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2023年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷（3月份）（含答案）
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这是一份2023年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷（3月份）（含答案），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）在|﹣1|，，π，这四个数中最大的数是（ ）
A．|﹣1| B． C．π D．
2．（3分）2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）
A．22×1010 B．2.2×1010 C．0.22×1012 D．2.2×1011
3．（3分）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝25°，则∠ADE为（ ）
A．75° B．55° C．65° D．60°
4．（3分）下列各式中，计算结果为m10的是（ ）
A．m2•m5 B．m5+m5 C．m20÷m2 D．（m2）5
5．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
7．（3分）某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表．
睡眠时间/h
6
7
8
9
人数
10
20
15
4
则所抽查学生每天睡眠时间的平均数约为（ ）
A．7h B．7.3h C．7.5h D．8h
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，连接BD，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H．连接CH，则四边形BCHG的周长为（ ）
A． B．11 C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（2，﹣2），D（4，﹣2），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（ ）
A．（﹣3，2026） B．（3，2026） C．（﹣3，﹣2026） D．（3，﹣2026）
10．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
12．（3分）请你写出一个函数，使其过点（0，2），且使得当自变量x＞0时，函数y随x增大而增大，则这个函数的解析式可以是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB．若OA＝OB，则k的值为 ．
14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，如图AB＜BC，以点C为圆心，CB的长为半径的圆分别交AD边于点E，交CD边的延长线于点F．若AE＝DF，的长为π，则DE的长为 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，∠BED的平分线交直线CD于点F．若AB＝6，CF＝2，则BC＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：﹣（3﹣）0+3﹣1；
（2）化简：÷．
17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
18．（9分）如图，已知在平面直角坐标系中，点B（6，8）在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点B作BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB向右平移，得到△O′A′B′，O′B′交双曲线于点C（3a，a）．
（1）k＝ ，a＝ ；
（2）求△OAB向右平移的距离；
（3）连接BC，OC，则△OBC的面积为 ．
19．（9分）如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°．若CF＝1.75m，求有效测温区间EF的长度．（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
20．（9分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，点E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝8，求AD的长．
21．（9分）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（4，0）和点B．
（1）m＝ ，b＝ ．
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移8个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
23．（10分）定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．
如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“等垂四边形．根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：
（1）矩形 “等垂四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，若⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，作OM⊥AD于M．请猜想OM与BC的数量关系，并证明你的结论．
2023年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷（3月份）
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）在|﹣1|，，π，这四个数中最大的数是（ ）
A．|﹣1| B． C．π D．
【解答】解：|﹣1|＝1，＝3，
∵π＞3＞＞1，
∴在|﹣1|，，π，这四个数中最大的数是π．
故选：C．
2．（3分）2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）
A．22×1010 B．2.2×1010 C．0.22×1012 D．2.2×1011
【解答】解：2200亿＝220000000000＝2.2×1011．
故选：D．
3．（3分）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝25°，则∠ADE为（ ）
A．75° B．55° C．65° D．60°
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝25°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝65°，
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝65°，
故选：C．
4．（3分）下列各式中，计算结果为m10的是（ ）
A．m2•m5 B．m5+m5 C．m20÷m2 D．（m2）5
【解答】解：A．m2•m5＝m7，故此选项不合题意；
B．m5+m5＝2m5，故此选项不合题意；
C．m20÷m2＝m18，故此选项不合题意；
D．（m2）5＝m10，故此选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，
∴能让灯泡L1发光的概率为＝．
故选：B．
6．（3分）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣5）（x﹣2）＝0，
x﹣5＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝5，x2＝2，
当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2＝12；
当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5＝15；
当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2＝6，
综上所述，△ABC的周长为6或12或15．
故选：D．
7．（3分）某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表．
睡眠时间/h
6
7
8
9
人数
10
20
15
4
则所抽查学生每天睡眠时间的平均数约为（ ）
A．7h B．7.3h C．7.5h D．8h
【解答】解：学生每天睡眠时间的平均数＝≈7.3（h），
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，连接BD，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H．连接CH，则四边形BCHG的周长为（ ）
A． B．11 C． D．
【解答】解：由作法得：EF垂直平分BD，
则：BH＝DH，HG⊥BD，
在矩形ABCD中，∠A＝90°，CH＝BD，
∴BD＝5，
∴BH＝2.5，
∵∠A＝∠BHG，∠ABD＝∠ABD，
∴△BGH～△BDA，
∴，即：，
解得：GH＝1.875，BG＝3.125，
所以四边形BCHG的周长为：3.125+1.875+2.5+3＝105，
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（2，﹣2），D（4，﹣2），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（ ）
A．（﹣3，2026） B．（3，2026） C．（﹣3，﹣2026） D．（3，﹣2026）
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，A（2，﹣2），D（4，﹣2），
∴AB＝AD＝4﹣2＝2，
∴C（4，﹣4），
∵点A（2，﹣2）、点C（4，﹣4）关于正方形ABCD的中心对称，
∴正方形ABCD的中心的坐标为（3，﹣3），
∵把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，
∴经过一次变换，正方形ABCD的中心的坐标为（﹣3，﹣4），
经过二次变换，正方形ABCD的中心的坐标为（3，﹣5），
……
经过n次变换，正方形ABCD的中心的横坐标为（﹣1）n×3，纵坐标为﹣3﹣n，
当n＝2023时，（﹣1）n×3＝（﹣1）2023×3＝﹣3，﹣3﹣n＝﹣3﹣2023＝﹣2026，
∴这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（﹣3，﹣2026），
故选：C．
10．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣1 ．
【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为﹣1．
12．（3分）请你写出一个函数，使其过点（0，2），且使得当自变量x＞0时，函数y随x增大而增大，则这个函数的解析式可以是 y＝x+1（答案不唯一） ．
【解答】解：∵经过点（0，2），且使得当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，
∴只要一次函数k＞0，且过点（0，2）就符合题意，
∴y＝x+2（答案不唯一）．
故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB．若OA＝OB，则k的值为 ﹣ ．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F．
∵OA⊥OB，
∴∠BOE+∠AOF＝90°．
又∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE，
∴△OAF∽△BOE．
∴，
∵OA＝OB，
∴，
∴＝，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴S△A0F＝1，
∴．
又点B在反比例函数y＝的图象上，且点B在第二象限，
∴k＝﹣．
故答案是：﹣．
14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，如图AB＜BC，以点C为圆心，CB的长为半径的圆分别交AD边于点E，交CD边的延长线于点F．若AE＝DF，的长为π，则DE的长为 2 ．
【解答】解：连接CE，则CB＝CE＝CF，
设CB＝R，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CE＝CF＝DA，
∵AE＝DF，
∴DE＝DC，
∴DCE＝45°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得R＝4，
在Rt△DCE中，
DE＝CE•sin 45°＝4×B＝2．
故答案为：2．
15．（3分）在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，∠BED的平分线交直线CD于点F．若AB＝6，CF＝2，则BC＝ 4+2或8 ．
【解答】解：①延长EF交BC点G，设CG＝x，如图1所示：
∵∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠BEA，∠G＝∠DEF，
∴∠ABE＝∠BEA，
∴AB＝AE，
∵AB＝6，
∴AE＝6，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∴BE＝6，BG＝6，
在△DEF和△CFG中，
，
∴△DEF∽△CFG（AA），
∴，
∵CF＝2，CF+DF＝CD＝AB，
∴DF＝4，
∴ED＝2x，
∵AD＝BC，AD＝AE+DE，
∴BC＝6+2x，
∵BG＝BC+CG，
∴BG＝6+2x+x＝6+3x，
∴6+3x＝6，
解得：x＝2﹣2，
∴BC＝2（2﹣2）+6＝4+2；
②延长EH交DC的延长线于点F，设CH＝y，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC
∴∠2＝∠3，∠CBE＝∠AEB，
∵BF平分∠BED，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BE＝BH，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
在Rt△ABE中，AB＝6，由勾股定理得：
＝6，
∴BH＝6；
∵CH∥ED，
∴△FCH∽△FDE，
∴，
∵CF＝2，CH＝y，
∴DE＝4y，
∵AD＝BC，AD＝AE+DE，BC＝BH+CH，
∴6+4y＝6+y，
解得：y＝2﹣2，
∴BC＝8﹣2；
故答案为：2+1或8．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：﹣（3﹣）0+3﹣1；
（2）化简：÷．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1+
＝3．
（2）原式＝•
＝
＝．
17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 78.5 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 44% ．
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为＝78.5（分），
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为×100%＝44%，
故答案为：78.5，44%；
（2）不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．
18．（9分）如图，已知在平面直角坐标系中，点B（6，8）在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点B作BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB向右平移，得到△O′A′B′，O′B′交双曲线于点C（3a，a）．
（1）k＝ 48 ，a＝ 4 ；
（2）求△OAB向右平移的距离；
（3）连接BC，OC，则△OBC的面积为 36 ．
【解答】解：（1）∵点B坐标是（6，8），点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝6×8＝48，
∴反比例函数为y＝，
∵双曲线经过点C （3a，a）．
∴a＝，
解得a＝4（负数舍去）；
故答案为：48，4；
（2）如图，过点C作CM⊥x轴于M，
∵a＝4，
∴C（12，4），
∴OM＝12，CM＝4，
∵点B坐标是（6，8），BA⊥x轴于点A，
∴A（6，0），O′A′＝OA＝6，A′B′＝AB＝8，
∴C是O′B′的中点，
∴A′M＝3，
∴A′（15，0），
∴OO'＝15﹣6＝9，
∴△OAB向右平移到△O′A′B′的距离为9；
（3）∵BA⊥x轴于点A，CM⊥x轴于M，
∴S△AOB＝S△COM＝|k|，
∴S△BOC＝S△AOB+S梯形ABCM﹣S△COM＝S梯形ABCM，
∴S△BOC＝（4+8）×6＝36．
故答案为：36．
19．（9分）如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°．若CF＝1.75m，求有效测温区间EF的长度．（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
【解答】解：如图，延长CB交AD于点G，则GD＝CF．
∴AG＝AD﹣CF＝2.74﹣1.75＝0.99（m）．
在Rt△AGC中，（m），
在Rt△AGB中，（m），
∴BC＝CG﹣BG＝2.2﹣0.99＝1.21（m），
∴EF＝BC＝1.21（m）．
答：有效测温区间EF的长度约为1.21m．
20．（9分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，点E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝8，求AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，
∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴半径OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝4，
∴DE＝BE＝4，
∴DF＝12，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝12．
21．（9分）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元．
（2）设购买m（0＜m≤20且m为整数）副羽毛球拍，则选择方案A所需总费用为70m+35（80﹣m）＝2800（元），选项方案B所需总费用为80%×[70m+35（80﹣m）]＝（28m+2240）（元）．
当2800＞28m+2240时，
m＜20，
∵m＞0，
∴0＜m＜20；
当2800＝28m+2240时，
m＝20；
当2800＜28m+2240时，
m＞20，
∵m≤40，
∴20＜m≤40．
答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（4，0）和点B．
（1）m＝ ﹣4 ，b＝ 4 ．
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移8个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝16+4m，解得：m＝﹣4，
将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣4+b，解得b＝4；
故m＝﹣4，b＝4，
故答案为：﹣4，4；
（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+4，y＝x2﹣4x，
联立上述两个函数表达式并解得或（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为（﹣1，5），
从图象看，不等式 x2+mx＞﹣x+b 的解集为x＜﹣1或x＞4；
（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为5，而A、B的水平距离是5，故此时只有一个交点，即﹣1≤xM＜4；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当 xM＝5时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（2，﹣4），即xM＝5时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上所述，﹣1≤xM＜4或xM＝5．
23．（10分）定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．
如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“等垂四边形．根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：
（1）矩形 不是 “等垂四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，若⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，作OM⊥AD于M．请猜想OM与BC的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）矩形的对角线相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四边形．
故答案为：不是；
（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H．
在△AOH中，∠AOH＝∠ADC＝60°，OA＝6
∴AH＝3
∴AC＝2AH＝6
∵四边形ABCD是等垂四边形
∴AC＝BD＝6
∴S四边形ABCD＝•AC•BD＝××6＝54．
（3）连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC于E，
显然∠BOE＝∠BAC，∠AOM＝∠ABD
∵BD⊥AC
∴∠ABD+∠BAC＝90°．
∵∠AOM+∠OAM＝90°
∴∠OAM＝∠BOE
在△OAM中与△BOE中
，
∴△OAM≌△BOE
∴OM＝BE
∵BE＝BC，
∴OM＝BC．
2023年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷（3月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）在|﹣1|，，π，这四个数中最大的数是（ ）
A．|﹣1| B． C．π D．
2．（3分）2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）
A．22×1010 B．2.2×1010 C．0.22×1012 D．2.2×1011
3．（3分）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝25°，则∠ADE为（ ）
A．75° B．55° C．65° D．60°
4．（3分）下列各式中，计算结果为m10的是（ ）
A．m2•m5 B．m5+m5 C．m20÷m2 D．（m2）5
5．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
7．（3分）某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表．
睡眠时间/h
6
7
8
9
人数
10
20
15
4
则所抽查学生每天睡眠时间的平均数约为（ ）
A．7h B．7.3h C．7.5h D．8h
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，连接BD，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H．连接CH，则四边形BCHG的周长为（ ）
A． B．11 C． D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（2，﹣2），D（4，﹣2），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（ ）
A．（﹣3，2026） B．（3，2026） C．（﹣3，﹣2026） D．（3，﹣2026）
10．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
12．（3分）请你写出一个函数，使其过点（0，2），且使得当自变量x＞0时，函数y随x增大而增大，则这个函数的解析式可以是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB．若OA＝OB，则k的值为 ．
14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，如图AB＜BC，以点C为圆心，CB的长为半径的圆分别交AD边于点E，交CD边的延长线于点F．若AE＝DF，的长为π，则DE的长为 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，∠BED的平分线交直线CD于点F．若AB＝6，CF＝2，则BC＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：﹣（3﹣）0+3﹣1；
（2）化简：÷．
17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ．
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
18．（9分）如图，已知在平面直角坐标系中，点B（6，8）在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点B作BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB向右平移，得到△O′A′B′，O′B′交双曲线于点C（3a，a）．
（1）k＝ ，a＝ ；
（2）求△OAB向右平移的距离；
（3）连接BC，OC，则△OBC的面积为 ．
19．（9分）如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°．若CF＝1.75m，求有效测温区间EF的长度．（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
20．（9分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，点E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝8，求AD的长．
21．（9分）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（4，0）和点B．
（1）m＝ ，b＝ ．
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移8个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
23．（10分）定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．
如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“等垂四边形．根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：
（1）矩形 “等垂四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，若⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，作OM⊥AD于M．请猜想OM与BC的数量关系，并证明你的结论．
2023年河南省安阳市林州市中考数学模拟试卷（3月份）
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）在|﹣1|，，π，这四个数中最大的数是（ ）
A．|﹣1| B． C．π D．
【解答】解：|﹣1|＝1，＝3，
∵π＞3＞＞1，
∴在|﹣1|，，π，这四个数中最大的数是π．
故选：C．
2．（3分）2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）
A．22×1010 B．2.2×1010 C．0.22×1012 D．2.2×1011
【解答】解：2200亿＝220000000000＝2.2×1011．
故选：D．
3．（3分）如图，直线DE∥BF，Rt△ABC的顶点B在BF上，若∠CBF＝25°，则∠ADE为（ ）
A．75° B．55° C．65° D．60°
【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠CBF＝25°，
∴∠ABF＝∠ABC﹣∠CBF＝65°，
∵DE∥BF，
∴∠ADE＝∠ABF＝65°，
故选：C．
4．（3分）下列各式中，计算结果为m10的是（ ）
A．m2•m5 B．m5+m5 C．m20÷m2 D．（m2）5
【解答】解：A．m2•m5＝m7，故此选项不合题意；
B．m5+m5＝2m5，故此选项不合题意；
C．m20÷m2＝m18，故此选项不合题意；
D．（m2）5＝m10，故此选项符合题意．
故选：D．
5．（3分）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，
∴能让灯泡L1发光的概率为＝．
故选：B．
6．（3分）已知等腰△ABC的边是方程x2﹣7x+10＝0的根，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．9或12 C．6或15 D．6或12或15
【解答】解：x2﹣7x+10＝0，
（x﹣5）（x﹣2）＝0，
x﹣5＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝5，x2＝2，
当等腰△ABC的边长分别为5、5、2时，△ABC的周长为5+5+2＝12；
当等腰△ABC的边长分别为5、5、5时，△ABC的周长为5+5+5＝15；
当等腰△ABC的边长分别为2、2、2时，△ABC的周长为2+2+2＝6，
综上所述，△ABC的周长为6或12或15．
故选：D．
7．（3分）某校为落实作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理工作有关要求，随机抽查了部分学生每天的睡眠时间，制定如下统计表．
睡眠时间/h
6
7
8
9
人数
10
20
15
4
则所抽查学生每天睡眠时间的平均数约为（ ）
A．7h B．7.3h C．7.5h D．8h
【解答】解：学生每天睡眠时间的平均数＝≈7.3（h），
故选：B．
8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，连接BD，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF分别交线段AB，BD于点G，H．连接CH，则四边形BCHG的周长为（ ）
A． B．11 C． D．
【解答】解：由作法得：EF垂直平分BD，
则：BH＝DH，HG⊥BD，
在矩形ABCD中，∠A＝90°，CH＝BD，
∴BD＝5，
∴BH＝2.5，
∵∠A＝∠BHG，∠ABD＝∠ABD，
∴△BGH～△BDA，
∴，即：，
解得：GH＝1.875，BG＝3.125，
所以四边形BCHG的周长为：3.125+1.875+2.5+3＝105，
故选：A．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A（2，﹣2），D（4，﹣2），规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（ ）
A．（﹣3，2026） B．（3，2026） C．（﹣3，﹣2026） D．（3，﹣2026）
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，A（2，﹣2），D（4，﹣2），
∴AB＝AD＝4﹣2＝2，
∴C（4，﹣4），
∵点A（2，﹣2）、点C（4，﹣4）关于正方形ABCD的中心对称，
∴正方形ABCD的中心的坐标为（3，﹣3），
∵把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，
∴经过一次变换，正方形ABCD的中心的坐标为（﹣3，﹣4），
经过二次变换，正方形ABCD的中心的坐标为（3，﹣5），
……
经过n次变换，正方形ABCD的中心的横坐标为（﹣1）n×3，纵坐标为﹣3﹣n，
当n＝2023时，（﹣1）n×3＝（﹣1）2023×3＝﹣3，﹣3﹣n＝﹣3﹣2023＝﹣2026，
∴这样连续经过2023次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（﹣3，﹣2026），
故选：C．
10．（3分）如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线做匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；当P在上运动时，∠APB不变；当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣1 ．
【解答】解：由题意可得x2﹣1＝0且x﹣1≠0，
解得x＝﹣1．
故答案为﹣1．
12．（3分）请你写出一个函数，使其过点（0，2），且使得当自变量x＞0时，函数y随x增大而增大，则这个函数的解析式可以是 y＝x+1（答案不唯一） ．
【解答】解：∵经过点（0，2），且使得当自变量x＞0时，函数y随x的增大而增大，
∴只要一次函数k＞0，且过点（0，2）就符合题意，
∴y＝x+2（答案不唯一）．
故答案为：y＝x+2（答案不唯一）．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB．若OA＝OB，则k的值为 ﹣ ．
【解答】解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F．
∵OA⊥OB，
∴∠BOE+∠AOF＝90°．
又∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE，
∴△OAF∽△BOE．
∴，
∵OA＝OB，
∴，
∴＝，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴S△A0F＝1，
∴．
又点B在反比例函数y＝的图象上，且点B在第二象限，
∴k＝﹣．
故答案是：﹣．
14．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，如图AB＜BC，以点C为圆心，CB的长为半径的圆分别交AD边于点E，交CD边的延长线于点F．若AE＝DF，的长为π，则DE的长为 2 ．
【解答】解：连接CE，则CB＝CE＝CF，
设CB＝R，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CE＝CF＝DA，
∵AE＝DF，
∴DE＝DC，
∴DCE＝45°，
∵的长为π，
∴＝π，
解得R＝4，
在Rt△DCE中，
DE＝CE•sin 45°＝4×B＝2．
故答案为：2．
15．（3分）在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，∠BED的平分线交直线CD于点F．若AB＝6，CF＝2，则BC＝ 4+2或8 ．
【解答】解：①延长EF交BC点G，设CG＝x，如图1所示：
∵∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵AD∥BC，
∴∠CBE＝∠BEA，∠G＝∠DEF，
∴∠ABE＝∠BEA，
∴AB＝AE，
∵AB＝6，
∴AE＝6，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：，
∴BE＝6，BG＝6，
在△DEF和△CFG中，
，
∴△DEF∽△CFG（AA），
∴，
∵CF＝2，CF+DF＝CD＝AB，
∴DF＝4，
∴ED＝2x，
∵AD＝BC，AD＝AE+DE，
∴BC＝6+2x，
∵BG＝BC+CG，
∴BG＝6+2x+x＝6+3x，
∴6+3x＝6，
解得：x＝2﹣2，
∴BC＝2（2﹣2）+6＝4+2；
②延长EH交DC的延长线于点F，设CH＝y，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC
∴∠2＝∠3，∠CBE＝∠AEB，
∵BF平分∠BED，
∴∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴BE＝BH，
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
在Rt△ABE中，AB＝6，由勾股定理得：
＝6，
∴BH＝6；
∵CH∥ED，
∴△FCH∽△FDE，
∴，
∵CF＝2，CH＝y，
∴DE＝4y，
∵AD＝BC，AD＝AE+DE，BC＝BH+CH，
∴6+4y＝6+y，
解得：y＝2﹣2，
∴BC＝8﹣2；
故答案为：2+1或8．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（10分）（1）计算：﹣（3﹣）0+3﹣1；
（2）化简：÷．
【解答】解：（1）原式＝4﹣1+
＝3．
（2）原式＝•
＝
＝．
17．（9分）2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下：
a．成绩频数分布表：
成绩x（分）
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
频数
7
9
12
16
6
b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，成绩的中位数是 78.5 分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 44% ．
（2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由．
（3）请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
【解答】解：（1）这次测试成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据的平均数为＝78.5（分），
所以这组数据的中位数是78.5分，
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为×100%＝44%，
故答案为：78.5，44%；
（2）不正确，
因为甲的成绩77分低于中位数78.5分，
所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；
（3）测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好（答案不唯一，合理均可）．
18．（9分）如图，已知在平面直角坐标系中，点B（6，8）在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点B作BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB向右平移，得到△O′A′B′，O′B′交双曲线于点C（3a，a）．
（1）k＝ 48 ，a＝ 4 ；
（2）求△OAB向右平移的距离；
（3）连接BC，OC，则△OBC的面积为 36 ．
【解答】解：（1）∵点B坐标是（6，8），点B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝6×8＝48，
∴反比例函数为y＝，
∵双曲线经过点C （3a，a）．
∴a＝，
解得a＝4（负数舍去）；
故答案为：48，4；
（2）如图，过点C作CM⊥x轴于M，
∵a＝4，
∴C（12，4），
∴OM＝12，CM＝4，
∵点B坐标是（6，8），BA⊥x轴于点A，
∴A（6，0），O′A′＝OA＝6，A′B′＝AB＝8，
∴C是O′B′的中点，
∴A′M＝3，
∴A′（15，0），
∴OO'＝15﹣6＝9，
∴△OAB向右平移到△O′A′B′的距离为9；
（3）∵BA⊥x轴于点A，CM⊥x轴于M，
∴S△AOB＝S△COM＝|k|，
∴S△BOC＝S△AOB+S梯形ABCM﹣S△COM＝S梯形ABCM，
∴S△BOC＝（4+8）×6＝36．
故答案为：36．
19．（9分）如图，某校为检测师生体温，在校门口安装一台测量体温的红外线测温仪．已知测温仪A距地面2.74m，为了了解测温仪的有效测温区间，陈师傅做了如下实验：当他走到F处时，测温仪开始显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为24°；当他走到E处时，测温仪停止显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为45°．若CF＝1.75m，求有效测温区间EF的长度．（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
【解答】解：如图，延长CB交AD于点G，则GD＝CF．
∴AG＝AD﹣CF＝2.74﹣1.75＝0.99（m）．
在Rt△AGC中，（m），
在Rt△AGB中，（m），
∴BC＝CG﹣BG＝2.2﹣0.99＝1.21（m），
∴EF＝BC＝1.21（m）．
答：有效测温区间EF的长度约为1.21m．
20．（9分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上的一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，点E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝8，求AD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，
∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
即∠ODF＝90°，
∴半径OD⊥DF，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝4，
∴DE＝BE＝4，
∴DF＝12，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝12．
21．（9分）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办了“坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做准备．已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓球拍和3副羽毛球拍共需要420元．
（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？
（2）已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副．现商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案B：按总价的八折付款．试说明选择哪种购买方案更实惠．
【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球需y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元．
（2）设购买m（0＜m≤20且m为整数）副羽毛球拍，则选择方案A所需总费用为70m+35（80﹣m）＝2800（元），选项方案B所需总费用为80%×[70m+35（80﹣m）]＝（28m+2240）（元）．
当2800＞28m+2240时，
m＜20，
∵m＞0，
∴0＜m＜20；
当2800＝28m+2240时，
m＝20；
当2800＜28m+2240时，
m＞20，
∵m≤40，
∴20＜m≤40．
答：当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案B更实惠；当当购买羽毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠．
22．（10分）如图，抛物线y＝x2+mx与直线y＝﹣x+b相交于点A（4，0）和点B．
（1）m＝ ﹣4 ，b＝ 4 ．
（2）求点B的坐标，并结合图象写出不等式x2+mx＞﹣x+b的解集；
（3）点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移8个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝16+4m，解得：m＝﹣4，
将点A的坐标代入直线表达式得：0＝﹣4+b，解得b＝4；
故m＝﹣4，b＝4，
故答案为：﹣4，4；
（2）由（1）得，直线和抛物线的表达式为：y＝﹣x+4，y＝x2﹣4x，
联立上述两个函数表达式并解得或（不符合题意，舍去），
即点B的坐标为（﹣1，5），
从图象看，不等式 x2+mx＞﹣x+b 的解集为x＜﹣1或x＞4；
（3）当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
∵M，N的距离为5，而A、B的水平距离是5，故此时只有一个交点，即﹣1≤xM＜4；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当 xM＝5时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（2，﹣4），即xM＝5时，线段MN与抛物线只有一个公共点，
综上所述，﹣1≤xM＜4或xM＝5．
23．（10分）定义：如果一个四边形的两条对角线相等且相互垂直，则称这个四边形为“等垂四边形”．
如图1，四边形ABCD中，若AC＝BD，AC⊥BD，则称四边形ABCD为“等垂四边形．根据等垂四边形对角线互相垂直的特征可得等垂四边形的一个重要性质：等垂四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息解答下列问题：
（1）矩形 不是 “等垂四边形”（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，若⊙O的半径为6，∠ADC＝60°，求四边形ABCD的面积；
（3）如图3，已知⊙O的内接四边形ABCD是等垂四边形，作OM⊥AD于M．请猜想OM与BC的数量关系，并证明你的结论．
【解答】解：（1）矩形的对角线相等，不一定垂直，所以矩形不一定是等垂四边形．
故答案为：不是；
（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H．
在△AOH中，∠AOH＝∠ADC＝60°，OA＝6
∴AH＝3
∴AC＝2AH＝6
∵四边形ABCD是等垂四边形
∴AC＝BD＝6
∴S四边形ABCD＝•AC•BD＝××6＝54．
（3）连接OA，OB，OC，OD，过O作OE⊥BC于E，
显然∠BOE＝∠BAC，∠AOM＝∠ABD
∵BD⊥AC
∴∠ABD+∠BAC＝90°．
∵∠AOM+∠OAM＝90°
∴∠OAM＝∠BOE
在△OAM中与△BOE中
，
∴△OAM≌△BOE
∴OM＝BE
∵BE＝BC，
∴OM＝BC．
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