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2023年陕西省榆林市第十中学中考数学二模试卷
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这是一份2023年陕西省榆林市第十中学中考数学二模试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省榆林十中中考数学二模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算：（x﹣2y）2＝（ ）
A．x2﹣2xy+4y2 B．x2+4y2 C．x2﹣4xy+4y2 D．x2﹣4y2
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
5．如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC＝4，则BE的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
6．已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数图象y＝﹣kx+b﹣1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠ABO＝29°，则∠BOC的度数（ ）
A．29° B．48° C．58° D．69°
8．将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
二.填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：x2﹣9＝ ．
10．若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为 ．（结果保留π）
11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就《九章算术》中有这样个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢白人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是 ．
12．如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，反比例函数的图象经过点B，若OC＝AC，则k的 ．
13．如图，已知▱ABCD的面积为32，点F在边BC上，且BF＝3CF，连接AF，点G在线段AF上，CF、CF为邻边向上作▱CEGF，连接BG、AE、BE，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共13题）
14．计算：（﹣1）2023+|1﹣|﹣．
15．解不等式组：．
16．计算：（﹣）÷．
17．如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法在矩形内部找一点P使得∠APB＝90°（要求：作出符题意的一点即可，保留作图痕迹，不写作法）．
18．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点O，求证：∠AFD＝∠CED．
19．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝1有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当k＝1时，求原方程的解．
20．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课开课，开设课程是问天实验舱介绍，毛细效应实验，水球变“懒”实验，太空趣味饮水，会调头的扳手等项目，某学校打算在5名学生（小明A、小刚B、小芳C、小丽D、小鹏E）中，通过抽签的方式确定2名学生对观看“天宫课堂”观后感进行分享诵读．抽签规则：将5名学生的名字分别写在5张完全相同的卡片正面，把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的四张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）第一次抽取卡片小明被抽中的概率是多少？
（2）请用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能结果，并求出小丽D被抽中的概率．
21．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
22．陕西省南北狭长，地域、气候类型多样，土地资源肥沃，物产丰富，有很多土特产，临潼石榴集中国石榴之优，历来是封建皇帝的贡品，享誉九州．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人”．已知每箱石榴的成本价为50元，经市场调研发现，该石榴的月销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当石榴的月销售量为150箱时，求该月的销售总利润．
23．为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了A（围棋社团）、B（书法社团）、C（ 唱社团）、D（剪纸社团）活动．该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是 ，条形统计图中m的值为 ；
（2）求扇形统计图中α的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BD；
（2）若CF＝2，tan∠BDE＝2，求⊙O的半径．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接AC，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
26．问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，CB＝10，则AB的长为 ；
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点P是矩形内部或边上一点，若以P、B、C为顶点的三角形是以CP为底边的等腰三角形，求P、D两点之间的最短距离；
问题解决
（3）如图3，西安昆明池也称“七夕公园“，源于汉武帝元狩三年，为训练水师，在长安斗门镇一带，开凿了昆明池，池中刻置石琼，两岸刻制牛郎、织女，以象征天河．设计师规划一块等腰直角三角形ABC区域种植玫瑰花和四分之一圆区域种植郁金香，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝50米，以B为圆心以BC长为半径画弧交AB延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接AP，过点C作CQ⊥CP交AP于点Q．为方便游人休息，设计师想在Q处建立一个亭子，从点D到点Q处修一条小路（亭子大小和路的宽度忽略不计），且满足点D到点Q的距离最小，这样的点Q是否存在，若存在，求DQ的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
【分析】应用有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，进行计算即可得出答案．
解：2×（﹣）＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则进行求解是解决本题的关键．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
3．计算：（x﹣2y）2＝（ ）
A．x2﹣2xy+4y2 B．x2+4y2 C．x2﹣4xy+4y2 D．x2﹣4y2
【分析】根据完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2计算即可．
解：（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
【分析】根据菱形的性质得到，∠DAO＝30°，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD的长即可得到答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴AD＝2OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2，
∴，
∴AD＝2，
∴菱形ABCD的周长为4AD＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
5．如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC＝4，则BE的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【分析】首先利用中线的性质可以求出△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
解：∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵△ABD的面积为5，
∴S△ABC＝2S△ABD＝10，
∵BE为△ABC的高线，AC＝4，
∴S△ABC＝×AC×BE＝×4×BE＝10，
∴BE＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．
6．已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数图象y＝﹣kx+b﹣1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题意，可得一次函数y＝kx+b经过一、三、四象限，则k＜0，b＜0，进一步可得﹣k＞0，b﹣1＜0，可得y＝﹣kx+b﹣1的图象经过第一、三、四象限，即可确定交点所在象限．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，
∴k＜0，b＜0，
∴﹣k＞0，b﹣1＜0，
则y＝﹣kx+b﹣1的图象经过第一、三、四象限，
∴两函数图象交点在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
7．如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠ABO＝29°，则∠BOC的度数（ ）
A．29° B．48° C．58° D．69°
【分析】根据平行线的性质，可得∠CAB＝∠ABO＝29°，进而根据同弧所对圆周角与圆心角的关系即可求解．
解：∵AC∥OB，
∴∠CAB＝∠ABO＝29°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝58°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握与圆有关的概念和性质．
8．将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式即可．
解：二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
则b＝4，c＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得出平移后解析式是解题关键．
二.填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为 3π ．（结果保留π）
【分析】应用弧长计算公式进行计算即可得出答案．
解：l＝＝＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式进行求解是解决本题的关键．
11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就《九章算术》中有这样个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢白人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是 ×60+100＝x ．
【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走×60，
依题意，得：×60+100＝x，
故答案为：×60+100＝x．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，反比例函数的图象经过点B，若OC＝AC，则k的 1 ．
【分析】设出C点的坐标，根据C点的坐标得出B点的坐标，然后计算出k值即可．
解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的图象经过点B，
∴3a•＝3，
∴3k＝3，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
13．如图，已知▱ABCD的面积为32，点F在边BC上，且BF＝3CF，连接AF，点G在线段AF上，CF、CF为邻边向上作▱CEGF，连接BG、AE、BE，则图中阴影部分的面积为 4 ．
【分析】连接AC、EF，根据等底等高的三角形面积相等得出S△BGE＝S△FGE，推出S梯形＝S△AEF＝S△AFC，由▱ABCD的面积为32，可得S△ABC＝16．再结合BF＝3CF可知CF＝BC，故S△AFC＝S△ABC＝4．
解：如图，连接AC、EF，
∵四边形CEGF是平行四边形，
∴GE∥FC，则GE∥BC．
∴S△BGE＝S△FGE，
∴S梯形＝S△AEF＝S△AFC，
∵▱ABCD的面积为32，
∴S△ABC＝16．
∵BF＝3CF，
∴CF＝BC．
∴S△AFC＝S△ABC＝4．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形的对边相互平行的性质推知S△BGE＝S△FGE是解题的突破口．
三、解答题（共13题）
14．计算：（﹣1）2023+|1﹣|﹣．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
解：原式＝﹣1+﹣1﹣2+1
＝﹣3+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x＞2得：x＞4，
由x﹣1≥2（x+）得：x≤﹣2，
则不等式组无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．计算：（﹣）÷．
【分析】先化简小括号内的式子，将括号外的除法转为乘法，然后约分即可．
解：（﹣）÷
＝[]•
＝（）•
＝•
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
17．如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法在矩形内部找一点P使得∠APB＝90°（要求：作出符题意的一点即可，保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】先作AB的垂直平分线得到AB的中点O，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，接着再矩形ABCD内部的圆上任意取点P，根据圆周角定理得到∠APB＝90°．
解：作AB的垂直平分线交AB于O点，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，接着再矩形ABCD内部的圆上任意取点P，
则点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和圆周角定理．
18．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点O，求证：∠AFD＝∠CED．
【分析】根据菱形的性质和SAS证明△ADF与△CDE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝CD﹣CF，
即DE＝DF，
在△ADF与△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠AFD＝∠CED．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻边相等解答．
19．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝1有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当k＝1时，求原方程的解．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；
（2）当k＝1时，原方程化为x2+3x＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
解：（1）方程化为一般式为x2+3x+k﹣1＝0，
根据题意得Δ＝32﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤，
所以k的取值范围为k≤；
（2）当k＝1时，原方程化为x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
x＝0或x+3＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课开课，开设课程是问天实验舱介绍，毛细效应实验，水球变“懒”实验，太空趣味饮水，会调头的扳手等项目，某学校打算在5名学生（小明A、小刚B、小芳C、小丽D、小鹏E）中，通过抽签的方式确定2名学生对观看“天宫课堂”观后感进行分享诵读．抽签规则：将5名学生的名字分别写在5张完全相同的卡片正面，把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的四张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）第一次抽取卡片小明被抽中的概率是多少？
（2）请用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能结果，并求出小丽D被抽中的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和小丽D被抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵从五张卡片中随机抽取一张，
∴第一次抽取卡片小明被抽中的概率是．
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中小丽D被抽中的结果有：AD，BD，CD，DA，DB，DC，DE，ED，共8种，
∴小丽D被抽中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一个只含有AC的关系式，再解答即可．
解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度数是47°．
（2）在Rt△ABC中，，
∴．
在Rt△ADC中，，
∵BD＝4，
∴，
∴，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的长是3.3米．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．
22．陕西省南北狭长，地域、气候类型多样，土地资源肥沃，物产丰富，有很多土特产，临潼石榴集中国石榴之优，历来是封建皇帝的贡品，享誉九州．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人”．已知每箱石榴的成本价为50元，经市场调研发现，该石榴的月销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当石榴的月销售量为150箱时，求该月的销售总利润．
【分析】（1）根据图中数据用待定系数法求函数解析式；
（2）求当y＝150时x的值，再求销售量为150箱时销售利润．
解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100）；
（2）当y＝150时，﹣5x+500＝150，
解得x＝70，
销售利润为150×（750﹣50）＝3000（元），
∴当石榴的月销售量为150箱时，该月的销售总利润为3000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是根据图中数据求出函数解析式，还需注意的是自变量的取值范围．
23．为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了A（围棋社团）、B（书法社团）、C（ 唱社团）、D（剪纸社团）活动．该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是 B（书法社团） ，条形统计图中m的值为 11 ；
（2）求扇形统计图中α的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
【分析】（1）根据众数的定义可得众数是B（书法社团）；利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数为60；根据m＝60﹣10﹣24﹣15可得答案；
（2）α＝360°×即可得出答案；
（3）用该校总人数乘以样本中最喜欢“书法社团”的占比即可．
解：（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是B（或法社团）；
样本容量为：24÷40%＝60，
故m＝60﹣10﹣24﹣15＝11．
故答案为：B（书法社团）；11；
（2）由题意得，α＝360°×＝90°；
（3）1500×40%＝600（名），
答：估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有600人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BD；
（2）若CF＝2，tan∠BDE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC．
∵AC⊥BC，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠F．
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠BDE＝∠F，
∴BD＝BF；
（2）解：连接BE，如图，
∵∠BDE＝∠F，
∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，
∵CF＝2，tan∠F＝，
∴CE＝4．
∵BD是⊙O直径，
∴∠BED＝90°，
∴BE⊥EF．
∵EC⊥BF，
∴△ECF∽△BCE，
∴，
∴EC2＝BC•CF．
∴BC＝8．
∴BF＝BC+CF＝10．
∴BD＝BF＝10，
即⊙O的直径为5．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接AC，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）根据二次函数解析式得到点D的坐标为（﹣1，0）；求得△AOC是以AC为斜边的等腰直角三角形，得到∠OAC＝45°，如图，设EF交l于点G，根据轴对称的性质得到DF＝DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：（1）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）存在，由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4知抛物线的对称轴l为直线x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0）；
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴△AOC是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
如图，设EF交l于点G，
∵点E，F关于直线l对称，
∴DF＝DE，
∵△EDF∽△AOC，
则∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴DG＝EG．
分两种情况讨论：
当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n（n＜﹣1），
则E1G1＝﹣1﹣n，DG1＝E1G1＝﹣1﹣n，
E1（n，﹣1﹣n），
将其代入y＝﹣x2﹣2x+3中，得﹣1﹣n＝﹣n2﹣2n+3，
解得n1＝，n2＝（舍去），
∴E1（，），
当点E在x轴下方时，设E2的横坐标为n（n＜﹣1），则E2G2＝﹣1﹣n，DG2＝E2G2＝﹣1﹣n，
∴E2（n，1+n），
将其代入y＝﹣x2﹣2x+3中，得1+n＝﹣n2﹣2n+3，
解得n1＝，n2＝（舍去），
∴E2（，），
综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与△AOC相似，
∴点E的坐标为E1（，），E2（，）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，CB＝10，则AB的长为 2 ；
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点P是矩形内部或边上一点，若以P、B、C为顶点的三角形是以CP为底边的等腰三角形，求P、D两点之间的最短距离；
问题解决
（3）如图3，西安昆明池也称“七夕公园“，源于汉武帝元狩三年，为训练水师，在长安斗门镇一带，开凿了昆明池，池中刻置石琼，两岸刻制牛郎、织女，以象征天河．设计师规划一块等腰直角三角形ABC区域种植玫瑰花和四分之一圆区域种植郁金香，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝50米，以B为圆心以BC长为半径画弧交AB延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接AP，过点C作CQ⊥CP交AP于点Q．为方便游人休息，设计师想在Q处建立一个亭子，从点D到点Q处修一条小路（亭子大小和路的宽度忽略不计），且满足点D到点Q的距离最小，这样的点Q是否存在，若存在，求DQ的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）连接BD，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点P，则上的点为符合条件的点P，在上任取一点P′，连接P′B，P′D，利用线段最短可得当点P与点P′重合时，P、D两点之间的距离最短，利用勾股定理解答即可；
（3）作△AQC的外接圆⊙O，连接OD，交⊙O于点Q，连接OC，OA，此时点Q的位置为所求的点，使得线段DQ最小．利用正方形的判定与性质得到四边形OABC为正方形，勾股定理解答求得线段OD的长，利用同圆的半径相等得到OQ，则DQ＝OD﹣OQ，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，AC＝4，CB＝10，
∴AB＝，
故答案为：2；
（2）连接BD，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点P，则上的点为符合条件的点P，在上任取一点P′，连接P′B，P′D，如图，
∵线段最短，
∴PD≤P′B+P′D，
∴当点P与点P′重合时，P、D两点之间的距离最短，
即P、D两点之间的最短距离为线段PD的长．
∵BP＝BC＝AD＝6，BD＝＝2，
∴PD＝BD﹣BP＝2﹣6．
∴P、D两点之间的最短距离为2﹣6；
（3）符合条件的点Q存在，理由：
作△AQC的外接圆⊙O，连接OD，交⊙O于点Q，连接OC，OA，如图，
此时点Q的位置为所求的点，使得线段DQ最小．理由：
在劣弧上任取一点Q1，连接OQ1，DQ1，
由于线段最短，则OQ1+DQ1≥OD，
∴当点Q与点Q1重合时，DQ的长最短．
连接CD，
∵∠ABC＝90°，BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°．
由题意：点A，C，P，D在以B为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CPA＝∠CDA＝45°．
∵CP⊥CQ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQP＝45°，
∴∠AQC＝135°，
∴∠AOC＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴四边形OABC为正方形，
∴OA＝AB＝50（米），
∴BC＝BD＝AB＝50（米），
∴AD＝100（米），
∴OD＝＝50（米），
∵OQ＝OA＝50米，
∴DQ＝OD﹣OQ＝（50﹣50）米，
∴DQ的最小值为（50﹣50）米．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，熟练掌握线段最短的性质是解题的性质．
2023年陕西省榆林十中中考数学二模试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．计算：（x﹣2y）2＝（ ）
A．x2﹣2xy+4y2 B．x2+4y2 C．x2﹣4xy+4y2 D．x2﹣4y2
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
5．如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC＝4，则BE的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
6．已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数图象y＝﹣kx+b﹣1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠ABO＝29°，则∠BOC的度数（ ）
A．29° B．48° C．58° D．69°
8．将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
二.填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：x2﹣9＝ ．
10．若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为 ．（结果保留π）
11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就《九章算术》中有这样个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢白人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是 ．
12．如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，反比例函数的图象经过点B，若OC＝AC，则k的 ．
13．如图，已知▱ABCD的面积为32，点F在边BC上，且BF＝3CF，连接AF，点G在线段AF上，CF、CF为邻边向上作▱CEGF，连接BG、AE、BE，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（共13题）
14．计算：（﹣1）2023+|1﹣|﹣．
15．解不等式组：．
16．计算：（﹣）÷．
17．如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法在矩形内部找一点P使得∠APB＝90°（要求：作出符题意的一点即可，保留作图痕迹，不写作法）．
18．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点O，求证：∠AFD＝∠CED．
19．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝1有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当k＝1时，求原方程的解．
20．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课开课，开设课程是问天实验舱介绍，毛细效应实验，水球变“懒”实验，太空趣味饮水，会调头的扳手等项目，某学校打算在5名学生（小明A、小刚B、小芳C、小丽D、小鹏E）中，通过抽签的方式确定2名学生对观看“天宫课堂”观后感进行分享诵读．抽签规则：将5名学生的名字分别写在5张完全相同的卡片正面，把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的四张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）第一次抽取卡片小明被抽中的概率是多少？
（2）请用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能结果，并求出小丽D被抽中的概率．
21．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
22．陕西省南北狭长，地域、气候类型多样，土地资源肥沃，物产丰富，有很多土特产，临潼石榴集中国石榴之优，历来是封建皇帝的贡品，享誉九州．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人”．已知每箱石榴的成本价为50元，经市场调研发现，该石榴的月销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当石榴的月销售量为150箱时，求该月的销售总利润．
23．为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了A（围棋社团）、B（书法社团）、C（ 唱社团）、D（剪纸社团）活动．该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是 ，条形统计图中m的值为 ；
（2）求扇形统计图中α的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BD；
（2）若CF＝2，tan∠BDE＝2，求⊙O的半径．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接AC，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
26．问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，CB＝10，则AB的长为 ；
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点P是矩形内部或边上一点，若以P、B、C为顶点的三角形是以CP为底边的等腰三角形，求P、D两点之间的最短距离；
问题解决
（3）如图3，西安昆明池也称“七夕公园“，源于汉武帝元狩三年，为训练水师，在长安斗门镇一带，开凿了昆明池，池中刻置石琼，两岸刻制牛郎、织女，以象征天河．设计师规划一块等腰直角三角形ABC区域种植玫瑰花和四分之一圆区域种植郁金香，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝50米，以B为圆心以BC长为半径画弧交AB延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接AP，过点C作CQ⊥CP交AP于点Q．为方便游人休息，设计师想在Q处建立一个亭子，从点D到点Q处修一条小路（亭子大小和路的宽度忽略不计），且满足点D到点Q的距离最小，这样的点Q是否存在，若存在，求DQ的最小值；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1． 的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．
【分析】应用有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，进行计算即可得出答案．
解：2×（﹣）＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则进行求解是解决本题的关键．
2．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
3．计算：（x﹣2y）2＝（ ）
A．x2﹣2xy+4y2 B．x2+4y2 C．x2﹣4xy+4y2 D．x2﹣4y2
【分析】根据完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2计算即可．
解：（x﹣2y）2＝x2﹣4xy+4y2，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠BAD＝60°，AC＝2，则菱形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．4 C．6 D．8
【分析】根据菱形的性质得到，∠DAO＝30°，再根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD的长即可得到答案．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝30°，
∴AD＝2OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD2＝OD2+AO2，
∴，
∴AD＝2，
∴菱形ABCD的周长为4AD＝8，
故选：D．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键．
5．如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC＝4，则BE的长为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．6
【分析】首先利用中线的性质可以求出△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解．
解：∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD＝S△ACD，
∵△ABD的面积为5，
∴S△ABC＝2S△ABD＝10，
∵BE为△ABC的高线，AC＝4，
∴S△ABC＝×AC×BE＝×4×BE＝10，
∴BE＝5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性．
6．已知一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，则该函数图象y＝﹣kx+b﹣1的图象的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据题意，可得一次函数y＝kx+b经过一、三、四象限，则k＜0，b＜0，进一步可得﹣k＞0，b﹣1＜0，可得y＝﹣kx+b﹣1的图象经过第一、三、四象限，即可确定交点所在象限．
解：∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于负半轴，且不经过第一象限，
∴k＜0，b＜0，
∴﹣k＞0，b﹣1＜0，
则y＝﹣kx+b﹣1的图象经过第一、三、四象限，
∴两函数图象交点在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
7．如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠ABO＝29°，则∠BOC的度数（ ）
A．29° B．48° C．58° D．69°
【分析】根据平行线的性质，可得∠CAB＝∠ABO＝29°，进而根据同弧所对圆周角与圆心角的关系即可求解．
解：∵AC∥OB，
∴∠CAB＝∠ABO＝29°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝58°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系，解决本题的关键是掌握与圆有关的概念和性质．
8．将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式即可．
解：二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
则b＝4，c＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得出平移后解析式是解题关键．
二.填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．若扇形的圆心角为135°，半径为4，则它的弧长为 3π ．（结果保留π）
【分析】应用弧长计算公式进行计算即可得出答案．
解：l＝＝＝3π．
故答案为：3π．
【点评】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式进行求解是解决本题的关键．
11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架它的代数成主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就《九章算术》中有这样个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走路慢白人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是 ×60+100＝x ．
【分析】设走路快的人要走x步才能追上，由走路快的人走x步所用时间内比走路慢的人多行100步，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设走路快的人要走x步才能追上，则走路慢的人走×60，
依题意，得：×60+100＝x，
故答案为：×60+100＝x．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，反比例函数的图象经过点B，若OC＝AC，则k的 1 ．
【分析】设出C点的坐标，根据C点的坐标得出B点的坐标，然后计算出k值即可．
解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的图象经过点B，
∴3a•＝3，
∴3k＝3，
解得：k＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键．
13．如图，已知▱ABCD的面积为32，点F在边BC上，且BF＝3CF，连接AF，点G在线段AF上，CF、CF为邻边向上作▱CEGF，连接BG、AE、BE，则图中阴影部分的面积为 4 ．
【分析】连接AC、EF，根据等底等高的三角形面积相等得出S△BGE＝S△FGE，推出S梯形＝S△AEF＝S△AFC，由▱ABCD的面积为32，可得S△ABC＝16．再结合BF＝3CF可知CF＝BC，故S△AFC＝S△ABC＝4．
解：如图，连接AC、EF，
∵四边形CEGF是平行四边形，
∴GE∥FC，则GE∥BC．
∴S△BGE＝S△FGE，
∴S梯形＝S△AEF＝S△AFC，
∵▱ABCD的面积为32，
∴S△ABC＝16．
∵BF＝3CF，
∴CF＝BC．
∴S△AFC＝S△ABC＝4．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形的对边相互平行的性质推知S△BGE＝S△FGE是解题的突破口．
三、解答题（共13题）
14．计算：（﹣1）2023+|1﹣|﹣．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
解：原式＝﹣1+﹣1﹣2+1
＝﹣3+．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x＞2得：x＞4，
由x﹣1≥2（x+）得：x≤﹣2，
则不等式组无解．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．计算：（﹣）÷．
【分析】先化简小括号内的式子，将括号外的除法转为乘法，然后约分即可．
解：（﹣）÷
＝[]•
＝（）•
＝•
＝．
【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
17．如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法在矩形内部找一点P使得∠APB＝90°（要求：作出符题意的一点即可，保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】先作AB的垂直平分线得到AB的中点O，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，接着再矩形ABCD内部的圆上任意取点P，根据圆周角定理得到∠APB＝90°．
解：作AB的垂直平分线交AB于O点，再以O点为圆心，OA为半径作⊙O，接着再矩形ABCD内部的圆上任意取点P，
则点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和圆周角定理．
18．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为边AD和CD上的点，且AE＝CF，连接AF、CE交于点O，求证：∠AFD＝∠CED．
【分析】根据菱形的性质和SAS证明△ADF与△CDE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝CD﹣CF，
即DE＝DF，
在△ADF与△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠AFD＝∠CED．
【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的邻边相等解答．
19．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k＝1有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当k＝1时，求原方程的解．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4（k﹣1）≥0，然后解不等式即可；
（2）当k＝1时，原方程化为x2+3x＝0，然后利用因式分解法解方程即可．
解：（1）方程化为一般式为x2+3x+k﹣1＝0，
根据题意得Δ＝32﹣4（k﹣1）≥0，
解得k≤，
所以k的取值范围为k≤；
（2）当k＝1时，原方程化为x2+3x＝0，
x（x+3）＝0，
x＝0或x+3＝0，
所以x1＝0，x2＝﹣3．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
20．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课开课，开设课程是问天实验舱介绍，毛细效应实验，水球变“懒”实验，太空趣味饮水，会调头的扳手等项目，某学校打算在5名学生（小明A、小刚B、小芳C、小丽D、小鹏E）中，通过抽签的方式确定2名学生对观看“天宫课堂”观后感进行分享诵读．抽签规则：将5名学生的名字分别写在5张完全相同的卡片正面，把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的四张卡片中随机抽取第二张，记下名字．
（1）第一次抽取卡片小明被抽中的概率是多少？
（2）请用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能结果，并求出小丽D被抽中的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和小丽D被抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）∵从五张卡片中随机抽取一张，
∴第一次抽取卡片小明被抽中的概率是．
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中小丽D被抽中的结果有：AD，BD，CD，DA，DB，DC，DE，ED，共8种，
∴小丽D被抽中的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一个只含有AC的关系式，再解答即可．
解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度数是47°．
（2）在Rt△ABC中，，
∴．
在Rt△ADC中，，
∵BD＝4，
∴，
∴，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的长是3.3米．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，熟练掌握建模思想是解决本题的关键．
22．陕西省南北狭长，地域、气候类型多样，土地资源肥沃，物产丰富，有很多土特产，临潼石榴集中国石榴之优，历来是封建皇帝的贡品，享誉九州．白居易曾写诗赞美：“日照血球将滴地，风翻火焰欲烧人”．已知每箱石榴的成本价为50元，经市场调研发现，该石榴的月销售量y（箱）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当石榴的月销售量为150箱时，求该月的销售总利润．
【分析】（1）根据图中数据用待定系数法求函数解析式；
（2）求当y＝150时x的值，再求销售量为150箱时销售利润．
解：（1）设函数解析式为y＝kx+b，由题意得：
，
解得：，
∴y＝﹣5x+500，
当y＝0时，﹣5x+500＝0，
∴x＝100，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣5x+500（50＜x＜100）；
（2）当y＝150时，﹣5x+500＝150，
解得x＝70，
销售利润为150×（750﹣50）＝3000（元），
∴当石榴的月销售量为150箱时，该月的销售总利润为3000元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，关键是根据图中数据求出函数解析式，还需注意的是自变量的取值范围．
23．为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了A（围棋社团）、B（书法社团）、C（ 唱社团）、D（剪纸社团）活动．该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是 B（书法社团） ，条形统计图中m的值为 11 ；
（2）求扇形统计图中α的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
【分析】（1）根据众数的定义可得众数是B（书法社团）；利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数为60；根据m＝60﹣10﹣24﹣15可得答案；
（2）α＝360°×即可得出答案；
（3）用该校总人数乘以样本中最喜欢“书法社团”的占比即可．
解：（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是B（或法社团）；
样本容量为：24÷40%＝60，
故m＝60﹣10﹣24﹣15＝11．
故答案为：B（书法社团）；11；
（2）由题意得，α＝360°×＝90°；
（3）1500×40%＝600（名），
答：估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有600人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E，连接DE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：BF＝BD；
（2）若CF＝2，tan∠BDE＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，利用圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等和等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）连接BE，利用直径所对的圆周角为直角，直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接OE，如图，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC．
∵AC⊥BC，
∴OE∥BC，
∴∠OED＝∠F．
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∴∠BDE＝∠F，
∴BD＝BF；
（2）解：连接BE，如图，
∵∠BDE＝∠F，
∴tan∠BDE＝tan∠F＝2，
∵CF＝2，tan∠F＝，
∴CE＝4．
∵BD是⊙O直径，
∴∠BED＝90°，
∴BE⊥EF．
∵EC⊥BF，
∴△ECF∽△BCE，
∴，
∴EC2＝BC•CF．
∴BC＝8．
∴BF＝BC+CF＝10．
∴BD＝BF＝10，
即⊙O的直径为5．
【点评】本题主要考查了圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．
25．如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B，C的坐标；
（2）抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接AC，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程即可得到结论；
（2）根据二次函数解析式得到点D的坐标为（﹣1，0）；求得△AOC是以AC为斜边的等腰直角三角形，得到∠OAC＝45°，如图，设EF交l于点G，根据轴对称的性质得到DF＝DE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：（1）在y＝﹣x2﹣2x+3中，令y＝0，﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝1，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），
在y＝﹣x2﹣2x+3中，令x＝0，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）存在，由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4知抛物线的对称轴l为直线x＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣1，0）；
∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，
∴△AOC是以AC为斜边的等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
如图，设EF交l于点G，
∵点E，F关于直线l对称，
∴DF＝DE，
∵△EDF∽△AOC，
则∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，
∴DG＝EG．
分两种情况讨论：
当点E在x轴上方时，设E1的横坐标为n（n＜﹣1），
则E1G1＝﹣1﹣n，DG1＝E1G1＝﹣1﹣n，
E1（n，﹣1﹣n），
将其代入y＝﹣x2﹣2x+3中，得﹣1﹣n＝﹣n2﹣2n+3，
解得n1＝，n2＝（舍去），
∴E1（，），
当点E在x轴下方时，设E2的横坐标为n（n＜﹣1），则E2G2＝﹣1﹣n，DG2＝E2G2＝﹣1﹣n，
∴E2（n，1+n），
将其代入y＝﹣x2﹣2x+3中，得1+n＝﹣n2﹣2n+3，
解得n1＝，n2＝（舍去），
∴E2（，），
综上所述，在抛物线上存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与△AOC相似，
∴点E的坐标为E1（，），E2（，）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，CB＝10，则AB的长为 2 ；
问题探究
（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点P是矩形内部或边上一点，若以P、B、C为顶点的三角形是以CP为底边的等腰三角形，求P、D两点之间的最短距离；
问题解决
（3）如图3，西安昆明池也称“七夕公园“，源于汉武帝元狩三年，为训练水师，在长安斗门镇一带，开凿了昆明池，池中刻置石琼，两岸刻制牛郎、织女，以象征天河．设计师规划一块等腰直角三角形ABC区域种植玫瑰花和四分之一圆区域种植郁金香，其中∠ABC＝90°，AB＝BC＝50米，以B为圆心以BC长为半径画弧交AB延长线于点D，点P是上的一动点（不与点C、D重合），连接AP，过点C作CQ⊥CP交AP于点Q．为方便游人休息，设计师想在Q处建立一个亭子，从点D到点Q处修一条小路（亭子大小和路的宽度忽略不计），且满足点D到点Q的距离最小，这样的点Q是否存在，若存在，求DQ的最小值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理解答即可；
（2）连接BD，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点P，则上的点为符合条件的点P，在上任取一点P′，连接P′B，P′D，利用线段最短可得当点P与点P′重合时，P、D两点之间的距离最短，利用勾股定理解答即可；
（3）作△AQC的外接圆⊙O，连接OD，交⊙O于点Q，连接OC，OA，此时点Q的位置为所求的点，使得线段DQ最小．利用正方形的判定与性质得到四边形OABC为正方形，勾股定理解答求得线段OD的长，利用同圆的半径相等得到OQ，则DQ＝OD﹣OQ，即可得出结论．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，AC＝4，CB＝10，
∴AB＝，
故答案为：2；
（2）连接BD，以点B为圆心，以BC的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点P，则上的点为符合条件的点P，在上任取一点P′，连接P′B，P′D，如图，
∵线段最短，
∴PD≤P′B+P′D，
∴当点P与点P′重合时，P、D两点之间的距离最短，
即P、D两点之间的最短距离为线段PD的长．
∵BP＝BC＝AD＝6，BD＝＝2，
∴PD＝BD﹣BP＝2﹣6．
∴P、D两点之间的最短距离为2﹣6；
（3）符合条件的点Q存在，理由：
作△AQC的外接圆⊙O，连接OD，交⊙O于点Q，连接OC，OA，如图，
此时点Q的位置为所求的点，使得线段DQ最小．理由：
在劣弧上任取一点Q1，连接OQ1，DQ1，
由于线段最短，则OQ1+DQ1≥OD，
∴当点Q与点Q1重合时，DQ的长最短．
连接CD，
∵∠ABC＝90°，BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC＝45°．
由题意：点A，C，P，D在以B为圆心，AB为半径的圆上，
∴∠CPA＝∠CDA＝45°．
∵CP⊥CQ，
∴△CPQ为等腰直角三角形，
∴CQP＝45°，
∴∠AQC＝135°，
∴∠AOC＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∴∠OAB＝∠OCB＝90°，
∴四边形OABC为正方形，
∴OA＝AB＝50（米），
∴BC＝BD＝AB＝50（米），
∴AD＝100（米），
∴OD＝＝50（米），
∵OQ＝OA＝50米，
∴DQ＝OD﹣OQ＝（50﹣50）米，
∴DQ的最小值为（50﹣50）米．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，线段最短，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，熟练掌握线段最短的性质是解题的性质．
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