2022年四川省广元市中考数学真题【含答案】

这是一份2022年四川省广元市中考数学真题【含答案】，共36页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．（3分）若实数a的相反数是﹣3，则a等于（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．3
2．（3分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　）


A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2
C．3y•2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
4．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
5．（3分）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝+10
6．（3分）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　）

A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是8
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．65°
8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）

A． B．3 C．2 D．
9．（3分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a3﹣4a＝　 　．
12．（4分）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为 　 　．
13．（4分）一个袋中装有a个红球，10个黄球，b个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么a与b的关系是 　 　．
14．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 　 　．

15．（4分）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 　 　．

16．（4分）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 　 　cm．

三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（6分）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
18．（8分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．

20．（9分）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 　 　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 　 　；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．


21．（9分）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．

23．（10分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
24．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

25．（12分）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．
（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　 　；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．


26．（14分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．


2022年四川省广元市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．（3分）若实数a的相反数是﹣3，则a等于（　　）
A．﹣3 B．0 C． D．3
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【解答】解：﹣3的相反数是3，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
2．（3分）如图是某几何体的展开图，该几何体是（　　）


A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
【分析】根据由两个圆和一个长方形可以围成圆柱得出结论即可．
【解答】解：由两个圆和一个长方形可以围成圆柱，
故选：B．
【点评】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握基本几何体的展开图是解题的关键．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．x2+x＝x3 B．（﹣3x）2＝6x2
C．3y•2x2y＝6x2y2 D．（x﹣2y）（x+2y）＝x2﹣2y2
【分析】根据合并同类项判断A选项；根据幂的乘方与积的乘方判断B选项；根据单项式乘单项式判断C选项；根据平方差公式判断D选项．
【解答】解：A选项，x2与x不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝9x2，故该选项不符合题意；
C选项，原式＝6x2y2，故该选项符合题意；
D选项，原式＝x2﹣（2y）2＝x2﹣4y2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，平方差公式，掌握单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是解题的关键．
4．（3分）如图，直线a∥b，将三角尺直角顶点放在直线b上，若∠1＝50°，则∠2的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可．
【解答】解：由图可知，∠3＝180°﹣90°﹣∠1＝180°﹣90°﹣50°＝40°，

∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝40°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及互余的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
5．（3分）某药店在今年3月份购进了一批口罩，这批口罩包括一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同，其中一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元，那么一次性医用外科口罩的单价为多少元？设一次性医用外科口罩单价为x元，则列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝+10
【分析】设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，利用数量＝总价÷单价，结合购进两种口罩的只数相同，即可得出关于x的分式方程．
【解答】解：设该药店购进的一次性医用外科口罩的单价是x元，则购进N95口罩的单价是（x+10）元，
依题意得：＝，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．（3分）如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图．下列结论正确的是（　　）

A．平均数是6 B．众数是7 C．中位数是11 D．方差是8
【分析】根据图中数据分别求出平均数、众数、中位数及方差即可得出结论．
【解答】解：由题意知，
平均数为：＝7，
众数为：3、5、7、9、11；
中位数为：7；
方差为：＝8；
故选：D．
【点评】本题主要考查平均数、众数、中位数及方差的概念，熟练掌握平均数、众数、中位数及方差的概念是解题的关键．
7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．65°
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝65°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，
∴∠ADC＝∠ABC＝25°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　）

A． B．3 C．2 D．
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用相似三角形的性质求出AE即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∵BD＝CB＝6，
∴AD＝AB＝BC＝4，
由作图可知EF垂直平分线段AD，
∴AF＝DF＝2，
∵∠A＝∠A，∠AFE＝∠ACB＝90°，
∴△AFE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以sin∠APC＝sin∠EDC即可得答案．
【解答】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．
则DE∥AB，
∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC＝＝，DC＝＝2，DE＝＝5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE为直角三角形，∠DCE＝90°．
∴sin∠APC＝sin∠EDC＝＝，
∴cos∠APC＝＝．
故选：B．

【点评】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A（﹣2，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）4a+2b≥m（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与y轴的交点，可得a＜0，b＞0，c＞0，由对称轴为直线x＝2，可得b＝﹣4a，当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c＝0，c＝﹣5a；再由a＜0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以（1）正确；
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∴b+4a＝0，
∴b＝﹣4a，
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，
∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，
∵a＜0，
∴4a+c﹣2b＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）不正确；
∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；
∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣2|＝，|﹣2|＝，
∴y1＜y2＝y3，故（4）不正确；
当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（5），共3个，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（4分）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为 　3.4×10﹣10　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10．
故答案为：3.4×10﹣10．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（4分）一个袋中装有a个红球，10个黄球，b个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么a与b的关系是 　a+b＝10　．
【分析】根据任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，可知摸到黄球的概率为0.5，从而可以求出袋中球的总数，然后即可计算出a和b的关系．
【解答】解：∵任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，
∴摸到黄球的概率为0.5，
∴袋中球的总数为：10÷0.5＝20，
∴a+b+10＝20，
∴a+b＝10，
故答案为：a+b＝10．
【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出袋中球的总数．
14．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 　　．

【分析】过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，根据将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，得到OC＝CD＝r，得到OC＝OA，得到∠OAC＝30°，进而证明△AOD是等边三角形，得到∠D＝60°，在Rt△AOC中根据勾股定理求出半径r，证明△ACD≌△BCO，可以将△BCO补到△ACD上，得到阴影部分的面积＝S扇形ADO，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点O作AB的垂线并延长，垂足为C，交⊙O于点D，连结AO，AD，
根据垂径定理得：AC＝BC＝AB＝，
∵将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，
∴OC＝CD＝r，
∴OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∴∠AOD＝60°，
∵OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝60°，
在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，
∴（）2+（r）2＝r2，
解得：r＝2，
∵AC＝BC，∠OCB＝∠ACD＝90°，OC＝CD，
∴△ACD≌△BCO（SAS），
∴阴影部分的面积＝S扇形ADO＝×π×22＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了扇形面积的计算，垂径定理，翻折变换（折叠问题），在Rt△AOC中，根据OC＝OA，得到∠OAC＝30°是解题的关键．
15．（4分）如图，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在第二象限内，反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果△OAB的面积为6，那么k的值是 　﹣4　．

【分析】过B作BD⊥OA于D，设B（﹣m，n），根据三角形的面积公式得到OA＝，求得A（﹣，0），根据点C是AB的中点，可得C（﹣，），列方程即可得到结论．
【解答】解：过B作BD⊥OA于D，

∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴设B（﹣m，n），点B在第二象限内，
∵△OAB的面积为6，
∴OA＝，
∴A（﹣，0），
∵点C是AB的中点，
∴C（﹣，），
∵点C在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣•＝﹣mn，
∴﹣mn＝﹣4，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式，中点坐标的求法，正确的理解题意是解题的关键．
16．（4分）如图，直尺AB垂直竖立在水平面上，将一个含45°角的直角三角板CDE的斜边DE靠在直尺的一边AB上，使点E与点A重合，DE＝12cm．当点D沿DA方向滑动时，点E同时从点A出发沿射线AF方向滑动．当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为 　（24﹣12）　cm．

【分析】当点D沿DA方向下滑时，得△E'C'D'，过点C'作C'N⊥AD于点N，作C'M⊥AF于点M．证明C′N＝C′M，推出AC′平分∠BAF，推出点C在射线AC′上运动，当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12，当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′．
【解答】解：当点D沿DA方向下滑时，得△E'C'D'，过点C'作C'N⊥AD于点N，作C'M⊥AF于点M．

∵DE＝12cm，CD＝CE，∠ACE＝90°，
∴CD＝CE＝6cm，
∵∠MAN＝∠C′NA＝∠C′MA＝90°，
∴四边形AMC′N是矩形，
∴∠MC′N＝∠D′C′E′＝90°，
∴∠D′C′N＝∠E′C′M，
∵C′D′＝C′E′，∠C′ND′＝∠C′ME′＝90°，
∴△C′ND′≌△C′ME′（AAS），
∴C′N＝C′M，
∵C′N⊥DA，C′M⊥AF，
∴AC′平分∠BAF，
∴点C在射线AC′上运动，
当C′D′⊥AD时，AC′的值最大，最大值为12cm，
当点D滑动到点A时，点C运动的路径长为2CC′＝2（12﹣6）＝（24﹣12）cm．
故答案为：（24﹣12）．
【点评】本题考查点的运动轨迹，熟练掌握直角三角形、正方形的性质，能够根据点的运动确定D点的运动轨迹是线段是解题的关键．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（6分）计算：2sin60°﹣|﹣2|+（π﹣）0﹣+（﹣）﹣2．
【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，二次根式的化简，负整数指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝2×+﹣2+1﹣2+
＝+﹣2+1﹣2+4
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，掌握a﹣p＝（a≠0）是解题的关键．
18．（8分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
【分析】小括号内通分，因式分解，除法转化为乘法，约分即可；求出不等式组的解集，得到整数解，再根据分式有意义的条件得到x只能取2，代入求值即可．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝，
解第一个不等式得：x＜3，
解第二个不等式得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x的值为﹣1，0，1，2，
∵x≠0，x+1≠0，（x+1）（x﹣1）≠0，x（x﹣1）≠0，
∴x只能取2，
当x＝2时，
原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，根据分式有意义的条件得到x只能取2是解题的关键．
19．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．
（1）求证：四边形AECD为菱形；
（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．

【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形AECD是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质可证AD＝CD，可得结论；
（2）由菱形的性质可求AE＝BE＝CE＝2，由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求BC，AC的长，即可求解．
【解答】（1）证明：∵E为AB中点，
∴AB＝2AE＝2BE，
∵AB＝2CD，
∴CD＝AE，
又∵AE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形AECD是菱形；
（2）∵四边形AECD是菱形，∠D＝120°，
∴AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，
∴AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，
∴∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，
∴BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
20．（9分）为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）八年级（1）班学生总人数是 　40　人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 　90°　；
（2）明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．


【分析】（1）根据选A的人数和所占的百分比，可以计算出八年级（1）班学生总人数，然后即可计算出选择C的人数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据条形统计图中的数据，可以计算出扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数；
（2）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
（3）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求得恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【解答】解：（1）八年级（1）班学生总人数是：12÷30%＝40，
选择C的学生有：40﹣12﹣14﹣4＝10（人），
扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为：360°×＝90°，
故答案为：40，90°，
补全的条形统计图如右图所示；
（2）2500×＝1625（人），
答：估算该校参与体育类和美术类社团的学生有1625人；
（3）设男生用A表示，女生有B表示，
树状图如下所示：

由上可得，存在12种可能性，其中恰好选中1名男生和1名女生的可能性有8种，
故恰好选中1名男生和1名女生的概率是＝．

【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（9分）如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．

【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，设EH＝x米，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，再在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，从而求出AH，EH的长，最后在Rt△AHD中，利用锐角三角函数的定义求出DH的长，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AH⊥DE，垂足为H，

设EH＝x米，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH•tan45°＝x（米），
∵CE＝80米，
∴CH＝CE+EH＝（80+x）米，
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝40+40，
经检验：x＝40+40是原方程的根，
∴AH＝EH＝（40+40）米，
在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，
∴DH＝＝（40+40）米，
∴EF＝EH+DH﹣DF＝（80+70）米，
∴隧道EF的长度为（80+70）米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x+b的图象与函数y＝（x＞0）的图象相交于点B（1，6），并与x轴交于点A．点C是线段AB上一点，△OAC与△OAB的面积比为2：3．
（1）求k和b的值；
（2）若将△OAC绕点O顺时针旋转，使点C的对应点C′落在x轴正半轴上，得到△OA′C′，判断点A′是否在函数y＝（x＞0）的图象上，并说明理由．

【分析】（1）将B（1，6）代入y＝x+b可求出b的值；再将B（1，6）代入y＝可求出k的值；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，先求出点C的坐标，再由旋转的性质和三角形面积、勾股定理求出点A'的坐标，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵函数y＝x+b的图像与函数y＝（x＞0）的图像相交于点B（1，6），
∴6＝1+b，6＝，
∴b＝5，k＝6；
（2）点A′不在函数y＝（x＞0）的图像上，理由如下：
过点C作CM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过A'作A'G⊥x轴于G，
∵点B（1，6），
∴ON＝1，BN＝6，
∵△OAC与△OAB的面积比为2：3，
∴＝＝，
∴＝，
∴CM＝BN＝4，
即点C的纵坐标为4，
把y＝4代入y＝x+5得：x＝﹣1，
∴C（﹣1，4），
∴OC'＝OC＝＝＝，
∵y＝x+5中，当y＝0时，x＝﹣5，
∴OA＝5，
由旋转的性质得：△OAC≌△OA'C'，
∴OA•CM＝OC•A'G，
∴A'G＝＝＝
在Rt△A'OG中，OG＝＝＝，
∴点A'的坐标为（，），
∵×≠6，
∴点A′不在函数y＝（x＞0）的图像上．

【点评】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的面积，反比例函数的性质，旋转的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是能够熟练运用反比例函数的性质．
23．（10分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m）本，分30≤m≤40，40＜m≤50及50＜m≤60三种情况考虑，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征（或二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征），可求出w的取值范围，取其最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）设科技类图书的购买数量为m本，购买这两种图书的总金额为w元，则文学类图书的购买数量为（100﹣m）本．
①当30≤m≤40时，w＝38m+26（100﹣m）＝12m+2600，
∵12＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴2960≤w≤3080；
②当40＜m≤50时，w＝[38﹣（m﹣40）]m+26（100﹣m）＝﹣（m﹣26）2+3276，
∵﹣1＜0，
∴当m＞26时，w随m的增大而减小，
∴2700≤w＜3080；
③当50＜m≤60时，w＝[38﹣（50﹣40）]m+26（100﹣m）＝2m+2600，
∵2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴2700＜w≤2720．
综上，当30≤m≤60时，w的最小值为2700．
答：社区至少要准备2700元购书款．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分30≤m≤40，40＜m≤50及50＜m≤60三种情况，找出w关于m的函数关系式．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OD，CD，根据已知可得∠ACD+∠DCB＝90°，利用等腰三角形的性质可得∠OCD＝∠ODC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠CDB＝90°，从而利用直角三角形斜边上的中线可得DE＝CE，进而可得∠DCE＝∠CDE，然后可得∠ODC+∠CDE＝90°，即可解答；
（2）利用（1）的结论可证△ACB∽△ADC，从而利用相似三角形的性质可求出AC的长，即可解答．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，

∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝90°，
∵点E是边BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠DCE＝∠CDE，
∴∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AD＝4，BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝4+9＝13，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，∠A＝∠A，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB＝4×13＝52，
∴AC＝2，
∴⊙O的半径为．

【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线是解题的关键．
25．（12分）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CD，连接AD、BD．
（1）如图1，将线段CA绕点C逆时针旋转α，则∠ADB的度数为 　135°　；
（2）将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形，并求∠ADB的度数；
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F，交DA的延长线于点E，连结BE．用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系，并证明．


【分析】（1）根据旋转的性质可得CD＝CA＝CB，根据等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°﹣，∠BDC＝45°+，即可得∠ADB的度数；
（2）①依题意可补全图形，根据旋转的性质以及等腰三角形的性质即可求解；
②过点C作CG∥BD，交EB的延长线于点G，根据等腰三角形的性质可得出CE垂直平分BD，求出∠G＝∠EBD＝45°．可得EC＝CG，EG＝EC，证明△ACE≌△BCG，可得AE＝BG，根据线段的和差即可得出结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝BC，将线段CA绕点C旋转α（0°＜α＜90°），
∴CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，
∴∠BCD＝90°﹣α，
∵CD＝CA，CD＝CB，
∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°+，
∴∠ADB＝∠ADC+∠BDC＝90°﹣+45°+＝135°，
故答案为：135°；

（2）①依题意补全图形如图，

由旋得：CD＝CA＝CB，∠ACD＝α，
∴∠BCD＝90°+α，
∵CD＝CA，CD＝CB，
∴∠ADC＝＝90°﹣，∠BDC＝＝45°﹣，
∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝90°﹣﹣45°+＝45°；
②CE＝2BE﹣AD．
证明：过点C作CG∥BD，交EB的延长线于点G，

∵BC＝CD，CE平分∠BCD，
∴CE垂直平分BD，
∴BE＝DE，∠EFB＝90°，
由①知，∠ADB＝45°，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
∴∠FEB＝45°，
∵BD∥CG，
∴∠ECG＝∠EFB＝90°，∠G＝∠EBD＝45°，
∴EC＝CG，EG＝EC，
∵∠ACE＝90°﹣∠ECB，∠BCG＝90°﹣∠ECB，
∴∠ACE＝∠BCG，
∵AC＝BC，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴AE＝BG，
∵EG＝EB+BG＝EB+AE＝EB+ED﹣AD＝2EB﹣AD，
∴CE＝2BE﹣AD．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26．（14分）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．
（1）求a，b满足的关系式及c的值；
（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；
（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．

【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；
（2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答；
（3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答．
【解答】解：（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，
∴B（0，﹣2），
当y＝0时，﹣x﹣2＝0，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，
，
∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；
（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，

∴b＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x＝1，
由对称性可得C（4，0），
要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，
如图1，连接BC交直线x＝1于点P，
因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，
此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，
Rt△AOB中，AB＝＝＝2，
Rt△BOC中，BC＝＝＝2，
∴△ABP周长的最小值为2+2；
（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，
∴b＝1，
∴y＝x2+x﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），
∴OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝45°，
如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，

设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），
∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，
∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，
当m＝﹣1时，QD有最大值是，
当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣1＝﹣2，
综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．