；当，过过点的圆的最短弦长是，设中点为，由题，故；若过做圆的切线且切点为故，或.故选ABC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴，终边过点，且，则       .

【答案】

【解析】由题，由终边过点，所以在第二象限，，即，。

14.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，点，当的周长最小时，点的坐标为       .

【答案】

【解析】设到准线距离为，故，所以，周长最小即最小时取得，此时三点共线，此时.

15.有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有       种.（结果用数字作答）

【答案】36

【解析】当小品在首尾时，有排法种，当小品不在首尾时，小品两侧为唱歌和杂技，有排法，故共有36种排法.

16.已知函数，若且，则的取值范围是       .

【答案】

【解析】结合图形

可知，当时，且

所以，

当时，有，所以的取值范围是

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）

数列满足.

(1)求证：数列是等比数列；

(2)求数列的通项公式.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】由题，

令有

所以是以4为首项，2为公比的等比数列

（2）由（1）知

同除得

为以为首项，1为公差的等差数列

18．（12分）

为边上一点，满足，记.

（1）当时，且，求的值；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）设长为，当时，，则

则因为，所以所以

所以得，所以为

（2）中，，则

有正弦定理得，又，

所以

又因为

所以

因为，所以

所以当，即时，有最大值

所以面积的最大值

19．（12分）

高压钠灯使用时发出金白色光，具有发光效率高、耗电少、寿命长、透雾能力强和不锈蚀等优点，广泛应用于机场、码头、船坞、车站、广场、街道交汇处等地方．现在某公园中心树立有一灯杆，杆上装有6盏高压钠灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为，寿命为2年以上的概率为．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.

(1）在第一次灯泡更换工作中，求:

 ①不需要换灯泡的概率;

 ②更换2只灯泡的概率;

(2）当时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换5只灯泡的概率（结果保留两个有效数字).

【答案】（1）① ②（2）0.23

【解析】（1）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为，需要更换2只灯泡的概率Wie

（2）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换的概率为

故在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率为

至少换5只灯泡包括换6只和换5只两种情况

换6只的概率为，换5只的概率为

故至少换5只灯泡的概率为

当时，

至少换5只灯泡的概率为

在第二次灯泡更换工作，至少需要更换5只的概率为0.23

20．（12分）

如图，在三棱锥中，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，试问在线段上是否存在点，是直线与平面所成角的角为.若存在，请求出的的位置；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）见解析 （2）不存在

【解析】（1）作平面，连，都在平面内，所以

又，所以

因为，所以三角形为直角三角形，所以为的中点，则平面

平面平面

（2）以为坐标原点，平行的直线为轴，平行的直线为轴，为z轴建立空间直角坐标系，如图，不妨设，则，知

则，，，，

设

则

设平面的一个法向量为

则

，则，

得，又，方程无解.

所以不存在点D，使直线与平面所成的脚为.

21．（12分）

已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为，且双曲线经过点.过双曲线上的一点（在第一象限）做斜率不为的直线，与直线交于点且与双曲线有且只有一个交点.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）以为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求除定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

【答案】(1) （2）见解析

【解析】依题意可设双曲线的方程为

因为双曲线经过点，所以，即

直线的斜率显然存在且不为0，设的方程为

由得

因为，且与双曲线有且只有一个交点，所以方程有且只有一个实根有：

，即，所以

的横坐标为

的纵坐标为，即点

直线与直线的交点坐标为

以为直径的圆方程为化为

当且，即且时上述方程恒成立

所以以为直径的圆恒过一个定点.

22．（12分）

已知函数，其中为实数.

（1）当时，讨论函数单调性；

（2）当时，若恒成立，求最大的整数.

【答案】（1）见解析 （2）4

【解析】（1）

令，则

当时，，对恒成立

所以在单调递减

当时，时，

时，

所以在单增，单减

综上，当时，在单调递减

当时，在单增，单减

（2）记，则

，

当时，所以

当时，所以

所以在单调递增，在单调递减

所以当时，有极大值也是最大值

所以恒成立，只需要即可

令，则

当时，，当时，

所以在单减，在单增

所以

又

所以时最大的整数取2

综上，当时，若恒成立，则最大的整数为2.