2021-2022学年上海市徐汇中学高一年级下册学期4月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市徐汇中学高一下学期4月月考数学试题

一、填空题

1．设是角终边上的一个点，若，则=_______

【答案】

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值．

【详解】解：∵是角终边上的一个点，

若，则，

故答案为．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

2．若则________________

【答案】

【分析】根据题意，然后根据诱导公式对上式进行变形即可得到，即可求得答案

【详解】，

则

故答案为

【点睛】本题是一道有关三角函数的题目，解答本题的关键是掌握诱导公式，属于基础题．

3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．

【答案】二

【分析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限．

【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，

则角α的终边在第二象限，

故答案为二．

点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号．

4．设，则可以用a表示为__________．

【答案】

【分析】先根据诱导公式表示出的值，然后根据同角三角比的关系求解出的值.

【详解】因为，所以，

所以，所以，

所以，

故答案为：.

5．已知，则__．

【答案】

【分析】根据半角公式或二倍角公式变形即可求解.

【详解】依题意，

．

故答案为：.

6．方程在区间内的解是________．

【答案】

【分析】利用特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】因为，所以，

或，，

即或，，

，，

故答案为：.

7．把化成的形式是________．

【答案】

【分析】利用辅助角公式即可求解.

【详解】.

故答案为：

8．化简：__．

【答案】

【分析】利用倍角公式与同角三角函数关系式即可求解.

【详解】依题意，

．

故答案为：.

9．已知，且，则的值为________．

【答案】

【分析】由倍角公式和两角差的正弦公式化简原式得，再根据可求得，从而求得结果.

【详解】

，

由，平方得，

得，，

由于，，

代入得.

故答案为：

10．关于x的方程有解，则实数m的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据辅助角公式以及正弦函数的值域即可求出.

【详解】由可得，当时，显然方程无解，当时，，所以，解得．

故答案为：．

11．设、，且，则的最小值等于________

【答案】

【详解】 由三角函数的性质可知，，

 所以，即，

 所以，

 所以.

12．在角、、、…、的终边上分别有一点、、、…、，如果点的坐标为，，，则______．

【答案】

【解析】利用诱导公式将点的坐标变为，然后根据三角函数定义可得，再利用诱导公式及两角差的正弦即可得到结果.

【详解】，即

由三角函数定义知

=

.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查的是诱导公式，三角函数定义的理解和应用，两角和的正弦公式，考查学生的分析问题和解决问题的能力，是中档题.

二、单选题

13．“，”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由正切函数性质，应用定义法判断条件间充分、必要关系.

【详解】当，，则，

当时，，.

∴“，”是“”的充分不必要条件.

故选：A

14．已，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用余弦差角公式求出，然后再用同角三角函数关系求出，再用诱导公式与二倍角公式求解即可

【详解】，

，

则

故选：B

15．在中，如果，那么的形状为（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形

【答案】A

【分析】结合以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为，即，又，，所以与一正一负，故而得解.

【详解】解：，

，

，即与异号，

又，，

与一正一负，

为钝角三角形．

故选：A.

【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

16．矩形纸片中，将其按图的方法分割，并按图的方法焊接成扇形；按图的方法将宽 等分，把图中的每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形；按图的方法将宽 等分，把图中的每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形；……；依次将宽 等分，每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形.当时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为                                    

A．小于 B．等于 C．大于 D．大于

【答案】C

【详解】将宽BC n等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°．

故答案为C．

三、解答题

17．已知，求下列各式的值．

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】利用正切和差公式、诱导公式与弦切互化即可求解.

【详解】（1）因为，即，所以，

；

（2）

18．（1）已知，.求的值；

（2）已知，且，，求角的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）对两边平方可得，进而可知，以及，再根据余弦的二倍角和同角的基本关系，即可求出结果；

（2）由题意和同角的基本关系可知， ，又 ，根据余弦的两角差公式即可求出结果.

【详解】（1）因为，

所以，所以，

所以，即；

又，所以，所以，

又，所以，

所以；

所以；

（2）因为，，所以，

因为，，

所以，

所以，

所以

，

又，

所以.

19．设，且α，β满足

（1）求的值．

（2）求cos（α+β）的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）将等式5sinα+5cosα＝8左边提取10，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin（α）的值，由α的范围求出α的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cos（α）的值；（2）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin（β）的值，由β的范围求出β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（β）的值，将所求式子利用诱导公式sin（θ）＝cosθ变形，其中的角α+β变形为（α）+（β），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．

【详解】（1）∵5sinα+5cosα＝8，

∴10（sinαcosα）＝8，即sin（α），

∵α∈（0，），∴α∈（，），

∴cos（α）；

（2）又∵sinβcosβ＝2，

∴2（sinβcosβ）＝2，即sin（β），

∵β∈（，），∴β∈（，），

∴cos（β），

∴cos（α+β）＝sin[（α+β）]＝sin[（α）+（β）]

＝sin（α）cos（β）+cos（α）sin（β）

（）．

【点睛】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，是中档题

20．已知，且满足．

（1）求证：

（2）求的最大值，并求当取得最大值时的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）的最大值为，当取得最大值时．

【分析】（1）由可得：，利用同角三角函数的基本关系公式对式子化简变形，可得答案；

（2）由（1）中结论弦化切后，可将表示成的函数关系式，进而利用基本不等式得到的最大值，然后由条件可得，即可得到答案．

【详解】（1）

，

，

；

（2）由（1）得：，

，，

，

由，

可得：当时，取得最大值，

即；

所以．

21．在平面直角坐标系中，，是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆（圆心在坐标原点O）于A，B两点

（1）已知点A，将绕原点顺时针旋转到，求点B的坐标；

（2）若角为锐角，且终边绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，求的值；

（3）若A，B两点的纵坐标分别为正数a，b，且，求的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）。

【分析】（1）设点在角的终边上，根据任意角的三角函数的定义可得再根据题意可知点在角的终边上，且，根据诱导公式即可求出点的坐标；

（2）由题意利用任意角的三角函数的定义求得和的值，再利用两角和差的三角公式，求得要求式子的值；

（3）由题意，角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得，平方可得，再利用基本不等式，即可求出结果．

【详解】（1）设点在角的终边上，

又，则，

所以点在角的终边上，且，

所以点的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为.

（2）∵顶点在原点的锐角绕原点逆时针转过后，终边交单位圆于，

∴，且，求得，

则，，

则

．

（3）角和角一个在第一象限，另一个在第二象限，

不妨假设在第一象限，则在第二象限，

根据题意可得，且，

∴，，

∴，

即，平方可得，，当且仅当时，取等号．

∴，当且仅当时，取等号，故当时，取得最大值为．