2022-2023学年山东省实验中学高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年山东省实验中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．sin390°的值是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据终边相同的角，将化成，再利用的三角函数值与的公式，即可求出答案．

【详解】解：根据题意，得

故选：A．

2．“函数为偶函数”是“” 的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性判断：应用诱导公式化简并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.

【详解】当为偶函数时，

则恒成立，即，；

当时，为偶函数；

综上，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.

故选：B

3．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.

【详解】由幂函数的定义知，解得或．

又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足．

故选：D．

4．已知，，，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可以看出，直接排除A、B，再比较，从而选出正确答案.

【详解】可以看出是一个锐角，故；又，故；又，而，

故；从而得到，

故选C.

【点睛】比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.

5．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先根据函数的奇偶性，可排除A，C，根据当时，即可排除B．得出答案.

【详解】因为，所以，

所以为奇函数，故排除A，C．

当时，，，则，故排除B，

故选:D．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6．函数的最大值和最小值分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，

函数可化简为,令,本题转化为函数,的最值求解即可.

【详解】根据题意,

令,则,

因为函数的对称轴为,

所以根据二次函数的图像和性质得:当时,;当时,.

故选:B.

7．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

B．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

【答案】B

【解析】根据，可判断.

【详解】，

所以先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度可得到的图象.

故选：B.

8．已知函数在上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由在， 上单调递减，得，由在上单调递减，得，作出函数且在上的大致图象，利用数形结合思想能求出的取值范围．

【详解】解：由在上单调递减，得，

又由且在上单调递减，

得，解得，所以，

作出函数且在上的大致图象，

由图象可知，在上，有且仅有一个解，

故在上，同样有且仅有一个解，

当，即时，联立，即，

则，解得：，

当时，即，由图象可知，符合条件．

综上：．

故选：C．

二、多选题

9．已知函数：①，②，③，④，其中周期为，且在上单调递增的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】AC

【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到、、的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确.

【详解】函数的周期为，且在上单调递增，故①正确；

函数不是周期函数，故②不正确；

函数的周期为，且在上单调递增，故③正确；

函数的周期为，故④不正确.

故选：AC.

10．已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据，并结合为锐角求解即可.

【详解】解：因为，所以，即

所以，

因为为锐角，所以，

所以，

所以，

所以

故选：ABD

11．设函数则（    ）

A．的定义域为 B．的值域为

C．的单调递增区间为 D．的解集为

【答案】AD

【分析】A.根据函数的解析式判断；B.分，，利用对数函数和余弦函数的性质求解判断；C.利用函数的图象判断；D. 分，，令求解判断.

【详解】因为函数，

所以的定义域为，故A正确；

当时， ，当 时，，

所以的值域为，故B错误；

如图所示：

当时， 的单调递增区间为，

当 时，的单调递增区间为，

但在上不单调，故C错误；

当时，，解得，

当时，，解得，D正确.

故选：AD．

12．存在实数a使得函数有唯一零点，则实数m可以取值为（    ）

A． B．0 C． D．

【答案】ABC

【分析】把问题转化为与有唯一交点，利用换元法求的最小值，再转化为关于的二次函数有根，利用判别式大于等于0求得实数的取值范围．

【详解】函数有唯一零点，即方程有唯一根，

也就是与有唯一交点，

令，则，

由“对勾函数”的单调性可知，当，即时，有最小值2，

可得，即，

当时，符合题意，

当时，

则，解得且．

综上，实数的取值范围是，．

故选：ABC

三、填空题

13．化简：_____.

【答案】1

【详解】，故答案为.

14．已知cos＝，0<α<，则sin＝________.

【答案】

【详解】由已知<α＋<，∴sin>0，

∴sin＝＝.

15．若，则的最小值为_____.

【答案】

【详解】试题分析：由得，即，所以 ，，当且仅当 时取等号，所以的最小值为．

【解析】1．对数的性质；2．基本不等式．

【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．

16．已知函数，把的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，可得到的图象，若，则的最小值为____________．

【答案】

【分析】根据函数图象的平移可得，进而根据的有界性可知，根据最值点即可由三角函数的性质求解.

【详解】有题意得，由于对任意的，,

故根据得，或者

若，因此且,

因此，

故当时，取最小值，且最小值为，

若，因此且,

因此，

故当时，取最小值，且最小值为，

故取最小值，且最小值为，

故答案为：

四、解答题

17．已知集合，集合，集合.

（1）求；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合、，即可求出；

（2）由，可知，得到不等式组，解得.

【详解】解：（1），，

，或，

或；

（2）由，得，解得.

【点睛】本题考查集合的运算，集合与集合之间的关系，属于基础题.

18．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，角的终边经过点，.

(1)求和的值；

(2)求的值.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据三角函数的定义求出a，进而求出；

（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.

【详解】（1）由题意得：，解得，所以.

（2）原式.

19．已知函数．

(1)求的最小正周期和对称轴；

(2)求在上的最大值和最小值．

【答案】(1)最小正周期为，对称轴

(2)最小值为，最大值为2

【分析】(1)根据周期公式和对称轴公式求解；(2)整体代换，讨论的取值范围即可求解最值.

【详解】（1）的最小正周期为，

令，可得即为对称轴.

（2）,

，

所以当，即时的最小值为，

当，即时的最大值为2.

20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量与过滤开始后的时间（小时）的关系为.其中为过滤开始时废气的污染物数量，为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了的污染物，试求：

（1）过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？

（2）求污染物减少所需要的时间.（计算结果参考数据：，，）

【答案】（1）；（2）35个小时

【分析】（1）由当时，，可得，从而可求出参数，进而可知，当时，；

（2）当时，可求出.

【详解】解：（1）由可知，当时，；当时，.

于是有，解得，那么，

所以，当时，，

∴过滤开始后经过10个小时还剩的污染物.

（2）当时，有.

解得

∴污染物减少所需要的时间为35个小时.

【点睛】本题考查了函数模型的应用，考查了指数方程的求解，考查了对数的运算性质.由已知条件求出参数的值是本题的关键.本题的易错点是误把当成了已消除的污染的数量.

21．已知函数，x∈[，9].

(1)当a=0时，求函数f(x)的值域；

(2)若函数f(x)的最小值为-6，求实数a的值.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）由题意可得，结合定义域，逐步可得函数的值域；

（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.

【详解】（1）当a=0时，，x∈[，9].

∴，，

∴，

∴函数f(x)的值域为；

（2）令，

即函数的最小值为，

函数图象的对称轴为，

当时，，

解得；

当时，，

解得；

当时，，

解得（舍）；

综上，实数a的值为或.

22．已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）若方程，恰有个互异的实数根，求实数的取值集合；

（Ⅲ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到的值，再利用奇函数得到，进而得到的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断的单调性，再利用奇偶性和单调性得到，把在恰有个互异的实数根转化为在恰与轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数为上的减函数且为奇函数，得到，把问题转化为对任意的恒成立，令，利用二次函数的图像特点求解即可.

【详解】（Ⅰ）由指数函数的图象过点，

得，

所以，

又为上的奇函数，

所以，

得，

经检验，当时，符合，

所以；

（Ⅱ），

因为在定义域内单调递增，

则在定义域内单调递减，

所以在定义域内单调递增减，

由于为上的奇函数，

所以由，

可得，

则在恰有个互异的实数根，

即在恰与轴有两个交点，

则，

所以实数的取值集合为.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数为上的减函数且为奇函数，

由，

得，

所以，

即对任意的恒成立，

令，

由题意，

得，

所以实数的取值范围为：.

【点睛】关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为在恰与轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为对任意的恒成立是解决本题的关键.