2022-2023学年山东省临沂市高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年山东省临沂市高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设命题则命题 p 的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定为全称命题可求解.

【详解】根据特称命题的否定为全称命题得，

命题 p 的否定为.

故选：B.

2．集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解方程得集合，再根据并集的定义求解即可.

【详解】由，解得或

,

故选：A

3．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在定理即可判断答案.

【详解】由于在其定义域上都为增函数，

故函数在上为增函数，

又，

故在内有唯一零点，

故选：B

4．已知，，，则a，b，c的大小关系：（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数幂和对数计算规则进行估算即可得到答案．

【详解】，，，

则a，b，c的大小关系

故选：A

5．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论．

【详解】由题可得函数定义域为，且，故函数为奇函数，故排除BD，

由，，故C错误，

故选：A.

6．已知函数，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．e

【答案】C

【分析】根据指数幂运算性质，结合代入法进行求解即可.

【详解】，

故选：C

7．我们学过度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据面度数的定义，可求得角的弧度数，继而求得答案.

【详解】设角所在的扇形的半径为r，则，

所以，

 所以，

故选：D．

8．设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得（为常数），则称函数在上的均值为，下列函数中在其定义域上的均值为1的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意将问题转化为关于的方程是否存在有解问题，再根据选项中具体函数的定义域和值域，结合特殊值法逐个分析判断即可．

【详解】由题意得，则，即，将问题转化为关于的方程是否存在有解问题，

对于A，的定义域为R，值域为，当时，，此时不存在，使，所以A错误；

对于B，的定义域为，值域为R，则对于任意，总存在，使得，所以B正确；

对于C，的定义域为R，值域为，当时，，此时不存在，使，所以C错误；

对于D，，定义域为R，值域为，当时，，此时不存在，使，所以D错误．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据题意将问题转化为关于的方程是否存在有解问题．

二、多选题

9．若，则终边可能在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】BD

【分析】根据角的终边所在限象的三角函数符号，即可得到结果.

【详解】因为，

若，则终边在第二象限；

若，则终边在第四象限；

故选：BD.

10．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由，则，，，从而可判断A，D；令，从而可判断B；结合在R上单调递增，从而可判断C．

【详解】对于A，由，则，，所以成立，故A正确；

对于B，由，令，，则，所以不成立，故B错误；

对于C，由，且在R上单调递增，所以成立，故C正确；

对于D，由，则，所以成立，故D正确．

故选：ACD．

11．设定义运算，已知函数，则（    ）

A．是偶函数 B．2π是的一个周期

C．在上单调递减 D．的最小值为

【答案】BC

【分析】画出的图象，对于A：举反例即可判断；对于B：由图可判断；对于C：根据余弦函数的单调性可判断；对于D：由图可判断.

【详解】

因为，画出的图象，如图

对于A：，即所以不是偶函数，A错误；

对于B：由图可知的一个周期为，B正确；

对于C：当时，，则，而在上单调递减，C正确；

对于D：由图可知，的最小值为，D错误.

故选：BC

12．已知函数，令，则（    ）

A．若有1个零点，则或

B．若有2个零点，则或

C．的值域是

D．若存在实数a，b，c（）满足，则的取值范围为（2，3）

【答案】BCD

【分析】根据函数图象的翻折变换和平移变换，由函数的图象与函数的图象，

可得函数的图象，利用数形结合，可得答案.

【详解】由函数的图象，根据函数图象的翻折变换，

由函数的图象，根据函数图象的平移变换，向右平移3个单位，向下平移1个单位，

可得函数的图象，如下图：

函数的图象可由函数经过平移变换得到，

显然当或时，函数的图象与轴存在唯一交点，故A错误；

由函数的图象，本身存在两个交点，向下平移一个单位，符合题意，故B正确；

由图象，易知C正确；

设，则，由前两个方程可得，则，

由图象可知，解得，即，故D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．已知幂函数的图像过点，则___________.

【答案】

【分析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出的解析式，进而求得.

【详解】设，

幂函数的图像过点，，，，

故答案为：

14．已知，则___________.（用 表示）

【答案】##

【分析】根据指数式与对数式的互化，求出，结合对数的运算法则化简，即可得答案.

【详解】因为，所以，

故，

故答案为：

15．一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为___________.

【答案】8

【分析】求出函数过的定点，可得，将变为，结合基本不等式即可求得答案.

【详解】对于函数，令，则该函数图象过定点，

将代入，得，

故，

当且仅当且，即时取等号，

故答案为：8

四、双空题

16．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.据此，写出图象关于点对称的一个函数解析式__________，函数图象的对称中心是___________.

【答案】     （答案不唯一）    

【分析】由题意，根据函数图象平移变换，利用常见奇函数以及奇函数的性质，可得答案.

【详解】由题意，根据函数图象的平移变换，函数可奇函数向右平移1个单位得到，

取奇函数，将该函数向右平移1个单位，可得函数，；

设函数图象的对称中心为，则，

由函数是奇函数，则，

即，解得，

故答案为：（答案不唯一），

五、解答题

17．已知角的终边经过点，且.

(1)求m的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据任意角三角函数的定义，建立方程，可得答案；

（2）根据三角函数的诱导公式，可得答案.

【详解】（1）因为已知角α的终边经过点P（m，3），且，

所以，解得.

（2）由（1）可得

原式=.

18．已知二次函数（为常数），若不等式的解集为且.

(1)求；

(2)对于任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合不等式的解集，列出不等式组，求得，即得答案.

（2）根据一元二次不等式在R上恒成立，利用判别式即可求得答案.

【详解】（1）由的解集为且，

知为方程的两实数根，故，

解得，

所以.

（2）由（1）知，

则由，恒成立，得恒成立，

由题意得

解得，所以k的取值范围为.

19．已知，全集，集合，函数的定义域为.

(1)当时，求；

(2)若是成立的充分不必要条件，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)求得集合A和集合B，根据补集和交集的定义即可求解；

(2)由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.根据真包含关系建立不等式求解即可.

【详解】（1），

即.

由，得，解得，即.

当时，.

∴.

（2）由是的充分不必要条件，可知集合是集合的真子集.

所以解得，

经检验符合集合是集合的真子集，所以a的取值范围是.

20．已知函数（）的图象关于直线对称，且函数的最小正周期为.

(1)求；

(2)求在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)；

(2)最大值为2，最小值为.

【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的对称性进行求解即可；

（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）因为函数f（x）的最小正周期为π，

所以.

∵为f（x）的一条对称轴，

∴，

又，所以，

故；

（2）当时，，

所以当，即时，.

当，即时，.

21．2022年11月，国务院发布了简称优化防控二十条的通知后，某药业公司的股票在交易市场过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第x天每股的交易价格（元）满足，第x天的日交易量（万股）的部分数据如下表：

(1)给出以下两种函数模型：①；②.请你根据上表中的数据.从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票日交易量（万股）与时间第x天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；

(2)根据（1）的结论，求出该股票在过去一个月内第x天的日交易额的函数关系式，并求其最小值.

【答案】(1)选择模型②，理由见解析，

(2)，最小值484

【分析】(1)对于两种模型分别用两点求，再检验另外两点，从而可以确定；

(2)根据确定的解析式，再分段讨论最小值，再比较其中小的为最小值.

【详解】（1）对于函数，

根据题意，把点代入可得，解得，

而点均不在函数的图象上；

对于函数，

根据题意，把点代入可得，解得，

此时.

而均在函数的图象上.

所以.

（2）由（1）知.

所以，

即

当时，

当且仅当时，即时等号成立，

当时，为减函数.

所以函数的最小值为，

综上可得，当时，函数取得最小值484.

22．已知函数（且）为定义在R上的奇函数.

(1)判断并证明的单调性；

(2)若函数，对干任意，总存在，使得成立，求m的取值范围.

【答案】(1)函数在R上单调递增，证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性求得a的值，利用函数单调性的定义即可证明结论.

（2）求出函数的值域，利用换元法将转化为，讨论函数图象对称轴与给定区间的位置关系，确定其值域，结合题意可知两函数值域之间的包含关系，列出不等式，求得答案.

【详解】（1）由题意函数（且）为定义在R上的奇函数,

得：，解得.

∴，

验证：，则，

即，即为奇函数；

任取，且，

则，

因为，且，所以，

所以，故，

所以函数在R上单调递增.

（2）由（1）知，在R上单调递增，

∴时，，即，

即的值域为，设为A.

，

令，则，设，其值域为B，

由题意知.

的图象的对称轴为，

当时，在上单调递增，，

∴，与矛盾，所以舍掉；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且，

∴，

∴ ，故；

当时，在上单调递减，在上单调递增，且，

∴，

，则，

当时，在上单调递减，，

，与矛盾，所以舍掉.

综上所述，m的取值范围为.

【点睛】方法点睛：涉及到含有参数的二次函数在给定区间上的值域问题，要注意分类讨论，讨论的标准是考虑函数图象的对称轴与给定区间的位置关系，结合函数单调性，即可确定值域.