2021-2022学年上海市吴淞区高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市吴淞区高一下学期3月月考数学试题

一、填空题

1．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，且终边经过点，则的值为________．

【答案】

【分析】根据三角函数的定义，直接求解.

【详解】由条件可知，，

则.

故答案为：

2．若幂函数的图象经过点，则的值等于_________.

【答案】

【解析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可求解.

【详解】设，函数图像经过，

可得，解得，

所以，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

3．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为____________.

【答案】

【分析】直接利用扇形面积公式得到答案.

【详解】

故答案为

【点睛】本题考查了扇形面积的计算，属于简单题.

4．已知x>0, 函数的值恒大于1，则实数的取值范围是_____________

【答案】或

【分析】根据指数函数的单调性可知，解不等式即可求得a的取值范围.

【详解】x>0, 函数的值恒大于1，

或.

故答案为：或.

【点睛】熟练掌握指数函数的图像与性质是解题的关键.

5．函数的反函数为__．

【答案】

【分析】根据反函数的定义即可求解.

【详解】当时，，

原函数的反函数为．

即原函数的反函数为．

故答案为：.

6．全集，，，则__．

【答案】

【分析】根据对数函数的单调性和指数函数的单调性和性质分别求出集合的具体范围，再利用集合的运算即可求解.

【详解】，，

，因为，则．

故答案为：.

7．已知，，则的值是__．

【答案】

【分析】根据同角的三角函数基本关系式和正弦的二倍角公式以及两角差的正弦公式即可求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

所以，

又，

所以，

所以．

故答案为：.

8．方程的解集为__．

【答案】

【分析】根据辅助角公式和余弦型函数的图象及性质即可求解.

【详解】因为，

所以，

所以，

又，

所以

所以或或

解得或或.

故解集为．

故答案为：．

9．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则△ABC的面积S＝_____．

【答案】

【分析】用余弦定理求出边的值，再用面积公式求面积即可．

【详解】解：据题设条件由余弦定理得，

即，

即解得，

故的面积，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题．

10．函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.

【答案】

【详解】作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.

故答案为

11．下列命题：

①终边在坐标轴上的角的集合是；

②若，则；

③当时，函数取得最大值，则；

④函数在区间上的值域为；

⑤方程在区间上有两个不同的实数解，则．

其中正确命题的序号为__．

【答案】①③⑤

【分析】取特殊值排除②④，终边在坐标轴上的角的集合是，①对，，，③对，画出图像，根据图像得到⑤正确，得到答案.

【详解】对①：终边在坐标轴上的角的集合是，故①对；

对②：由于当时，仍成立，但没意义，故②错；

对③：当时，函数，，取，取得最大值，则，则，故③对；

对④：当时，，故④错；

对⑤：令，则，在同一直角坐标系中作出，的图象和，使得两图象有两个交点，则得，即，所以，故⑤对；

故正确命题的序号为①③⑤．

故答案为：①③⑤

12．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的一个对称中心是_______．

【答案】

【详解】由题意，函数，设，则为上的奇函数，因此在上的最大值与最小值互为相反数，即，又，，所以，则函数，由三角函数性质可知，当时，函数有对称中心，即，解得，而，所以函数的一个对称中心为.

点睛：此题主要考查函数的奇偶性、最值、对称中心，以及三角函数值的运算等方面的知识与技能，属于中档题型，也是常考题.此题中需要对函数的解析式进行化简整理，观察其解析式是由常函数与奇函数加减而成，从而通过计算其中奇函数的最值，由其性质易知，奇函数的最大值与最小值互为相反函数，从而问题可得解.

二、单选题

13．“”是“”的（    ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】由，可得，分析即得解

【详解】由题意，若，则，即，故充分性成立；

反之，若，则，即，故必要性不成立；

故“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

14．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先计算，再计算，结合指数和对数运算，即可求得结果.

【详解】根据题意，因为.

故.

故选：A.

【点睛】本题考查求分段函数的函数值，涉及对数和指数运算，属综合基础题.

15．函数的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据分段函数和正弦函数余弦函数的单调性即可求解.

【详解】函数，

当时，函数的值域为，

当时，函数的值域为，

故函数的值域为．

故选:．

16．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，5]时，f（x）=2﹣|x﹣4|，

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：利用函数的周期性及x∈[3，5]时的表达式f（x）=2-|x-4|，可求得x∈[-1，1]时的表达式，从而可判断逐个选项的正误．

解：∵f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数，

又当x∈[3，5]时f（x）=2-|x-4|，∴当-1≤x≤1时，x+4∈[3，5]，∴f（x）=f（x+4）=2-|x|，

∴f(sin))=f()=-=f(cos ))，排除A，

 f（sin1）=2-sin1＜2-cos1=f（cos1）排除B，

 f(sin))=2-＜2-=f(cos )，D正确；

 f（sin2）=2-sin2＜2-（-cos2）=f（cos2）排除C．

故选：D

【解析】函数的周期性

点评：本题考查函数的周期性，难点在于求x∈[-1，1]时的表达式，属于中档题．

三、解答题

17．．已知都是锐角，，求的值.

【答案】

【分析】先根据已知求解，拆分角，结合两角差的正弦公式可求.

【详解】因为都是锐角，，

所以，，

所以

.

【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，这类问题一般是先根据角之间的关系，探求求解思路，拆分角是常用方法.

18．定义行列式运算，若．

(1)求的值；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据行列式运算的定义得到，利用求得答案；

(2)首先对函数化简，然后根据正弦函数的值域可知当时，函数取最大值；当时，函数取最小值，进而求出函数的值域.

【详解】（1）因为，

所以，则；

（2），

 故当时，；当时，，

所以函数的值域为．

19．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)设的三个角、、所对的边分别为，若，且，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式以及周期公式即可求解；

（2）根据函数求解角度A，再由正弦定理和诱导公式以及两角和与差的正弦公式即可求解.

【详解】（1）函数

函数的最小正周期为．

（2），

所以，

因为，

所以，

由正弦定理得，，

所以

，

因为，

所以，

所以，

所以，，

所以的取值范围为．

20．如图所示，是一块边长为7米的正方形铁皮，其中是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在与上的长方形铁皮，其中是弧上一点．设，长方形的面积为平方米．

(1)求关于的函数解析式；

(2)求的最大值及此时的值．

【答案】(1)

(2)的最大值为，此时

【分析】（1）延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可；

（2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质得出的最值.

【详解】（1）延长交于，延长交于，

由是正方形，是矩形，可知，，

由，可得，，，，

故关于的函数解析式为.

（2）由，可得，即，

．

又由，可得，故，

关于的表达式为．

又由，

可知当时，取最大值，故的最大值为，此时，即．

21．已知函数为奇函数．

(1)求的值；

(2)设函数存在零点，求实数的取值范围；

(3)若不等式在上恒成立，求实数最大值．

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）根据函数奇偶性代入表达式即可求解；（2）函数零点转为方程根的个数问题，再利用分离参数即可求解；（3）分析函数的单调性，再根据最值即可求解.

【详解】（1）因为为奇函数，

所以，

即，

即，

即，

即，；

当时，的奇函数，满足条件．

当时，不成立，

故．

（2）

函数的定义域为，

由解得，

函数存在零点，

即有解，

即有解，

因为，

所以或，

即或，

即实数的取值范围是或.

（3）若不等式在上恒成立，

即在上恒成立，

因为在上单调递减，

所以，

所以，

即实数最大值是.