四川省绵阳市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题含答案

  绵阳市高中2022级第一学期末教学质量测试

数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，且满足，，则（    ）

A．为第一象限角 B．为第二象限角 C．为第三象限角 D．为第四象限角

3．下列函数既是偶函数又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

4．命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．a＜1 D．a＞1

5．已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合终边经过点，且，则m＝（    ）

A． B．－4 C．4 D．

6．函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

7．中国与卡塔尔合建的卢塞尔体育场是世界上最大跨度的双层索网屋面单体建筑．该体育场配备了先进的紫外线消杀污水过滤系统，已知过滤过程中污水的污染物浓度M（单位：mg/L）与时间t的关系为（为最初污染物浓度）．已知前2个小时可消除30%的污染物，那么污染物消除至最初的49%共需（    ）

A．3小时 B．4小时 C．8小时 D．9小时

8．已知，，，比较a，b，c的大小为（    ）

A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列计算结果为有理数的有（    ）

A． B． C． D．

10．设正实数a，b满足a＋b＝4，则（    ）

A．的最小值为 B．的最小值为

C．的最大值为2  D．的最小值为8

11．已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若n－m的最小值为，则实数a的值可以是（    ）

A． B.  C.  D.

12．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数在上单调递减

B．函数的图象关于直线x＝1对称

C．存在实数a，使得函数有三个不同的零点

D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知圆心角为的扇形的半径为1，则该扇形的面积为______．

14．设函数，则______．

15．已知函数，若，则______．

16．已知函数的定义域为，对任意实数m，n，都有，且当x＞0时，．若，对任意，恒成立，则实数a的取值范围为______．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知集合，．

（1）当a＝1时，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．（12分）

已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）

某环保组织自2022年元旦开始监测某水域水葫芦生长的面积变化情况，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过近一年的观察发现，自2022年元旦起，水葫芦在该水域里生长的面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水域水葫芦生长的面积为n（单位：），二月底测得水葫芦的生长面积为，三月底测得水葫芦的生长面积为，水葫芦生长的面积y（单位：）与时间x（单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是；另一个是，记2022年元旦最初测量时间x的值为0．

（1）根据本学期所学，请你判断哪个函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；

（2）该水域中水葫芦生长面积在几月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上？（参考数据：，）

20．（12分）

已知，．

（1）若x是第二象限角，用m表示出；

（2）若关于x的方程有实数根，求t的最小值．

21．（12分）

已知函数为上的偶函数．

（1）求实数k的值；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．

22．（12分）

我们知道，函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．

（1）利用上述结论，证明：函数的图象关于成中心对称图形；

（2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．

绵阳市高中2022级第一学期末教学质量测试

数学参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1．C   2．B3．C4．A5．C   6．D   7．B8．D

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

9．AB   10．CD   11．BC   12．BD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．14． 15．16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。

17．解：（1）当时，，，

； 5分

（2）“”是“”的充分不必要条件，

，

，解得 10分

18．解：（1）由题意，

，可得； 6分

（2），为第一象限角或第三象限角， 8分

由，可得或.

当为第一象限角时，； 10分

当为第三象限角时，． 12分

19．解：(1)因为两个函数模型，在上都是增函数．随着的增大，的函数值增加的越来越快，而的函数值增加的越来越慢．因为在该水域中水葫芦生长的速度是越来越快，即随着时间增加，该水域中水葫芦生长的面积增加得越来越快，

所以第一个函数模型满足要求. 3分

由题意知，解得，所以. 6分

（2）由，解得，又，故，所以该水域中水葫芦生长面积在5月份起是元旦开始研究时其生长面积的60倍以上.               12分

20．解：（1）由可得

解得所以

又因为x是第二象限角，所以，所以，

所以.  5分

（2）方程，

可化为在上有实数根.

①当时，显然方程无解； 6分

②当时，方程等价于． 8分

由在上单调递减可知，，

所以使得方程在上有实数根.

故的最小值是2． 12分

21．解：（1）由函数为上的偶函数，

则，即，

即，可解． 3分

当时，

为R上的偶函数，成立. 5分

（2）对任意恒成立，即， 6分

令，在上单调递增，

令，则在上单调递减，在上单调递增，

而单调递增函数，所以在上单调递减，在上单调递增，

所以， 11分

所以，即. 12分

22．（1）证明：由题意，只需证明为奇函数， 1分

又，

易知函数定义域为． 3分

且，所以为奇函数，所以的图象关于成中心对称图形. 5分

（2）解：易知为增函数，且，对任意的恒成立，

所以为减函数， 6分

又由（1）知，点与点关于点成中心对称，即， 7分

所以原不等式等价于，所以，即，由解得， 9分

当时，原不等式解集为或； 10分

当时，原不等式解集为； 11分

当时，原不等式解集为或. 12分