2023年山西省忻州市原平市中考一模数学试题（含答案）

这是一份2023年山西省忻州市原平市中考一模数学试题（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山西省忻州市原平市中考数学一模试卷
一、选择题:（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．﹣6的绝对值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣6 D．6
2．如图所示的是由4个大小相同的小正方体搭建而成的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A． B．
C． D．
3．2022年12月26日是伟大领袖毛主席诞辰129周年纪念日，伟人在他的诗词中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，那么数据“八万里”用科学记数法可表示为（　　）
A．8×104里 B．8×105里 C．0.8×105里 D．8×103里
4．下列运算正确的是（　　）
A．4m2﹣3m2＝1 B．6m2÷2m＝3m
C．（1+m）2＝1+m+m2 D．（﹣3m2n）2＝9m2n
5．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝cm，则线段AB的长是（　　）

A．cm B．cm C．cm D．2cm
6．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．小明坚持每天进行体育锻炼，如表是小明近一周的体育锻炼时间表：
日期
12.12
12.13
12.14
12.15
12.16
12.17
12.18
时间（分钟）
35
41
47
47
41
50
41
则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．41，47 B．44，47 C．41，41 D．44，41
8．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠B＝40°，则∠OAC的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
9．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（　　）

A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
10．如图，四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AB＝4，扇形BEF的半径为4，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．2π﹣4 D．2π﹣2
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：﹣＝　 　．
12．如图所示的是一组有规律的图案，则第n个图案中“”的个数为 　 　.（用含n的代数式表示）

13．如图，直线AB与反比例函数y＝的图象交于点A，B，与x轴交于点D，过点A作AC⊥y轴于点C，若S△ACD＝6，则k＝　 　．

14．2023年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩．湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．则1艘大船可以满载游客的人数为 　 　．

15．如图，在菱形ABCD中，边长为2+2，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2，若将△EBF沿着EF折叠，使得点B恰好落在AD边上的点B'处，EB'∥BD，折痕为EF，则AB'的长为 　 　．

三、解答题：（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：×﹣（﹣2）0+（﹣）﹣1；
（2）解方程：x2﹣2x＝9．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）以AC为直径，利用尺规作⊙O，⊙O交AB于点D．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）中所作的图中，若tan∠BCD＝，BC＝3，求⊙O的半径．

18．布艺手袋因节能时尚，成为学生一族的新宠．该商店用1200元购进第一批布艺手袋，很快售罄，于是又花费4500元购进第二批布艺手袋，所购数量是第一批的2倍，已知第二批布艺手袋的单价比第一批布艺手袋的单价贵7元．求第一批购进的布艺手袋的单价．

19．为了贯彻落实国务院提出的“健康第一”的指导思想，切实加强学校体育工作，使学生养成良好的锻炼习惯，提高学生体质的健康水平，《国家中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准如表：
等级
A：优秀
B：良好
C：及格
D：不及格
分数（x/分）
86≤x≤100
76≤x＜86
60≤x＜76
0≤x＜60
太原市某校从九年级学生中随机抽取了400名学生进行了体质测试，将调查结果整理后绘制成如图所示的两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）在这被抽查的九年级学生中，优秀的有 　 　人，及格的有 　 　人．
（2）求所抽取的400名学生的平均分．
（3）该校校委会决定从获得优秀奖成绩前三名学生中选取2名同学参加省体质测试，已知前三名学生中只有1名男生，请用列表或画树状图的方法求所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
20．阅读与思考．
阅读下列材料，并完成相应的任务．
纯几何法验证勾股定理
我们知道，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的验证方法到目前为止也有300多种，最著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“达芬奇法”“欧几里得法”等等．下面我们介绍一种纯几何验证法．
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，先证明△ACD∽△ABC，可得AC2＝AD•AB，再证明△BCD∽△BAC，可得BC2＝BD•AB，两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法繁琐的证明，不失为一种很好的验证方法．
任务：
（1）根据材料中的方法，请写出完整的证明过程．
（2）如图2，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”，图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若a＝3，b＝10，求该矩形的面积．

21．如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图，小明想知道灯管D距地面AF的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°．在地面E处测得灯管D的仰角为53°，并测得EF＝2.2m，已知点A，E，F在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管D距地面AF的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

22．综合与实践
问题情境：如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．
操作发现：（1）如图2，将△CDE绕着点C逆时针旋转α°，连接BE和AD，小明发现AD＝BE，BE⊥AD，请你证明该结论．
猜想探究：（2）如图3，将△CDE绕着点C逆时针旋转α°（0＜α＜90），此时恰好有CE⊥BE，连接AD，延长BE，交AD于点F，试猜想四边形CDFE的形状，并说明理由．
拓展探究：（3）如图4，将△CDE绕着点C逆时针旋转α°（90＜α＜270），直接写出四边形AEDB的面积的最大值．

23．综合与探究．
如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过（2，﹣3），（﹣2，3），且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求证：△AOC∽△COB．
（3）如图2，动点P从点B出发，沿着线段BA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段A向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接PQ，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，△APQ是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．



参考答案
一、选择题:（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．﹣6的绝对值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣6 D．6
【分析】利用绝对值的定义即可求解．
解：﹣6的绝对值为6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了绝对值的定义，比较简单．
2．如图所示的是由4个大小相同的小正方体搭建而成的几何体，则该几何体的左视图为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据三视图的知识得出结论即可．
解：由题意知，几何体的左视图为，
故选：C．
【点评】本题主要考查三视图的知识，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
3．2022年12月26日是伟大领袖毛主席诞辰129周年纪念日，伟人在他的诗词中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，那么数据“八万里”用科学记数法可表示为（　　）
A．8×104里 B．8×105里 C．0.8×105里 D．8×103里
【分析】科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
解：八万里＝80000里＝8×104里，
故选：A．
【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为±a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．
4．下列运算正确的是（　　）
A．4m2﹣3m2＝1 B．6m2÷2m＝3m
C．（1+m）2＝1+m+m2 D．（﹣3m2n）2＝9m2n
【分析】根据合并同类项的方法可以判断A；根据单项式的除法可以判断B；根据完全平方公式可以判断C；根据积的乘方可以判断D．
解：4m2﹣3m2＝m2，故选项A错误，不符合题意；
6m2÷2m＝3m，故选项B正确，符合题意；
（1+m）2＝1+2m+m2，故选项C错误，不符合题意；
（﹣3m2n）2＝9m4n2，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
5．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝cm，则线段AB的长是（　　）

A．cm B．cm C．cm D．2cm
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
∴＝，
∵BC＝cm，
∴AB＝cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
6．将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由x+3＞2，得：x＞﹣1，
由1，得：x≤3，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．小明坚持每天进行体育锻炼，如表是小明近一周的体育锻炼时间表：
日期
12.12
12.13
12.14
12.15
12.16
12.17
12.18
时间（分钟）
35
41
47
47
41
50
41
则这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．41，47 B．44，47 C．41，41 D．44，41
【分析】根据中位数、众数的定义即可求得．
解：观察数据可知，41出现三次，故众数为41；
将数据从小到大排列为：35、41、41、41、47、47、50，则中位数为41．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数与中位数的计算，掌握众数与中位数的定义并应用是解题的关键．
8．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠B＝40°，则∠OAC的度数是（　　）

A．25° B．30° C．40° D．50°
【分析】由圆周角定理得到∠BOC＝80°，由等腰三角形的性质即可求出∠OAC的度数．
解：∵∠B＝40°，∠B＝∠BOC，
∴∠BOC＝80°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠BOC）＝50°．
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，关键是掌握圆周角定理．
9．在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系y＝﹣x2+x+，则小康这次实心球训练的成绩为（　　）

A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．
解：当y＝0时，则﹣x2+x+＝0，
解得x＝﹣2（舍去）或x＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
10．如图，四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AB＝4，扇形BEF的半径为4，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．2π﹣4 D．2π﹣2
【分析】根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌△DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，
∴∠A＝60°，∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB＝4，
∴△ABD的高为2，
∵扇形BEF的半径为4，圆心角为60°，
∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，
∴∠3＝∠4，
设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，
在△ABG和△DBH中，
，
∴△ABG≌△DBH（ASA），
∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD＝﹣×4×2＝﹣4．
故选：A．

【点评】此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算：﹣＝　　．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
解：＝2﹣＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．
12．如图所示的是一组有规律的图案，则第n个图案中“”的个数为 　（n+1）2　.（用含n的代数式表示）

【分析】观察图形，找出规律即可．
解：观察发现：
第一个图形有4＝（1+1）2个，
第二个图形有9＝（2+1）2个，
第三个图形有16＝（3+1）2个，
…，
第n个图形（n+1）2个，
故答案为：（n+1）2．
【点评】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律，利用规律，解决问题．
13．如图，直线AB与反比例函数y＝的图象交于点A，B，与x轴交于点D，过点A作AC⊥y轴于点C，若S△ACD＝6，则k＝　﹣12　．

【分析】连接OA，由AC⊥y轴于点C，得出AC∥x轴，即可得出S△ACD＝S△AOC，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出SACD＝S△AOC＝6＝|k|，解得k＝﹣12．
解：连接OA，
∵过点A作AC⊥y轴于点C，
∴AC∥x轴，
∴S△ACD＝S△AOC，
∴SACD＝S△AOC＝|k|，
∵S△ACD＝6，
∴|k|＝6，
∵k＜0，
∴k＝﹣12．
故答案为：﹣12．

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了同底等高的三角形面积相等，反比例函数系数k的几何意义，明确SACD＝S△AOC是解题的关键．
14．2023年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩．湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．则1艘大船可以满载游客的人数为 　18人　．

【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客60人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客26人．列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为18人，
故答案为：18人．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．如图，在菱形ABCD中，边长为2+2，∠ABC＝60°，E，F分别是边AB，BC上的点，且AE＝2，若将△EBF沿着EF折叠，使得点B恰好落在AD边上的点B'处，EB'∥BD，折痕为EF，则AB'的长为 　2　．

【分析】过点B′作B′G⊥BA，交BA的延长线于点G，设AG＝x，根据折叠的性质得出B′E＝BE，解直角三角形求解即可．
解：如图，过点B′作B′G⊥BA，交BA的延长线于点G，∠B′GA＝90°，

∵AE＝2，AB＝2+2，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
由折叠的性质得，B′E＝BE＝2，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，
∴∠B′AG＝60°，
∴∠AB′G＝30°，
设AG＝x，
在Rt△AB′G中，tan∠B′AG＝＝，cos∠B′AG＝＝，
∴B′G＝x，AB′＝2x，
∴GE＝AG+AE＝x+2，
∵EB′2＝EG2+B′G2，
∴＝（x+2）2+，
∴x＝1或x＝﹣2（舍去），
∴AG＝1，
∴AB＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了折叠的性质、菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、菱形的性质是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）计算：×﹣（﹣2）0+（﹣）﹣1；
（2）解方程：x2﹣2x＝9．
【分析】（1）先化简各二次根式、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）将方程两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
解：（1）原式＝×
＝2﹣1﹣3
＝﹣2；
（2）∵x2﹣2x＝9，
∴x2﹣2x+1＝9+1，即（x﹣1）2＝10，
则x﹣1＝，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查实数的运算和解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的方法求解．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）以AC为直径，利用尺规作⊙O，⊙O交AB于点D．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）在（1）中所作的图中，若tan∠BCD＝，BC＝3，求⊙O的半径．

【分析】（1）先作AC的垂直平分线得到AC的中点O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆交AB于点D；
（2）先利用圆周角定理得到∠ADC＝90°，则利用等角的余角相等得到∠A＝∠BCD，所以tanA＝tan∠BCD＝，然后在Rt△ABC中利用正切的定义可求出AC的长，从而得到⊙O的半径．
解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）∵AC为直径，
∴∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴tanA＝tan∠BCD＝，
在Rt△ABC中，∵tanA＝＝，
而BC＝3，
∴AC＝4，
∴⊙O的半径为2．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
18．布艺手袋因节能时尚，成为学生一族的新宠．该商店用1200元购进第一批布艺手袋，很快售罄，于是又花费4500元购进第二批布艺手袋，所购数量是第一批的2倍，已知第二批布艺手袋的单价比第一批布艺手袋的单价贵7元．求第一批购进的布艺手袋的单价．

【分析】第一批购进的布艺手袋的单价为x元，根据第二批所购数量是第一批的2倍，列分式方程，求解即可．
解：设第一批购进的布艺手袋的单价为x元，
根据题意，得，
解得x＝8，
经检验，x＝8是原方程的根，且符合题意，
答：第一批购进的布艺手袋的单价为8元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
19．为了贯彻落实国务院提出的“健康第一”的指导思想，切实加强学校体育工作，使学生养成良好的锻炼习惯，提高学生体质的健康水平，《国家中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准如表：
等级
A：优秀
B：良好
C：及格
D：不及格
分数（x/分）
86≤x≤100
76≤x＜86
60≤x＜76
0≤x＜60
太原市某校从九年级学生中随机抽取了400名学生进行了体质测试，将调查结果整理后绘制成如图所示的两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：

（1）在这被抽查的九年级学生中，优秀的有 　120　人，及格的有 　60　人．
（2）求所抽取的400名学生的平均分．
（3）该校校委会决定从获得优秀奖成绩前三名学生中选取2名同学参加省体质测试，已知前三名学生中只有1名男生，请用列表或画树状图的方法求所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
【分析】（1）由被抽查的学生总人数分别乘以各等级的百分比即可；
（2）求出不及格的人数和良好的人数，再由加权平均数的定义列式计算即可；
（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）在这被抽查的九年级学生中，优秀的有：400×30%＝120（人），
及格的有：400×（1﹣30%﹣10%﹣45%）＝400×15%＝60（人），
故答案为：120，60；
（2）不及格的人数有：400×10%＝40（人），
良好的人数有：400×45%＝180（人），
∴所抽取的400名学生的平均分为：＝79.9（分）；
（3）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有4种，
∴所选的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．
【点评】本题考查的是用树状图法求概率、加权平均数以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．阅读与思考．
阅读下列材料，并完成相应的任务．
纯几何法验证勾股定理
我们知道，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的验证方法到目前为止也有300多种，最著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“达芬奇法”“欧几里得法”等等．下面我们介绍一种纯几何验证法．
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，先证明△ACD∽△ABC，可得AC2＝AD•AB，再证明△BCD∽△BAC，可得BC2＝BD•AB，两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法繁琐的证明，不失为一种很好的验证方法．
任务：
（1）根据材料中的方法，请写出完整的证明过程．
（2）如图2，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”，图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若a＝3，b＝10，求该矩形的面积．

【分析】（1）根据直角三角形的性质推出△ACD∽△ABC，△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质结合等式的性质求解即可；
（2）设小正方形的边长为x，则BC＝a+x，AB＝b+x，根据勾股定理求出x2+13x＝30，再根据矩形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACD，
∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AB•AD，
同理，△BCD∽△BAC，
＝，
∴BC2＝BD•AB，
∴AC2+BC2＝AB•AD+BD•AB＝AB（AD+BD），
∴AC2+BC2＝AB2；
（2）解：设小正方形的边长为x，则BC＝a+x＝3+x，AB＝b+x＝10+x，
∵a＝3，b＝10，
∴AC＝3+10＝13，
在Rt△ABC中，AC2＝BC2+AB2，
∴132＝（3+x）2+（10+x）2，
∴x2+13x＝30，
∵矩形的面积＝（3+x）（10+x）＝x2+13x+30，
∴矩形的面积＝30+30＝60．
【点评】此题考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟记相似三角形的判定定理及性质定理、勾股定理是解题的关键．
21．如图1所示的是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分组成，图2是它的简易平面图，小明想知道灯管D距地面AF的高度，他在地面F处测得灯管D的仰角为45°．在地面E处测得灯管D的仰角为53°，并测得EF＝2.2m，已知点A，E，F在同一条直线上，请根据以上数据帮小明算出灯管D距地面AF的高度（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．

【分析】过点D作DG⊥AF，垂足为G，设EG＝x米，则FG＝（x+2.2）米，然后在Rt△EGD中，利用锐角三角函数的定义求出DG的长，再在Rt△DFG中，利用锐角三角函数的定义可得DG＝FG，从而可得x＝x+2.2，最后进行计算即可解答．
解：过点D作DG⊥AF，垂足为G，

设EG＝x米，
∵EF＝2.2米，
∴FG＝EF+EG＝（x+2.2）米，
在Rt△EGD中，∠DEG＝53°，
∴DG＝EG•tan53°≈x（米），
在Rt△DFG中，∠DFG＝45°，
∴tan45°＝＝1，
∴DG＝FG，
∴x＝x+2.2，
解得：x＝6.6，
∴DG＝FG＝x+2.2＝8.8（米），
∴灯管D距地面AF的高度约为8.8米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．综合与实践
问题情境：如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D，E分别是AC，BC的中点，连接DE．
操作发现：（1）如图2，将△CDE绕着点C逆时针旋转α°，连接BE和AD，小明发现AD＝BE，BE⊥AD，请你证明该结论．
猜想探究：（2）如图3，将△CDE绕着点C逆时针旋转α°（0＜α＜90），此时恰好有CE⊥BE，连接AD，延长BE，交AD于点F，试猜想四边形CDFE的形状，并说明理由．
拓展探究：（3）如图4，将△CDE绕着点C逆时针旋转α°（90＜α＜270），直接写出四边形AEDB的面积的最大值．

【分析】（1）延长BE交AD于点F，根据SAS证△ADC≌△BEC，然后根据角的互余关系得出BE⊥AD即可；
（2）利用（1）的结论，有三个角是直角的四边形是矩形，一组邻边相等的矩形是正方形，得出结论即可；
（3）利用四边形的面积等于两条对角线及夹角正弦积的一半来计算即可．
解：（1）延长BE交AD于点F，
如下图：

∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠DCA＝∠ECB，
在△ADC和△BEC中，
，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠DAC＝∠EBC，
∵∠CBA+∠CAB＝90°，
∴∠FBA+∠BAF＝90°，
∴BE⊥AD；
（2）正方形，
∵∠DCE＝90°，∠CEF＝90°，
由（1）知，∠EFD＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵DC＝EC，
∴四边形CDFE是正方形；
（3）由（1）知，BE⊥AD，S四边形AEDB＝AD•BE，
∵CE+CB＞BE，CA+CD＞AD，
∴当点C在线段BE上，且AC⊥BE时，四边形AEDB的面积有最大值，
此时，BE＝AD＝2+1＝3，
∴S四边形AEDB＝AD•BE＝×3×3＝，
即四边形AEDB的面积的最大值为．
【点评】本题主要考查四边形的综合知识，熟练掌握正方形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
23．综合与探究．
如图1，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过（2，﹣3），（﹣2，3），且与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求证：△AOC∽△COB．
（3）如图2，动点P从点B出发，沿着线段BA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点Q从点A出发，以相同的速度沿着线段A向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，连接PQ，设P，Q运动的时间为t秒，在点P，Q运动的过程中，△APQ是否成为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法求解；
（2）根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行证明；
（3）分三种情况讨论，分别根据AQ＝AP，平行线的性质，三角形相似的性质分别求解．
解：（1）由题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；
（2）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x＝1或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AO＝4，CO＝2，BO＝1，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC～△COB；
（3）∵AO＝4，OC＝2，∠AOC＝90°，
∴AC＝2，
当AP＝AQ时，t＝5﹣t，解得：t＝2.5；
当AQ＝PQ时，如图1，

过点Q作QD⊥AO于点D，则AD＝DP＝（5﹣t），
∵DQ∥OC，
∴，即：，
解得：t＝，
当AP＝PQ时，如图2，过点P作PQ′⊥AC于点Q′，
则AQ＝2AQ′，
∵∠OAC＝∠OAC，∠PQ′A＝∠AOC＝90°，
∴△APQ′～△ACO，
∴，即：，
解得：t＝．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法和相似三角形的性质是解题的关键．