黄金卷03-【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（长沙专用）

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【赢在中考·黄金八卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（长沙专用）
第三模拟
（本卷共25小题，满分120分，考试用时120分钟）
一、单选题(共30分)
1．(本题3分)的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由绝对值的意义化简，再根据相反数的意义得出结果．
【详解】解：∵，的相反数是，
∴的相反数是．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值、相反数的意义．一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2．(本题3分)下列图形是四届数学大会会标，其中不属于中心对称的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】解：第一个图形是中心对称图形，
第二个图形不是中心对称图形，
第三个图形是中心对称图形，
第四个图形不是中心对称图形，
∴不属于中心对称的有2个，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．(本题3分)下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，对各选项计算后即可求解．
【详解】A、与不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法法则，熟练掌握运算性质和公式是解题的关键．
4．(本题3分)已知点在第四象限，且到轴的距离为，到轴的距离为，则点坐标为（   ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值解答．
【详解】解：∵点A在第四象限，且到x轴的距离是2个单位长度，到y轴的距离是4个单位长度，
∴点A的横坐标是4，纵坐标是，
∴点A的坐标是．
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
5．(本题3分)下列说法正确的是（    ）
A．三角形的外角一定大于它的内角
B．甲、乙两射击运动员分别射击次，他们成绩的方差分别为，，这过程中乙发挥比甲更稳定
C．，，，，这组数的众数是
D．两个图形位似也一定相似
【答案】D
【分析】根据三角形外角性质可对A选项进行判断；根据方差的意义可对B选项进行判断；根据众数的定义可对C选项进行判断；根据位似图形的性质可对D选项进行判断
【详解】A.三角形是外角大于与之不相邻的任意一个内角，故A错误，不符合题意；
B.甲、乙两射击运动员分别射击次，他们成绩的方差分别为，，这过程中甲发挥比乙更稳定，故B错误，不符合题意；
C.，，，，这组数的众数是，故C错误，不符合题意；
D.两个图形位似也一定相似，故D正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握三角形外角性质、方差的意义、众数的定义及位似图形的性质是解决问题的关键
6．(本题3分)某公司今年4月份的营业额为2500万元，按计划5、6月份总营业额要达到6600万元，设该公司5、6两个月的营业额的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
【详解】解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程得：
．
故选C．
【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
7．(本题3分)如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（　　）

A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】过点作于点，作射线，可证点，点，点，点四点共圆，可得，则点在的角平分线上运动，即当时，的长度有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，作射线，

是等边三角形，，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
点在的角平分线上运动，
当时，的长度有最小值，
，
，
的最小值为，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，垂线段最短，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．(本题3分)在中，，，以为直径的⊙交于点，则的长是（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接OE，根据平行四边形的性质求出∠DOE的度数与OD的长，进而根据弧长公式计算即可求得．
【详解】解：连接OE，如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=4，
∴OA=OD=2，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°−2×70°=40°，
∴的长，
故选：D．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆的性质以及弧长公式，熟练掌握和运用各图形的性质及公式是解决本题的关键．
9．(本题3分)一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（）成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ）

A．I与R的函数关系式是 B．当时，
C．当时， D．当电阻R（）越大时，该台灯的电流I（A）也越大
【答案】A
【分析】直接利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质分析得出答案．
【详解】解：A．设反比例函数解析式为：，把代入得：
，则，故此选项符合题意；
B．当时，，故此选项不合题意；
C．当时，，故此选项不合题意；
D．当电阻越大时，该台灯的电流（A）越小，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
10．(本题3分)如图，抛物线与轴交于点，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点是抛物线上第一象限上的动点，当的面积最大时，，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，由抛物线与轴交于点，得到对称轴，从而得到，①正确；由①中，抛物线开口向下及抛物线交轴的正半轴即可确定②错误；根据二次函数最值即可得到，③错误；根据平面直角坐标系中三角形面积的求法，得到，利用二次函数图像与性质即可确定④错误．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点，
∴对称轴为直线，即，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线开口向下，
∴，
∴，
∵抛物线交轴的正半轴，
∴，
∴，故②错误，不符合题意；   
∵抛物线的对称轴，开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴（为任意实数），
∴（为任意实数），故③错误，不符合题意；
∵，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴，
将点代入，
∴，
∴，
过点作轴交于点，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的面积最大，故④不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数图形与性质，平面直角坐标系中求三角形面积等是解决问题的关键．

二、填空题(共18分)
11．(本题3分)“天宫课堂”第一课开始，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站进行太空授课，全国超过6000万中小学生观看授课直播，其中6000万用科学记数法表示为_______________．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
12．(本题3分)已知反比例函数与直线相交于点A，点A的横坐标为，则此反比例函数的解析式为_______．
【答案】
【分析】先由一次函数解析式求出点A的坐标，把已知点的坐标代入反比例函数解析式可求出k值，即得到反比例函数的解析式．
【详解】解：∵点A的横坐标为，
∴点A的纵坐标：，
∴点A的坐标为（-1，2），
∵A在反比例函数的图象上，
∴把点A代入反比例函数解析式中，得k=-2，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，解答本题一定要注意待定系数法的运用．
13．(本题3分)若关于的方程有增根，则的值是______．
【答案】
【分析】根据分式方程的增根的定义解决此题．
【详解】解：，
方程两边同乘，得．
移项，得．
的系数化为，得．
关于的方程有增根，
．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
14．(本题3分)在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的锁率稳定在0.5附近，则袋子中红球约有_______个．
【答案】3
【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
【详解】解：设袋中红球有个，
根据题意，得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解，
所以袋中红球有3个，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与试验比例应该相等是解决问题的关键．
15．(本题3分)如图，在边长为4的菱形中，，M是边上的一点，且，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是 ___________．

【答案】
【分析】过点M作交延长线于点H，连接，根据菱形的性质和直角三角形的性质，求出，再由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得点在以M为圆心，为半径的圆上，从而得到当点在线段上时，长度有最小值，是解题的关键．
【详解】解：过点M作交延长线于点H，连接，

菱形中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴点在以M为圆心，为半径的圆上，
∴当点在线段上时，长度有最小值，
∴长度的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、折叠的性质，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键．
16．(本题3分)如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：∵正六边形的边长为2，
∴，，
∵，
∴，
过B作于H，

∴，，
在中，，
∴，
同理可证，，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．

三、解答题(共72分)
17．(本题6分)先化简，再求值：，其中满足．
【答案】，
【分析】先将所有分式的分子与分母因式分解，同时计算括号内的减法，再计算乘法，最后计算加减法化简，再解方程组求出a，b的值代入计算即可．
【详解】解：原式


，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】此题考查了分式的混合运算及化简求值，解二元一次方程组，正确掌握各运算法则是解题的关键．
18．(本题6分)（1）计算：
（2）因式分解：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先将二次根式，绝对值，0次幂，负整数次幂化简，再进行计算即可；
（2）先提取公因式，再用平方差公式进行饮食分解即可．
【详解】（1）解：原式

．
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算和因式分解，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用．
19．(本题6分)如图，荾形中，点，分别在边，上，，求证：．

【答案】证明见解析
【分析】解法一：由菱形的性质和已知可得，，再证明即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明即可．
【详解】证明：解法一：
∵四边形是菱形，

∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
解法二：
连接，
∵四边形是菱形，

∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
20．(本题8分)数学活动小组到某景点测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进至B处，测得仰角为60°，点A，C，B在同一直线上，则求塔高．（身高忽略不计，结果不取近似值）

【答案】
【分析】先根据三角形外角的性质得到， 则，再解求出即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴
∴该塔高为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，求出是解题的关键．
21．(本题8分)为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（：书法，：绘画，：摄影，：泥塑，：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．

(1)求张老师调查的学生人数；
(2)补全条形统计图；
(3)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
【答案】(1)50名
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由书法的人数除以所占百分比即可得出；
（2）计算出D组中人数，补图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，最后根据概率公式即可得出．
【详解】（1）张老师调查的学生人数为：(名)；
（2）D组中人数为：，
如图所示：

（3）把2人选修书法的记为，，1人选修绘画的记为，1人选修摄影的记为，
画树状图如图：

由树状图知，共有12种等可能的结果，其中所选2人都选修书法的结果有2种，
∴ 所选2人都是选修书法的概率为．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图的理解与应用能力．利用列表法或画树状图法以不错不漏地列出所有等可能的结果是解本题的关键．
22．(本题9分)戴口罩是阻断呼吸道病毒传播的重要措施之一，某商家对一款成本价为每盒50元的医用口罩进行销售，如果按每盒70元销售，每天可卖出20盒．通过市场调查发现，每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒．
(1)若商家要使日利润达400元，又想尽快销售完该款口罩，问每盒售价应定为多少元？
(2)当每盒售价定为多少元时，商家可以获得最大日利润？并求出最大日利润．
【答案】(1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元
(2)当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元

【分析】（1）设每盒售价降低x元，根据题意表示出日销售量和每盒口罩利润，列出方程并解方程即可得到答案；
（2）设当每盒降价x元时，商家获得的利润为W元，根据（1）即可得到二次函数表达式，根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设每盒售价降低x元，由题意可知：每盒口罩售价每降低1元，则日销售量增加2盒，降低x元，销售量增加盒，那么日销售量为盒，每盒口罩利润为元，
根据题意可知：
，．
解得：(舍去)，，．
∴售价应定为：元，
答：商家想尽快销售完该款口罩，每盒售价应定为60元；
（2）设当每盒降价x元时，商家获得的利润为W元，
由题意可知：，．
∵，
∴抛物线开口向下，．
当时，W有最大值，即元，．
∴售价应定为元，．
答：当每盒售价定为65元时，商家可以获得最大日利润，最大日利润为450元．
【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，根据题意正确列出方程和函数表达式是解题的关键．
23．(本题9分)如图，内接于，，为直径，与相交于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点，连接．

(1)求证：与相切；
(2)若，求的值；
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）连接，则，，根据同弧所对的圆周角相等可得，可证，根据直径所对圆周角是可得，等量代换得，即，故与相切；
（2）过点作，垂足为，根据，可得，，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可知，则，可得，所以，由已知，得，即可求出的值．
【详解】（1）解：连接，如图：

∴，
∴，
∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴与相切．
（2）解：过点作，垂足为，

∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定和性质等知识点，根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键．
24．(本题10分)如图1，在平面直角坐标系点中，，点B在y轴正半轴上且．直线的图象交y轴于点C，且射线平分，点P是射线上一动点．

(1)求直线的表达式和点C的坐标；
(2)连接、，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，过点P作交x轴于点Q，连接，当与以点P、Q、C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)

【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；
(2) 过点P作轴交于点T，设，，分别求出，，由题意可得方程，即可求得t的值，即可求得点P的坐标；
(3)作轴于点M，作于点N，设点，可证得，根据相似三角形的性质，即可求得，再由，可求得，再分两种性质，即当或当时，分别计算，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
又，
．
∴设，
把点、分别代入解析式，
得，
解得，
．
在中，令，则，
；
（2）解：如图：过点P作轴交于点T，


设，，
，，，
．
解得，，
∴、，
故点P的坐标为或；
（3）解：作轴于点M，作于点N，设点

，，
．
，，
，
，
，
，
；
又，
，
又，
，
，
，
，
；
当时，，
，
此方程无解；
当时，，
，
，
解得，
，
综上，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，两点间距离公式，作出辅助线和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
25．(本题10分)如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点E是线段上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形的面积最大?求出四边形的最大面积及此时E点的坐标；
(3)在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请直接写出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)四边形的面积最大为，E点坐标为（－2，－1）
(3)存在，P 点的坐标为（0，）或（0，）

【分析】（1）将点坐标代入，解得，即可得解；
（2）先求直线的函数表达式为,设点，结合图形， 四边形的面积，运用二次函数的性质求得最值及点E点的坐标；
（3）设，作于点G， ，求得＝，利用等积法得，解得n，得到点，再利用对称性得另一点
【详解】（1）将
代入抛物线表达式得，解得，
抛物线表达式为；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，

∴，，
设直线的函数表达式为，
将点坐标代入得，
解得，
∴直线的函数表达式为，..
设，则，
∴ ＝，
∴＝，
四边形的面积＋

当时，四边形的面积最大，最大值为，
此时E点坐标为；
（3）P 点的坐标为或
①作于点G， ，
设，

，
， ，
，
由的面积，得
，即，
化简，得，
解得， （不符合题意，舍去），
∴，
②∵点与点P关于原点O对称， ，
∴，
综上所述：P 点的坐标为或）
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形的面积，二次函数的性质，方程的思想及分类讨论的思想等知识，本题考点较多，综合性较强，难度适中．