2021年四川省内江市中考数学真题试卷【含答案】

2021年四川省内江市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）的绝对值是　　

A．2021 B． C． D．

2．（3分）从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长以上，其中4000亿用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

3．（3分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是　　

A． B． 

C． D．

4．（3分）某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121．这组数据的众数和中位数分别是　　

A．152，134 B．146，146 C．146，140 D．152，140

5．（3分）如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

6．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

7．（3分）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是　　

A． B． C． D．

8．（3分）函数中，自变量的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

9．（3分）如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为　　

A．4 B． C．3 D．

10．（3分）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　　

A． B． C． D．

11．（3分）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为　　

A． B． C． D．

12．（3分）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为　　

A． B． C． D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）分解因式：　　．

14．（5分）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 　　．

15．（5分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 　　．

16．（5分）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 　　．

三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）

17．（7分）计算：．

18．（9分）如图，点、、、在同一条直线上，，，．

求证：（1）；

（2）四边形是平行四边形．

19．（9分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题

（1）这次被调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？

（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

20．（9分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；

（3）若点在线段上，且，求点的坐标．

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）

22．（6分）若实数满足，则　　．

23．（6分）已知，在中，，，，则的面积为 　　．

24．（6分）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 　　．

25．（6分）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 　　．

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）

26．（12分）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：

若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．

（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；

（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

27．（12分）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；

（3）连结，在（2）的条件下，求的长．

28．（12分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；

（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；

（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

2021年四川省内江市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）的绝对值是　　

A．2021 B． C． D．

【解答】解：的绝对值是2021，

故选：．

2．（3分）从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长以上，其中4000亿用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

【解答】解：4000亿，

故选：．

3．（3分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：．圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图是一个圆形，不符合题意；

．圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），不符合题意；

．长方体的三视图都是长方形，但这些矩形的长与宽不尽相同，不符合题意；

．球的三视图都是大小相同的圆，符合题意．

故选：．

4．（3分）某中学七（1）班的6位同学在课间体育活动时进行一分钟跳绳比赛，成绩（单位：个）如下：122，146，134，146，152，121．这组数据的众数和中位数分别是　　

A．152，134 B．146，146 C．146，140 D．152，140

【解答】解：出现了2次，出现的次数最多，

这组数据的众数是146个；

把这些数从小到大排列为：121，122，134，146，146，152，

则中位数是（个．

故选：．

5．（3分）如图，，，，则的度数为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，

，，，

，

，

．

故选：．

6．（3分）下列计算正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、与不是同类项，故不符合题意．

、原式，故符合题意．

、原式，故不符合题意．

、原式，故不符合题意．

故选：．

7．（3分）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是　　

A． B． C． D．

【解答】解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，

解得：．

故这栋高楼的高度为36米．

故选：．

8．（3分）函数中，自变量的取值范围是　　

A． B．且 C． D．且

【解答】解：由题意得：，，

解得：且，

故选：．

9．（3分）如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为　　

A．4 B． C．3 D．

【解答】解：过点作，交于点，

是的外接圆，，

，

又，，

，，

在中，，

，，

，

故选：．

10．（3分）某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，已知两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设每次降价的百分率为，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

故选：．

11．（3分）如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得△；再分别取△三边的中点，，，得△；这样依次下去，经过第2021次操作后得△，则△的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：点，分别为，的中点，

，

点，分别为，的中点，

，

，

，

△的面积，

故选：．

12．（3分）如图，菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接、，

四边形是菱形，

，

菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上，

与、与关于原点对称，

、经过点，

，

，

，

作轴于，轴于，

，

，

，

，

，

，

，

故选：．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）分解因式：　　．

【解答】解：原式

，

故答案为：．

14．（5分）有背面完全相同，正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的卡片5张，现正面朝下放置在桌面上，将其混合后，并从中随机抽取一张，则抽中正面的图形一定是轴对称图形的卡片的概率为 　　．

【解答】解：卡片中，轴对称图形有等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形，

根据概率公式，（轴对称图形）．

故答案为．

15．（5分）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 　且　．

【解答】解：根据题意得且△，

解得且．

故答案为且．

16．（5分）如图，矩形中，，，对角线的垂直平分线交于点、交于点，则线段的长为 　　．

【解答】解：四边形是矩形，

，又，，

，

是的垂直平分线，

，，又，

，

，

，

解得，，

四边形是矩形，

，，

，

是的垂直平分线，

，，

在和中，

，

，

，

．

故答案为：．

三、解答题（本大题共5小题，共44分。解答应写出必要的文字说明或推演步骤）

17．（7分）计算：．

【解答】解：原式

．

18．（9分）如图，点、、、在同一条直线上，，，．

求证：（1）；

（2）四边形是平行四边形．

【解答】证明：（1），

，

即，

，

，

在与中，

，

；

（2）由（1）得：，

，，

，

，

四边形是平行四边形．

19．（9分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题

（1）这次被调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？

（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；

（2）喜爱“体育”的人数为（名，

补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；

（4）列表如下：

所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，

所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．

20．（9分）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

【解答】解：作于点，设米，

在中，，

则（米，

在直角中，米，

在直角中，，

米．

，即．

解得：，

则米．

答：的高度是米．

21．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像相交于、两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）根据图象，直接写出满足的的取值范围；

（3）若点在线段上，且，求点的坐标．

【解答】解：（1）反比例函数经过，

，

反比例函数为，

在比例函数的图象上，

，

，

直线经过，，

，解得，

一次函数的解析式为；

（2）观察图象，的的取值范围是或；

（3）设，

，

，

即，

，

解得，（舍去），

点坐标为，．

四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分.）

22．（6分）若实数满足，则　2020　．

【解答】解：，

，，

．

故答案为2020．

23．（6分）已知，在中，，，，则的面积为 　2或14　．

【解答】解：过点作边的高，

中，，，

，

在中，，

，

①是钝角三角形时，

，

；

②是锐角三角形时，

，

，

故答案为：2或14．

24．（6分）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 　　．

【解答】解：设，则，，，

．

，，为非负实数，

，

解得：．

当时，取最大值，当时，取最小值．

，

．

．

25．（6分）如图，矩形，，，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上．当点在轴上运动时，点也随之在轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大距离为 　　．

【解答】解：如图，取的中点，连接，，

矩形，，，

，，

点是的中点，

，

，

，点是的中点，

，

在中，，

当点在上时，，

的最大值为，

故答案为：．

五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分.）

26．（12分）为迎接“五一”小长假购物高潮，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种衬衫，其中甲、乙两种衬衫的进价和售价如下表：

若用3000元购进甲种衬衫的数量与用2700元购进乙种衬衫的数量相同．

（1）求甲、乙两种衬衫每件的进价；

（2）要使购进的甲、乙两种衬衫共300件的总利润不少于34000元，且不超过34700元，问该专卖店有几种进货方案；

（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种衬衫进行优惠促销活动，决定对甲种衬衫每件优惠元出售，乙种衬衫售价不变，那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？

【解答】解：（1）依题意得：，

整理，得：，

解得：，

经检验，是原方程的根，

答：甲种衬衫每件进价100元，乙种衬衫每件进价90元；

（2）设购进甲种衬衫件，乙种衬衫件，

根据题意得：，

解得：，

为整数，，

答：共有11种进货方案；

（3）设总利润为，则

，

①当时，，随的增大而增大，

当时，最大，

此时应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；

②当时，，，

（2）中所有方案获利都一样；

③当时，，随的增大而减小，

当时，最大，

此时应购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．

综上：当时，应购进甲种衬衫110件，乙种衬衫190件；当时，（2）中所有方案获利都一样；当时，购进甲种衬衫100件，乙种衬衫200件．

27．（12分）如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连结、交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若，的半径为2，求阴影部分的面积；

（3）连结，在（2）的条件下，求的长．

【解答】（1）证明：如图，连接，

，

，

，

，

，

，

，

，

是的半径，

是的切线；

（2）解：，

，

，

，的半径为2，

，

，

如图，连接，

是的直径，，

，

，

，

，

即，

，

在中，，

，

，，

，

，

，

；

（3）如图，过点作于点，连接，

在中，，，

，

．

28．（12分）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；

（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；

（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

【解答】解：（1）抛物线与轴交于、两点，

设抛物线的解析式为，

解得，，或，

在抛物线上，

，

解得，

抛物线的解析式为，

直线经过、，

设直线的解析式为，

则，

解得，，

直线的解析式为；

（2）如图1中，过点作轴交于点．设，则．

，

的值最大值时，的面积最大，

，

，

时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，．

（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，则，

设交轴于点，则，

，

直线的解析式为，

，

作点关于的对称点，

则直线的解析式为，

设交轴于点，则，

，

综上所述，满足条件的点的坐标为或．