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2023年中考数学一轮复习：二次函数压轴题01
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这是一份2023年中考数学一轮复习：二次函数压轴题01，共28页。试卷主要包含了我们不妨约定等内容，欢迎下载使用。
2023中考数学一轮复习：二次函数压轴题
1.如图①(注：与图②完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点A(1，0)、B(5，0)、C(0，4)三点．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标(请在图①中探索)；
(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由(请在图②中探索)．
2.如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4，0)的直线AB与y轴交于点B(0，4)．经过原点O的抛物线y=-x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN//y轴且MN=2时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，已知点O(0，0)，A(-5，0)，B(2，1)，抛物线l：y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C．
(1)若l经过点B，求它的函数解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2⩾0，比较y1与y2的大小；
(3)当线段OA被l分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．
4.如图，抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0)，直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2，点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合)．
(1)求直线AD及抛物线的解析式．
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
5.如图，直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图,已知抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3相交于A,B两点,交x轴于C,D两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0)．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值．
(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,是否存在点P,使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．
7.我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中,一定是“十字形”的有；
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形“十字形”(填“是”或“不是”)；
(2)如图①,A,B,C,D是半径为1的圆O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围；
(3)如图②,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,-ac)．记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB、△COD、△AOD、△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：
①S=S1+S2；②S=S3+S4；③“十字形”ABCD的周长为1210．
8.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A、D重合)．
(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE//x轴交直线l于点E，作PF//y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A0,-74，点B1,14.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当-2≤x≤2时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ//x轴，点Q的横坐标为-2m+1已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
(1)求m的取值范图；
(2)当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y=x2+bx+c-2≤x<13的图象交点个数及对应的m的取值范围．
10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D(-4,5)两点，且与直线DC交于另一点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB
是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.
11.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，1MF+1NF是定值，并求出该定值；
(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P,Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P,Q的坐标．
12.在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x-m)2+2m（m为常数）的顶点为A．
(1)当m=12时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是．
(2)若点A在第一象限，且OA=5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
(3)当x≤2m时，若函数y=2(x-m)2+2m的最小值为3，求m的值．
(4)分别过点P(4,2)、Q(4,2-2m)作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
13.如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)和点B(-5,m)与x轴的正半轴交于点C.
(1)求a，m的值和点C的坐标；
(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当PBPA=25时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由
14.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
(1)若抛物线过点P(0,1)，求a+b的最小值；
(2)已知点P1(-2,1)，P2(2,-1)，P3(2,1)中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y=kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y=-1上，且∠MAN=90∘，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C.求证：△MAB与△MBC的面积相等．
15.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=13x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；
(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于252时，求E¯点的坐标；
(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与X轴负半轴交于点C，取点D(2,0)，连接DM，求证：∠ADM-∠ACM=45∘．
参考答案
1.【答案】(1)设二次函数表达式为y=a(x-1)(x-5)=a(x2-6x+5)，
则5a=4，解得a=45，
抛物线的表达式为y=45(x2-6x+5)=45x2-245x+4，
抛物线的对称轴为直线x=3.
(2)连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：0=5k+b，b=4，
解得k=-45，b=4，
直线BC的表达式为y=-45x+4，
当x=3时，y=85，故点P(3，85)．
(3)存在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，
则S四边形OEBF=OB×yE=5×yE=12，
点E在第四象限，则yE=-125，
将y=-125代入二次函数表达式得45(x2-6x+5)=-125，
解得x=2或4，故点E的坐标为(2，-125)或(4，-125)．
2.【答案】(1)解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(4，0)和O(0，0)，∴-16+4b+c=0,c=0，解得b=4,c=0，∴抛物线的表达式为y=-x2+4x.
(2)∵直线AB经过点A(4，0)和B(0，4)，∴直线AB的表达式为y=-x+4.∵MN//y轴，∴设M(t，-t+4)，N(t，-t2+4t)，其中0≤t≤4.当点M在点N的上方时，MN=-t+4-(-t2+4t)=t2-5t+4=2，解得t1=5-172，t2=5+172(舍)，∴15-172，3+172；当点M在点N的下方时，MN=-t2+4t-(-t+4)=-t2+5t-4=2，解得t1=2，t2=3，∴M2(2，2)，M3(3，1).综上，满足条件的点M的坐标为5-172，3+172或(2，2)或(3，1).
(3)存在，点Q的坐标为(5，1)或(-4，-2)或7-52，1-52或7+52，1+52.理由如下：①如图②，若AC是矩形的边，设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R(2，2).过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点1，P2.联立y=-x2+4x,y=-x+4,解得x=1,y=3或x=4,y=0,∴C(1,3).∵D(2，4)，∴CD=(2-1)2+(4-3)2=2.同理，CR=2，DR=2，∴CD2+CR2=DR2，∴∠RCD=90∘，∴点P1与点D重合.当C1//A1，CP1=AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形.∵C(1，3)向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到P1(2，4)，∴A(4，0)向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到Q1(5，1).此时直线P1C的表达式为y=x+2.∵直线P2A与P1C平行且过点A(4，0)，∴直线P2A的表达式为y=x-4.∵点P2是直线y=x-4与抛物线y=-x2+4x的交点，∴-x2+4x=x-4，解得x1=-1，x2=4(舍)，∴P2(-1，-5).当AC//P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，∵A(4，0)向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到C(1，3)，∴P2(-1，-5)向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到Q2(-4，-2)；②如图③，若AC是矩形的对角线，设P3(m，-m2+4m).当∠AP3C=90∘时，过点P3作P3H⊥x轴于点H，过点C作CK⊥P3H于点K，∴∠P3KC=∠AHP3=90∘，∠P3CK=∠AP3H，∴△P3CK∽△AP3H，∴P3KAH=CKP3H，∴-m2+4m-34-m=m-1-m2+4m.∵点P不与点A，C重合，∴m≠1且m≠4，∴m2-3m+1=0，∴m=3±52，∴满足条件的点P有两个，即33+52，5+52，43-52，5-52，如图④:当P3C//A3，P3C=AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形.∵33+52，5+52向左平移1+52个单位长度，向下平移-1+52个单位长度得到C(1，3)，∴A(4，0)向左平移1+52个单位长度，向下平移-1+52个单位长度得到37-52，1-52.当P4C//A4，P4C=AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形.∵43-52，5-52向右平移-1+52个单位长度，向上平移1+52个单位长度得到C(1，3)，∴A(4，0)向右平移-1+52个单位长度，向上平移1+52个单位长度得到47+52，1+52.综上，点Q的坐标为(5，1)或(-4，-2)或7-52，1-52或7+52，1+52．
3.【答案】(1)解：把x=2，y=1代入y=-(x-h)2+1，得h=2，∴l的函数解析式为y=-(x-2)2+1，此时l的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，1)
(2)点C的横坐标为0，则yC=-h2+1，∴当h=0时，yC有最大值为1.此时，l的函数解析式为y=-x2+1，对称轴为y轴，当x⩾0时，y随着x的增大而减小，∴当x1>x2⩾0时，y1
【解析】(1)把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，并求出h的值；
利用抛物线的函数解析式得出图象的对称轴和顶点坐标.
(2)把点C的横坐标代入函数解析式，得yC=-h2+1，由二次函数最值的求法易得yC的最大值；并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性比较y1与y2的大小.
(3)根据题意推出把OA分为1∶4两部分的点为(-1，0)或(-4，0)．然后将这两个点的坐标分别代入抛物线的解析式，求出对应的h的值
4.【答案】(1)∵抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0)，∴a+b-3=0,9a-3b-3=0,解得a=1,b=2,∴该抛物线的解析式为：y=x2+2x-3.当x=-2时，y=(-2)2+2×(-2)-3=-3，∴D(-2,-3)．设直线AD的解析式为y=kx+t，∴k+t=0,-2k+t=-3,解得k=1,t=-1,∴直线AD的解析式为y=x-1.
(2)由题意得：P(m,m-1)，Q(m,m2+2m-3)，-2
5.【答案】(1)解：直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B，C两点，
则点B，C的坐标分别为(3，0)，(0，3)，
将点B，C的坐标代入二次函数表达式得：
-9+3b+c=0，c=3，
解得：b=2,c=3，
故二次函数的表达式为：y=-x2+2x+3.
(2)如图①，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D交x轴于点E，连接EC，则此时EC+ED的值最小，
易得二次函数图象顶点坐标为(1，4)，点C'(0，-3)，
易求得直线C'D的表达式为：y=7x-3，
当y=0时，x=37，
故点E37，0．
EC+ED的最小值为C'D=12+(4+3)2=52．
(3)①当点P在x轴上方时，如图②，
∵OB=OC=3，
∴∠OCB=45∘=∠APB，
过点B作BH⊥AP交AP于H点，则PH=BH，
设PH=BH=m，则PB=PA=2m，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，
∴16=m2+(2m-m)2，解得：m2=42(2+1)，
则PB2=(2m)2=82(2+1)，yP=82(2+1)-22=22+2；
②当点P在x轴下方时，同理求得yP=-(22+2)．
故点P的坐标为(1，22+2)或(1，-22-2)．
6.【答案】(1)∵抛物线y=12x2+bx+c经过点A(0,3),C(-3,0),∴c=3,12×(-3)2-3b+c=0.解得b=52,c=3.∴抛物线的解析式为y=12x2+52x+3.
(2)根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要使|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大．由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,得12x2+52x+3=12x+3,解得x=-4或x=0,当x=-4时,y=1,即点B(-4,1)．故BC=(-4+3)2+(1-0)2=2,所以最大值为2．
(3)∵点B(-4,1),点A(0,3),点C(-3,0),∴AB=25,BC=2,AC=32,则AB2=BC2+AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90∘,BCAC=13．设点P的坐标为a,12a2+52a+3(a>0),过点P作PE⊥y轴于点E．
则PE=a,AE=12a2+52a,∵△APQ和△APE相似,∴当a12a2+52a=13或a12a2+52a=3时,△APE与△ABC相似，即△APQ和△ABC相似,解得a=1或a=-133(舍)或a=0(舍)．∴点P的坐标为(1,6)
【解析】(1)将点A，C的坐标代入关系式,求出b,c的值即可；
(2)先确定要求|MB-MD|的最大值就是求|MB-MC|的最大值,即可确定点M的位置,然后求出点B的坐标,即可求出最大值；
(3)先确定△ABC是直角三角形,直角边的比为13,再根据题意设出点P的坐标,并构造Rt△APE,并根据两直角边的比为13,求出点P的坐标
7.【答案】(1)菱形、正方形；不是
(2)由题意可得∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB,所以∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,所以180∘-∠AED=180∘-∠AEB,所以∠AED=∠AEB=90∘,即AC⊥BD,过点O作OM⊥AC于点M,ON⊥BD于点N,连接OA,OD,则OA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=12AC,DN=12BD,四边形OMEN为矩形,所以ON=ME,OE2=OM2+ME2,所以OE2=OM2+ON2=2-14(AC2+BD2),又因为6≤AC2+BD2≤7,所以2-74≤OE2≤2-32,即14≤OE2≤12(OE>0),所以12≤OE≤22．
(3)由题意得A-b-Δ2a,0(Δ=b2-4ac,下同)，B(0,c),C-b+Δ2a,0,D(0,-ac),因为a>0,c<0,所以AO=b+Δ2a,BO=-c,CO=-b+Δ2a,DO=-ac,AC=Δa,BD=-ac-c,S=12·AC·BD=-12(ac+c)·Δa,S1=12·AO·OB=-c(Δ+b)4a,S2=12·CO·OD=-c(Δ-b)4,S3=12·AO·OD=-c(Δ+b)4,S4=12·CO·OB=-c(Δ-b)4a,又因为S=S1+S2,S=S3+S4,可得a=1,所以S=-cΔ,因为S=S1+S2,所以S=S1+S2+2S1S2,可得b=0,所以A(--c,0),B(0,c),C(-c,0),D(0,-c),所以四边形ABCD为菱形,所以AD=310,又因为AD2=c2-c,得到(c-10)(c+9)=0,所以c1=-9,c2=10(舍去),所以抛物线的解析式为：y=x2-9.
【解析】(1)①根据特殊四边形对角线的性质可知；②根据“十字形”的定义判断；
(2)构造矩形,将OE转化为对角线,利用圆周角定理得到AC⊥BD,即四边形ABCD是“十字形”,利用勾股定理,得到AC,BD和OE之间的数量关系,根据已知条件通过运算可得OE的取值范围；
(3)由二次函数表达式可表示出A,B,C的坐标,结合点D的坐标,表示出S,S1,S2,S3,S4,利用S=S1+S2,S=S3+S4以及“十字形”ABCD的周长为1210三个等量关系,可以得到关于c的一元二次方程,解方程可得．
8.【答案】(1)解：将点A、D的坐标代入直线表达式得：-k+n=05k+n=-6，解得：k=-1n=-1，故直线l的表达式为：y=-x-1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；
(2)直线l的表达式为：y=-x-1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE=PF，设点P坐标为(x，-x2+3x+4)、则点F(x，-x-1)，PE+PF=2PF=2-x2+3x+4+x+1=-x-22+18，∵-2<0，故PE+PF有最大值，当x=2时，其最大值为18；
(3)存在∵NC=5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为(x，-x2+3x+4)、则点M(x，-x-1)，由题意得：|yM-P|=5，即：|-x2+3x+4+x+1|=5，解得：x=2±14或0或4(舍去0)，则点P坐标为(2+14，-3-14)或(2-14，-3+14)或(4，-5)；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为(-12，2)，设点P坐标为(m，-m2+3m+4)、则点M(n，-n-1)，N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：-12=m+n2，2=-m2+3m+4-n-12，解得：m=0或-4(舍去0)，故点P(-4，3)；故点P的坐标为：(2+14，-3-14)或(2-14，-3+14)或(4，-5)或(-4，3)．
【解析】(1)将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
(2)PE+PF=2PF=2-x2+3x+4+x+1=-x-22+18，即可求解；
(3)分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
9.【答案】(1)解：将A0,-74，点B1,14代入y=x2+bx+c得：-74=c14=1+b+c，解得b=1c=-74，∴y=x2+x-74．
(2)∵y=x2+x-74=x+122-2，∵4抛物线开口向上，对称轴为直线x=-12．∴当x=-12时，y取最小值为-2，∵2--12>-12-(-2)，∴当x=2时，y取最大值22+2-74=174．
(3)(1)PQ=|-2-2m+1-m=-3m+1，当-3m+1>0时，PQ=-3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当-3m+1<0时，PQ=3m-1，PQ的长度随m增大而增大，∴-3m+1>0满足题意，解得m<13．(2)∵PQ≤7∴0<-3m+1≤7，解得-2≤m<13，如图，当x=-12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，-12
(2)将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
(3)(1)由0
10.【答案】(1)解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB=AB-AO=5-4=1，故点B的坐标为(1,0)，则1+b+c=016-4b+c=5，解得b=2c=-3，故抛物线的表达式为y=x2+2x-3；
(2)存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为(2,5)，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=-1，故设点F的坐标为(-1,m)，由点B、E的坐标得，BE2=(2-1)2+(5-0)2=26，设点Q的坐标为(s,t)，∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q)，且BE=EF(BE=EQ)，则s+1=-1t+5=m26=(2+1)2+(m-5)2或s-1=-1t-5=m26=(s-2)2+(t-5)2，解得m=5±17s=-2t=±17或s=0t=5±22m=±22，故点F的坐标为(-1,5+17)或(-1,5-17)或(-1,22)或(-1,-22)；
(3)存在，理由：设抛物线的对称轴交x轴于点B'(-1,0)，将点B'向左平移1个单位得到点B''(-2,0)，连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：∵B''B''=PM=1，且B'B''//PM，故四边形B″B'PM为平行四边形，则B″M=B'P=BP，则EM+MP+PB=EM+1+MB″=B″E为最小，由点B''、E的坐标得，直线B″E的表达式为y=54(x+2)，当x=-1时，y=54(x+2)=54，故点M的坐标为-1,54，则EM+MP+PB的最小值B'E=(-2-2)2+(0-5)2=41+1
【解析】(1)求出点B的坐标为(1,0)，再用待定系数法即可求解；
(2)以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q)，且BE=EF(BE=EQ)，即可求解；
(3)设抛物线的对称轴交x轴于点B'(-1,0)，将点B'向左平移1个单位得到点B''(-2,0)，连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解.
11.【答案】(1)解：∵点B关于x轴对称点的坐标为(2,1)；∴点B的坐标为(2-1)；设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1；∵抛物点过原点；∴0=a(0-2)2-1；解得a=14；∴抛物线解析式为：y=14(x-2)2-1，即y=14x2-x.
(2)①设点F坐标为(2，b)，点G坐标为(a,14a2-a)由题意可得：(a-2)2+(14a2-a-b)2=14a2-a+2整理得：b×(a22-2a-b)=0∴b=0∴点F的坐标为(2,0)②设直线l的解析式为y=k(x-2)，直线l与抛物线交于点M,Ny=14x2-xy=k(x-2)∴y=14(y+2kk)2-y+2kk整理得：y2-4k2y-4k2=0∴yM+yN=4k2,yM-yN=-4k2由①得MF=yM+2,NF=yN+21MF+1NF=1yM+2+1yN+2整理得：1MF+1NF=yM+yN+4yMyN+2yM+yN+4∴1MF+1NF=4k2+44k2+4=1.
(3)∵点C(3,m)在抛物线y=14x2-x上，∴m=14×9-3=-34∴C3,-34如图：作点C关于x轴的对称点C，点B关于y轴的对称点B则点C3,34，点B(-2,-1)，连接B'C，交x轴于点P，交y轴于点Q，则此时四边形PQBC周长最小设直线B'C的解析式为y=kx+b-2k+b=-13k+b=34解得b=-310k=720∴直线B'C的解析式为y=720x-310∴点P坐标为67,0，点Q坐标为0,-310.
【解析】(1)先求出点B的坐标为(2-1)，再求出a=14，最后求函数解析式即可；
(2)①先求出(a-2)2+(14a-a-b)2=14a2-a+2，再求出b=0，最后求点的坐标即可；②先求出y=14x2-xy=k(x-2)，再求出1MF+1NF=yM+yN+4yMyN+2yM+yN+4，最后证明求解即可；
(3)先求出m=14×9-3=-34，再求出直线B'C的解析式为y=720x-310，最后求点的坐标即可。
12.【答案】(1)（12，1）；(0，32)
(2)顶点坐标A(m,2m)，∴OA2=m2+(2m)2=5m2，又已知OA2=5，∴5m2=5，且A点在第一象限，∴m=1∴抛物线的解析式为：y=2(x-1)2+2，∵抛物线的对称轴为x=1，由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，∴y随x的增大而减小时x的取值范围为：x<1
(3)解：函数的对称轴为x=m，且开口向上，当m≥0，且x≤2m时，x=m时，函数有最小值为y=2m，由已知：函数的最小值为3，∴2m=3，解得m=32，当m<0，且x≤2m时，x=2m时，函数有最小值为y=2m2+2m，由已知：函数的最小值为3，∴2m2+2m=3，解得m1=-1-72或m2=-1+72(正值舍去)，故m的值为32或-1-72；
(4)如图1,当m>0时,∵P(4,2)、Q(4,2-2m)∴M(m,2),N(m,2-2m)抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点,若点B在PM边上,点C在MN边上,∴令y=2,则2=2(x-m)2+2m∴x=m+1-m或x=m-1-m(不合题意,应舍去),∴B(m+1-m,2),C(m,2m)根据题意,得2m=m+1-m,解得：m=5-12或m=-5-12(不合题意,应舍去)；∴m=5-12若点B在PM边上,点C在NQ边上,则2-2m=m+1-m,解得：m=11±1318,经检验,m=11+1318不符合题意,舍去∴m=11-1318若点B在PQ边上,点C在NQ边上,则4=2-2m,解得：m=-1<0,不合题意,舍去；当m<0时,如图2,若点B在NQ边上,点C在PM边上,则2-2m=2(x-m)2+2m,∴x=m+1-2m或x=m-1-2m(舍去),∴|m+1-2m|=2,当m+1-2m=2时,得m2-2m+3=0,∵Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴该方程无解.当m+1-2m=-2时,得m2+6m+3=0,解得：m=-3-6或m=-3+6,∵当m=-3+6时,|m+1-2m|=26-4≠2,不符合题意,舍去.∴m=-3-6若点B在NQ边上,点C在MN边上,则|m+1-2m|=|2m|∴m+1-2m=-2m或m+1-2m=2m∵m<0∴m=-10+19或m=-1-2经验证,m=-10+19或m=-1-2,均不符合题意;若点B在PQ边上,点C在PM边上,显然点B到y轴的距离为4,点C到x轴的距离为2,不符合题意;综上所述,m的值为5-12或11-1318或-3-6.
【解析】(1)由题意可知，二次函数顶点坐标A(m,2m)，当m=12时，顶点坐标为，A（12，1）此时抛物线解析式为：y=2x-122+1，令x=0，∴y=12+1=32，∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，32)；
(2)先求出OA2=5，再求出抛物线的对称轴为x=1，最后计算求解即可；
(3)分类讨论，计算求解即可；
(4)分类讨论，结合函数图象，计算求解即可.
13.【答案】(1)解：抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)，∴5=-20a，∴a=-14，∴抛物线的解析式为y=-14(x-3)(x+6)，令y=0，则-14(x-3)(x+6)=0，解得x=3或-6，∴C(3,0)，当x=-5时，y=-14×(-8)×1=2，∴B(-5,2)，∴m=2.
(2)设P(t,0)，则有(t+5)2+22(t+1)2+52=25，整理得，21t2+242t+621=0，解得t=-277或-16121，经检验t=-277或-16121是方程的解，∴满足条件的点P坐标为-277,0或-16121,0
(3)存在．连接AB，设AB的中点为T①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．∵A(-1,5)，B(-5,2)，TA=TB，∴T-3,72，∵C(3,0)，∴直线CT的解析式为：y=kx+b,∴3k+b=0-3k+b=72,解得k=-712b=74∴直线CT的解析式为y=-712x+74，由y=-712x+74y=-14x-3x+6，解得x=3y=0（即点C）或x=-113y=359，∴M-113,359，②CM'//AB时，满足条件，直线AB的解析式为y=34x+234，∴直线CM'的解析式为y=34x-94，由y=34x-94y=-14x-3x+6，解得x=3y=0即点C)或x=-9y=-9，∴M'(-9,-9)，综上所述，满足条件的点M的横坐标为-113或-9.
【解析】(1)利用待定系数法求解即可．
(2)设P(t,0)，则有(t+5)2+22(t+1)2+52=25，解方程，可得结论．
(3)存在．连接AB，设AB的中点为T分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．②CM'//AB时，满足条件．根据方程组求出点M的坐标即可．
14.【答案】(1)解：把P(0,1)代入解析式得：c=1，∴y=ax2+bx+1，又∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴Δ=b2-4a=0，即a=b24，∴a+b=14b2+b=14(b+2)2-1，当b=-2时，a+b有最小值为-1；
(2)①抛物线与x轴只有一个公共点，∴抛物线上的点在x轴的同一侧或x轴上，∴抛物线上的点为P1，P3，又∵P1，P3关于y轴对称，∴顶点为原点(0,0)，①∵设解析式为y=ax2，代入点P1得：y=14x2，②证明：联立直线l和抛物线得：y=14x2y=kx+1，即：x2-4kx-4=0，设Mx1,kx1+1，Nx2,kx2+1，由韦达定理得：x1+x2=4k，x1x2=-4，设线段MN的中点为T，设A的坐标为(m,-1)，则T的坐标为2k,2k2+1，∴AT2=(2k-m)2+2k2+22，由题意得：MN2=x1-x22+kx1-kx22=16k4+2k2+1，∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，∴12MN=AT，即：14MN2=AT2，∴14×16k4+2k2+1=(2k-m)2+2k2+22，解得m=2k，∴A(2k,-1)，∴B2k,k2，∴C2k,2k2+1，∵2k2+1+(-1)2=k2，∴B是AC的中点，∴AB=BC，又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，∴△MAB与△MBC的高相等，∴△MAB与△MBC的面积相等．
【解析】(1)将点P的坐标代入解析式中，得出a和b的关系式，即可求出a+b的最小值；
(2)①由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，即两点只能为P1，P3，即可求出抛物线的解析式；②根据题意先设出点A的横坐标，然后用含k的式子表示出A的横坐标，再证明AB=BC即可得出△MAB与△MBC的面积相等．
15.【答案】(1)解：对于函数y=-12x+3，当y=0时，-12x+3=0，解得x=6，即A(6,0)，当x=0时，y=3，即B(0,3)，将点A(6,0)和原点(0,0)代入y=13x2+bx+c得：12+6b+c=0c=0，解得b=-2c=0，则抛物线的关系式为y=13x2-2x，将y=13x2-2x化成顶点式为y=13(x-3)2-3，则顶点M的坐标为M(3,-3)
(2)设直线AB与抛物线的另一个交点为点N，联立y=-12x+3y=13x2-2x，解得x=-32y=154或x=6y=0，则N-32,154，过点E作y轴的平行线，交直线AB于点F，设点E的坐标为Ea,13a2-2a，则点F的坐标为Fa,-12a+3，∴EF=-12a+3-13a2-2a=-13a2+32a+3，由题意，分以下两种情况：①如图，当0≤a<6时，则S△EAB=S△BEF+S△AEF=12a-13a2+32a+3+12(6-a)-13a2+32a+3=-a2+92a+9，因此有-a2+92a+9=252，解得a=1或a=72，均符合题设，当a=1时，13a2-2a=-53，即E1-53，当a=72时，13a2-2a=-3512，即E72,-3512；②如图，当-32
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由△EAB的面积=252，即可求解；
(3)由直线CM的表达式知，tan∠MCD=12，则sin∠MCD=15，则DM=5，由带你D、M的坐标得出DM的值，即可求解.
2023中考数学一轮复习：二次函数压轴题
1.如图①(注：与图②完全相同)，在直角坐标系中，抛物线经过点A(1，0)、B(5，0)、C(0，4)三点．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标(请在图①中探索)；
(3)在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由(请在图②中探索)．
2.如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4，0)的直线AB与y轴交于点B(0，4)．经过原点O的抛物线y=-x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；
(2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN//y轴且MN=2时，求点M的坐标；
(3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，已知点O(0，0)，A(-5，0)，B(2，1)，抛物线l：y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C．
(1)若l经过点B，求它的函数解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
(2)设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2⩾0，比较y1与y2的大小；
(3)当线段OA被l分为两部分，且这两部分的比是1∶4时，求h的值．
4.如图，抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0)，直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2，点P(m,n)是线段AD上的动点(点P不与点A,D重合)．
(1)求直线AD及抛物线的解析式．
(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得以P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
5.如图，直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B,C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点B,C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB=∠OCB？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
6.如图,已知抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3相交于A,B两点,交x轴于C,D两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0)．
(1)求出抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值．
(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点,连接PA,过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q,是否存在点P,使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．
7.我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
(1)①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中,一定是“十字形”的有；
②在凸四边形ABCD中,AB=AD且CB≠CD,则该四边形“十字形”(填“是”或“不是”)；
(2)如图①,A,B,C,D是半径为1的圆O上按逆时针方向排列的四个动点,AC与BD交于点E,∠ADB-∠CDB=∠ABD-∠CBD,当6≤AC2+BD2≤7时,求OE的取值范围；
(3)如图②,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a>0,c<0)与x轴交于A,C两点(点A在点C的左侧),B是抛物线与y轴的交点,点D的坐标为(0,-ac)．记“十字形”ABCD的面积为S,记△AOB、△COD、△AOD、△BOC的面积分别为S1,S2,S3,S4,求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式：
①S=S1+S2；②S=S3+S4；③“十字形”ABCD的周长为1210．
8.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交于点N，过A点的直线l：y=kx+n与y轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c的另一个交点为D，已知A(-1，0)，D(5，-6)，P点为抛物线y=-x2+bx+c上一动点(不与A、D重合)．
(1)求抛物线和直线l的解析式；
(2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE//x轴交直线l于点E，作PF//y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
(3)设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A0,-74，点B1,14.
(1)求此二次函数的解析式；
(2)当-2≤x≤2时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值；
(3)点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ//x轴，点Q的横坐标为-2m+1已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
(1)求m的取值范图；
(2)当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y=x2+bx+c-2≤x<13的图象交点个数及对应的m的取值范围．
10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A，B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过点B，D(-4,5)两点，且与直线DC交于另一点E.
(1)求抛物线的解析式；
(2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB
是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由.
11.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为(2,1)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y=-2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点．证明：当直线l绕点F旋转时，1MF+1NF是定值，并求出该定值；
(3)点C(3,m)是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P,Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P,Q的坐标．
12.在平面直角坐标系中，抛物线y=2(x-m)2+2m（m为常数）的顶点为A．
(1)当m=12时，点A的坐标是，抛物线与y轴交点的坐标是．
(2)若点A在第一象限，且OA=5，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
(3)当x≤2m时，若函数y=2(x-m)2+2m的最小值为3，求m的值．
(4)分别过点P(4,2)、Q(4,2-2m)作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
13.如图，已知抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)和点B(-5,m)与x轴的正半轴交于点C.
(1)求a，m的值和点C的坐标；
(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当PBPA=25时，求点P的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由
14.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．
(1)若抛物线过点P(0,1)，求a+b的最小值；
(2)已知点P1(-2,1)，P2(2,-1)，P3(2,1)中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线l：y=kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y=-1上，且∠MAN=90∘，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C.求证：△MAB与△MBC的面积相等．
15.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=13x2+bx+c经过坐标原点和点A，顶点为点M．
(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；
(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当△EAB的面积等于252时，求E¯点的坐标；
(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线y=mx+n，且与X轴负半轴交于点C，取点D(2,0)，连接DM，求证：∠ADM-∠ACM=45∘．
参考答案
1.【答案】(1)设二次函数表达式为y=a(x-1)(x-5)=a(x2-6x+5)，
则5a=4，解得a=45，
抛物线的表达式为y=45(x2-6x+5)=45x2-245x+4，
抛物线的对称轴为直线x=3.
(2)连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：0=5k+b，b=4，
解得k=-45，b=4，
直线BC的表达式为y=-45x+4，
当x=3时，y=85，故点P(3，85)．
(3)存在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，
则S四边形OEBF=OB×yE=5×yE=12，
点E在第四象限，则yE=-125，
将y=-125代入二次函数表达式得45(x2-6x+5)=-125，
解得x=2或4，故点E的坐标为(2，-125)或(4，-125)．
2.【答案】(1)解：∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(4，0)和O(0，0)，∴-16+4b+c=0,c=0，解得b=4,c=0，∴抛物线的表达式为y=-x2+4x.
(2)∵直线AB经过点A(4，0)和B(0，4)，∴直线AB的表达式为y=-x+4.∵MN//y轴，∴设M(t，-t+4)，N(t，-t2+4t)，其中0≤t≤4.当点M在点N的上方时，MN=-t+4-(-t2+4t)=t2-5t+4=2，解得t1=5-172，t2=5+172(舍)，∴15-172，3+172；当点M在点N的下方时，MN=-t2+4t-(-t+4)=-t2+5t-4=2，解得t1=2，t2=3，∴M2(2，2)，M3(3，1).综上，满足条件的点M的坐标为5-172，3+172或(2，2)或(3，1).
(3)存在，点Q的坐标为(5，1)或(-4，-2)或7-52，1-52或7+52，1+52.理由如下：①如图②，若AC是矩形的边，设抛物线的对称轴与直线AB交于点R，且R(2，2).过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点1，P2.联立y=-x2+4x,y=-x+4,解得x=1,y=3或x=4,y=0,∴C(1,3).∵D(2，4)，∴CD=(2-1)2+(4-3)2=2.同理，CR=2，DR=2，∴CD2+CR2=DR2，∴∠RCD=90∘，∴点P1与点D重合.当C1//A1，CP1=AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形.∵C(1，3)向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到P1(2，4)，∴A(4，0)向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到Q1(5，1).此时直线P1C的表达式为y=x+2.∵直线P2A与P1C平行且过点A(4，0)，∴直线P2A的表达式为y=x-4.∵点P2是直线y=x-4与抛物线y=-x2+4x的交点，∴-x2+4x=x-4，解得x1=-1，x2=4(舍)，∴P2(-1，-5).当AC//P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，∵A(4，0)向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到C(1，3)，∴P2(-1，-5)向左平移3个单位长度，向上平移3个单位长度得到Q2(-4，-2)；②如图③，若AC是矩形的对角线，设P3(m，-m2+4m).当∠AP3C=90∘时，过点P3作P3H⊥x轴于点H，过点C作CK⊥P3H于点K，∴∠P3KC=∠AHP3=90∘，∠P3CK=∠AP3H，∴△P3CK∽△AP3H，∴P3KAH=CKP3H，∴-m2+4m-34-m=m-1-m2+4m.∵点P不与点A，C重合，∴m≠1且m≠4，∴m2-3m+1=0，∴m=3±52，∴满足条件的点P有两个，即33+52，5+52，43-52，5-52，如图④:当P3C//A3，P3C=AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形.∵33+52，5+52向左平移1+52个单位长度，向下平移-1+52个单位长度得到C(1，3)，∴A(4，0)向左平移1+52个单位长度，向下平移-1+52个单位长度得到37-52，1-52.当P4C//A4，P4C=AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形.∵43-52，5-52向右平移-1+52个单位长度，向上平移1+52个单位长度得到C(1，3)，∴A(4，0)向右平移-1+52个单位长度，向上平移1+52个单位长度得到47+52，1+52.综上，点Q的坐标为(5，1)或(-4，-2)或7-52，1-52或7+52，1+52．
3.【答案】(1)解：把x=2，y=1代入y=-(x-h)2+1，得h=2，∴l的函数解析式为y=-(x-2)2+1，此时l的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2，1)
(2)点C的横坐标为0，则yC=-h2+1，∴当h=0时，yC有最大值为1.此时，l的函数解析式为y=-x2+1，对称轴为y轴，当x⩾0时，y随着x的增大而减小，∴当x1>x2⩾0时，y1
【解析】(1)把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，并求出h的值；
利用抛物线的函数解析式得出图象的对称轴和顶点坐标.
(2)把点C的横坐标代入函数解析式，得yC=-h2+1，由二次函数最值的求法易得yC的最大值；并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性比较y1与y2的大小.
(3)根据题意推出把OA分为1∶4两部分的点为(-1，0)或(-4，0)．然后将这两个点的坐标分别代入抛物线的解析式，求出对应的h的值
4.【答案】(1)∵抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0)，∴a+b-3=0,9a-3b-3=0,解得a=1,b=2,∴该抛物线的解析式为：y=x2+2x-3.当x=-2时，y=(-2)2+2×(-2)-3=-3，∴D(-2,-3)．设直线AD的解析式为y=kx+t，∴k+t=0,-2k+t=-3,解得k=1,t=-1,∴直线AD的解析式为y=x-1.
(2)由题意得：P(m,m-1)，Q(m,m2+2m-3)，-2
5.【答案】(1)解：直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B，C两点，
则点B，C的坐标分别为(3，0)，(0，3)，
将点B，C的坐标代入二次函数表达式得：
-9+3b+c=0，c=3，
解得：b=2,c=3，
故二次函数的表达式为：y=-x2+2x+3.
(2)如图①，作点C关于x轴的对称点C'，连接C'D交x轴于点E，连接EC，则此时EC+ED的值最小，
易得二次函数图象顶点坐标为(1，4)，点C'(0，-3)，
易求得直线C'D的表达式为：y=7x-3，
当y=0时，x=37，
故点E37，0．
EC+ED的最小值为C'D=12+(4+3)2=52．
(3)①当点P在x轴上方时，如图②，
∵OB=OC=3，
∴∠OCB=45∘=∠APB，
过点B作BH⊥AP交AP于H点，则PH=BH，
设PH=BH=m，则PB=PA=2m，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，
∴16=m2+(2m-m)2，解得：m2=42(2+1)，
则PB2=(2m)2=82(2+1)，yP=82(2+1)-22=22+2；
②当点P在x轴下方时，同理求得yP=-(22+2)．
故点P的坐标为(1，22+2)或(1，-22-2)．
6.【答案】(1)∵抛物线y=12x2+bx+c经过点A(0,3),C(-3,0),∴c=3,12×(-3)2-3b+c=0.解得b=52,c=3.∴抛物线的解析式为y=12x2+52x+3.
(2)根据二次函数图象的对称性可知MD=MC,要使|MB-MD|的值最大,就是使|MB-MC|的值最大,由三角形两边之差小于第三边,得当点B,C,M在同一条直线上时,|MB-MD|的值最大．由一次函数和二次函数的图象交于A,B两点,得12x2+52x+3=12x+3,解得x=-4或x=0,当x=-4时,y=1,即点B(-4,1)．故BC=(-4+3)2+(1-0)2=2,所以最大值为2．
(3)∵点B(-4,1),点A(0,3),点C(-3,0),∴AB=25,BC=2,AC=32,则AB2=BC2+AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90∘,BCAC=13．设点P的坐标为a,12a2+52a+3(a>0),过点P作PE⊥y轴于点E．
则PE=a,AE=12a2+52a,∵△APQ和△APE相似,∴当a12a2+52a=13或a12a2+52a=3时,△APE与△ABC相似，即△APQ和△ABC相似,解得a=1或a=-133(舍)或a=0(舍)．∴点P的坐标为(1,6)
【解析】(1)将点A，C的坐标代入关系式,求出b,c的值即可；
(2)先确定要求|MB-MD|的最大值就是求|MB-MC|的最大值,即可确定点M的位置,然后求出点B的坐标,即可求出最大值；
(3)先确定△ABC是直角三角形,直角边的比为13,再根据题意设出点P的坐标,并构造Rt△APE,并根据两直角边的比为13,求出点P的坐标
7.【答案】(1)菱形、正方形；不是
(2)由题意可得∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB,∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB,所以∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB,所以180∘-∠AED=180∘-∠AEB,所以∠AED=∠AEB=90∘,即AC⊥BD,过点O作OM⊥AC于点M,ON⊥BD于点N,连接OA,OD,则OA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=12AC,DN=12BD,四边形OMEN为矩形,所以ON=ME,OE2=OM2+ME2,所以OE2=OM2+ON2=2-14(AC2+BD2),又因为6≤AC2+BD2≤7,所以2-74≤OE2≤2-32,即14≤OE2≤12(OE>0),所以12≤OE≤22．
(3)由题意得A-b-Δ2a,0(Δ=b2-4ac,下同)，B(0,c),C-b+Δ2a,0,D(0,-ac),因为a>0,c<0,所以AO=b+Δ2a,BO=-c,CO=-b+Δ2a,DO=-ac,AC=Δa,BD=-ac-c,S=12·AC·BD=-12(ac+c)·Δa,S1=12·AO·OB=-c(Δ+b)4a,S2=12·CO·OD=-c(Δ-b)4,S3=12·AO·OD=-c(Δ+b)4,S4=12·CO·OB=-c(Δ-b)4a,又因为S=S1+S2,S=S3+S4,可得a=1,所以S=-cΔ,因为S=S1+S2,所以S=S1+S2+2S1S2,可得b=0,所以A(--c,0),B(0,c),C(-c,0),D(0,-c),所以四边形ABCD为菱形,所以AD=310,又因为AD2=c2-c,得到(c-10)(c+9)=0,所以c1=-9,c2=10(舍去),所以抛物线的解析式为：y=x2-9.
【解析】(1)①根据特殊四边形对角线的性质可知；②根据“十字形”的定义判断；
(2)构造矩形,将OE转化为对角线,利用圆周角定理得到AC⊥BD,即四边形ABCD是“十字形”,利用勾股定理,得到AC,BD和OE之间的数量关系,根据已知条件通过运算可得OE的取值范围；
(3)由二次函数表达式可表示出A,B,C的坐标,结合点D的坐标,表示出S,S1,S2,S3,S4,利用S=S1+S2,S=S3+S4以及“十字形”ABCD的周长为1210三个等量关系,可以得到关于c的一元二次方程,解方程可得．
8.【答案】(1)解：将点A、D的坐标代入直线表达式得：-k+n=05k+n=-6，解得：k=-1n=-1，故直线l的表达式为：y=-x-1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4；
(2)直线l的表达式为：y=-x-1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE=PF，设点P坐标为(x，-x2+3x+4)、则点F(x，-x-1)，PE+PF=2PF=2-x2+3x+4+x+1=-x-22+18，∵-2<0，故PE+PF有最大值，当x=2时，其最大值为18；
(3)存在∵NC=5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为(x，-x2+3x+4)、则点M(x，-x-1)，由题意得：|yM-P|=5，即：|-x2+3x+4+x+1|=5，解得：x=2±14或0或4(舍去0)，则点P坐标为(2+14，-3-14)或(2-14，-3+14)或(4，-5)；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为(-12，2)，设点P坐标为(m，-m2+3m+4)、则点M(n，-n-1)，N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：-12=m+n2，2=-m2+3m+4-n-12，解得：m=0或-4(舍去0)，故点P(-4，3)；故点P的坐标为：(2+14，-3-14)或(2-14，-3+14)或(4，-5)或(-4，3)．
【解析】(1)将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；
(2)PE+PF=2PF=2-x2+3x+4+x+1=-x-22+18，即可求解；
(3)分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．
9.【答案】(1)解：将A0,-74，点B1,14代入y=x2+bx+c得：-74=c14=1+b+c，解得b=1c=-74，∴y=x2+x-74．
(2)∵y=x2+x-74=x+122-2，∵4抛物线开口向上，对称轴为直线x=-12．∴当x=-12时，y取最小值为-2，∵2--12>-12-(-2)，∴当x=2时，y取最大值22+2-74=174．
(3)(1)PQ=|-2-2m+1-m=-3m+1，当-3m+1>0时，PQ=-3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当-3m+1<0时，PQ=3m-1，PQ的长度随m增大而增大，∴-3m+1>0满足题意，解得m<13．(2)∵PQ≤7∴0<-3m+1≤7，解得-2≤m<13，如图，当x=-12时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，-12
(2)将函数代数式配方，由抛物线开口方向和对称轴直线方程求解．
(3)(1)由0
10.【答案】(1)解：由点D的纵坐标知，正方形ABCD的边长为5，则OB=AB-AO=5-4=1，故点B的坐标为(1,0)，则1+b+c=016-4b+c=5，解得b=2c=-3，故抛物线的表达式为y=x2+2x-3；
(2)存在，理由：∵点D、E关于抛物线对称轴对称，故点E的坐标为(2,5)，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=-1，故设点F的坐标为(-1,m)，由点B、E的坐标得，BE2=(2-1)2+(5-0)2=26，设点Q的坐标为(s,t)，∵以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q)，且BE=EF(BE=EQ)，则s+1=-1t+5=m26=(2+1)2+(m-5)2或s-1=-1t-5=m26=(s-2)2+(t-5)2，解得m=5±17s=-2t=±17或s=0t=5±22m=±22，故点F的坐标为(-1,5+17)或(-1,5-17)或(-1,22)或(-1,-22)；
(3)存在，理由：设抛物线的对称轴交x轴于点B'(-1,0)，将点B'向左平移1个单位得到点B''(-2,0)，连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，理由：∵B''B''=PM=1，且B'B''//PM，故四边形B″B'PM为平行四边形，则B″M=B'P=BP，则EM+MP+PB=EM+1+MB″=B″E为最小，由点B''、E的坐标得，直线B″E的表达式为y=54(x+2)，当x=-1时，y=54(x+2)=54，故点M的坐标为-1,54，则EM+MP+PB的最小值B'E=(-2-2)2+(0-5)2=41+1
【解析】(1)求出点B的坐标为(1,0)，再用待定系数法即可求解；
(2)以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，故点B向右平移1个单位向上平移5个单位得到点E，则Q(F)向右平移1个单位向上平移5个单位得到点F(Q)，且BE=EF(BE=EQ)，即可求解；
(3)设抛物线的对称轴交x轴于点B'(-1,0)，将点B'向左平移1个单位得到点B''(-2,0)，连接B″E，交函数的对称轴于点M，过点M作MP⊥y轴，则点P、M为所求点，此时EM+MP+PB为最小，进而求解.
11.【答案】(1)解：∵点B关于x轴对称点的坐标为(2,1)；∴点B的坐标为(2-1)；设抛物线的解析式为y=a(x-2)2-1；∵抛物点过原点；∴0=a(0-2)2-1；解得a=14；∴抛物线解析式为：y=14(x-2)2-1，即y=14x2-x.
(2)①设点F坐标为(2，b)，点G坐标为(a,14a2-a)由题意可得：(a-2)2+(14a2-a-b)2=14a2-a+2整理得：b×(a22-2a-b)=0∴b=0∴点F的坐标为(2,0)②设直线l的解析式为y=k(x-2)，直线l与抛物线交于点M,Ny=14x2-xy=k(x-2)∴y=14(y+2kk)2-y+2kk整理得：y2-4k2y-4k2=0∴yM+yN=4k2,yM-yN=-4k2由①得MF=yM+2,NF=yN+21MF+1NF=1yM+2+1yN+2整理得：1MF+1NF=yM+yN+4yMyN+2yM+yN+4∴1MF+1NF=4k2+44k2+4=1.
(3)∵点C(3,m)在抛物线y=14x2-x上，∴m=14×9-3=-34∴C3,-34如图：作点C关于x轴的对称点C，点B关于y轴的对称点B则点C3,34，点B(-2,-1)，连接B'C，交x轴于点P，交y轴于点Q，则此时四边形PQBC周长最小设直线B'C的解析式为y=kx+b-2k+b=-13k+b=34解得b=-310k=720∴直线B'C的解析式为y=720x-310∴点P坐标为67,0，点Q坐标为0,-310.
【解析】(1)先求出点B的坐标为(2-1)，再求出a=14，最后求函数解析式即可；
(2)①先求出(a-2)2+(14a-a-b)2=14a2-a+2，再求出b=0，最后求点的坐标即可；②先求出y=14x2-xy=k(x-2)，再求出1MF+1NF=yM+yN+4yMyN+2yM+yN+4，最后证明求解即可；
(3)先求出m=14×9-3=-34，再求出直线B'C的解析式为y=720x-310，最后求点的坐标即可。
12.【答案】(1)（12，1）；(0，32)
(2)顶点坐标A(m,2m)，∴OA2=m2+(2m)2=5m2，又已知OA2=5，∴5m2=5，且A点在第一象限，∴m=1∴抛物线的解析式为：y=2(x-1)2+2，∵抛物线的对称轴为x=1，由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，∴y随x的增大而减小时x的取值范围为：x<1
(3)解：函数的对称轴为x=m，且开口向上，当m≥0，且x≤2m时，x=m时，函数有最小值为y=2m，由已知：函数的最小值为3，∴2m=3，解得m=32，当m<0，且x≤2m时，x=2m时，函数有最小值为y=2m2+2m，由已知：函数的最小值为3，∴2m2+2m=3，解得m1=-1-72或m2=-1+72(正值舍去)，故m的值为32或-1-72；
(4)如图1,当m>0时,∵P(4,2)、Q(4,2-2m)∴M(m,2),N(m,2-2m)抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点,若点B在PM边上,点C在MN边上,∴令y=2,则2=2(x-m)2+2m∴x=m+1-m或x=m-1-m(不合题意,应舍去),∴B(m+1-m,2),C(m,2m)根据题意,得2m=m+1-m,解得：m=5-12或m=-5-12(不合题意,应舍去)；∴m=5-12若点B在PM边上,点C在NQ边上,则2-2m=m+1-m,解得：m=11±1318,经检验,m=11+1318不符合题意,舍去∴m=11-1318若点B在PQ边上,点C在NQ边上,则4=2-2m,解得：m=-1<0,不合题意,舍去；当m<0时,如图2,若点B在NQ边上,点C在PM边上,则2-2m=2(x-m)2+2m,∴x=m+1-2m或x=m-1-2m(舍去),∴|m+1-2m|=2,当m+1-2m=2时,得m2-2m+3=0,∵Δ=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴该方程无解.当m+1-2m=-2时,得m2+6m+3=0,解得：m=-3-6或m=-3+6,∵当m=-3+6时,|m+1-2m|=26-4≠2,不符合题意,舍去.∴m=-3-6若点B在NQ边上,点C在MN边上,则|m+1-2m|=|2m|∴m+1-2m=-2m或m+1-2m=2m∵m<0∴m=-10+19或m=-1-2经验证,m=-10+19或m=-1-2,均不符合题意;若点B在PQ边上,点C在PM边上,显然点B到y轴的距离为4,点C到x轴的距离为2,不符合题意;综上所述,m的值为5-12或11-1318或-3-6.
【解析】(1)由题意可知，二次函数顶点坐标A(m,2m)，当m=12时，顶点坐标为，A（12，1）此时抛物线解析式为：y=2x-122+1，令x=0，∴y=12+1=32，∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，32)；
(2)先求出OA2=5，再求出抛物线的对称轴为x=1，最后计算求解即可；
(3)分类讨论，计算求解即可；
(4)分类讨论，结合函数图象，计算求解即可.
13.【答案】(1)解：抛物线y=a(x-3)(x+6)过点A(-1,5)，∴5=-20a，∴a=-14，∴抛物线的解析式为y=-14(x-3)(x+6)，令y=0，则-14(x-3)(x+6)=0，解得x=3或-6，∴C(3,0)，当x=-5时，y=-14×(-8)×1=2，∴B(-5,2)，∴m=2.
(2)设P(t,0)，则有(t+5)2+22(t+1)2+52=25，整理得，21t2+242t+621=0，解得t=-277或-16121，经检验t=-277或-16121是方程的解，∴满足条件的点P坐标为-277,0或-16121,0
(3)存在．连接AB，设AB的中点为T①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．∵A(-1,5)，B(-5,2)，TA=TB，∴T-3,72，∵C(3,0)，∴直线CT的解析式为：y=kx+b,∴3k+b=0-3k+b=72,解得k=-712b=74∴直线CT的解析式为y=-712x+74，由y=-712x+74y=-14x-3x+6，解得x=3y=0（即点C）或x=-113y=359，∴M-113,359，②CM'//AB时，满足条件，直线AB的解析式为y=34x+234，∴直线CM'的解析式为y=34x-94，由y=34x-94y=-14x-3x+6，解得x=3y=0即点C)或x=-9y=-9，∴M'(-9,-9)，综上所述，满足条件的点M的横坐标为-113或-9.
【解析】(1)利用待定系数法求解即可．
(2)设P(t,0)，则有(t+5)2+22(t+1)2+52=25，解方程，可得结论．
(3)存在．连接AB，设AB的中点为T分两种情形：①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．②CM'//AB时，满足条件．根据方程组求出点M的坐标即可．
14.【答案】(1)解：把P(0,1)代入解析式得：c=1，∴y=ax2+bx+1，又∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴Δ=b2-4a=0，即a=b24，∴a+b=14b2+b=14(b+2)2-1，当b=-2时，a+b有最小值为-1；
(2)①抛物线与x轴只有一个公共点，∴抛物线上的点在x轴的同一侧或x轴上，∴抛物线上的点为P1，P3，又∵P1，P3关于y轴对称，∴顶点为原点(0,0)，①∵设解析式为y=ax2，代入点P1得：y=14x2，②证明：联立直线l和抛物线得：y=14x2y=kx+1，即：x2-4kx-4=0，设Mx1,kx1+1，Nx2,kx2+1，由韦达定理得：x1+x2=4k，x1x2=-4，设线段MN的中点为T，设A的坐标为(m,-1)，则T的坐标为2k,2k2+1，∴AT2=(2k-m)2+2k2+22，由题意得：MN2=x1-x22+kx1-kx22=16k4+2k2+1，∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，∴12MN=AT，即：14MN2=AT2，∴14×16k4+2k2+1=(2k-m)2+2k2+22，解得m=2k，∴A(2k,-1)，∴B2k,k2，∴C2k,2k2+1，∵2k2+1+(-1)2=k2，∴B是AC的中点，∴AB=BC，又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，∴△MAB与△MBC的高相等，∴△MAB与△MBC的面积相等．
【解析】(1)将点P的坐标代入解析式中，得出a和b的关系式，即可求出a+b的最小值；
(2)①由题意得出抛物线与x轴只有一个交点，所以抛物线上的点在同一侧，即两点只能为P1，P3，即可求出抛物线的解析式；②根据题意先设出点A的横坐标，然后用含k的式子表示出A的横坐标，再证明AB=BC即可得出△MAB与△MBC的面积相等．
15.【答案】(1)解：对于函数y=-12x+3，当y=0时，-12x+3=0，解得x=6，即A(6,0)，当x=0时，y=3，即B(0,3)，将点A(6,0)和原点(0,0)代入y=13x2+bx+c得：12+6b+c=0c=0，解得b=-2c=0，则抛物线的关系式为y=13x2-2x，将y=13x2-2x化成顶点式为y=13(x-3)2-3，则顶点M的坐标为M(3,-3)
(2)设直线AB与抛物线的另一个交点为点N，联立y=-12x+3y=13x2-2x，解得x=-32y=154或x=6y=0，则N-32,154，过点E作y轴的平行线，交直线AB于点F，设点E的坐标为Ea,13a2-2a，则点F的坐标为Fa,-12a+3，∴EF=-12a+3-13a2-2a=-13a2+32a+3，由题意，分以下两种情况：①如图，当0≤a<6时，则S△EAB=S△BEF+S△AEF=12a-13a2+32a+3+12(6-a)-13a2+32a+3=-a2+92a+9，因此有-a2+92a+9=252，解得a=1或a=72，均符合题设，当a=1时，13a2-2a=-53，即E1-53，当a=72时，13a2-2a=-3512，即E72,-3512；②如图，当-32
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)由△EAB的面积=252，即可求解；
(3)由直线CM的表达式知，tan∠MCD=12，则sin∠MCD=15，则DM=5，由带你D、M的坐标得出DM的值，即可求解.
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