重庆市璧山来凤中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

重庆市璧山来凤中学2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为(   )

A. B. C.2 D.

2、高二年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(   )

A.6种 B.7种 C.8种 D.9种

3、已知函数的导函数为，且，则(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

4、设是可导函数，且，则(   )

A. B. C.0 D.

5、设为等差数列的前n项和，，，则(   )

A.-6 B.-4 C.-2 D.2

6、若在R上可导且，其导函数满足，则的解集是(   )

A. B. C. D.R

7、某台晚会有ABCDEF这6个节目，其中A与C相邻且A排在C的前面，B与D不相邻且均不排在最后，则6个节目的不同排法有(   )

A.72 B.48 C.36 D.24

8、若，恒成立，则整数k的最大值为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

二、多项选择题

9、函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题(   )

A.是函数的极值点

B.是函数的最小值点

C.在区间上单调递增

D.在处切线的斜率小于零

10、设为函数的导函数，已知，，则下列结论正确的是(   )

A.在单调递增 B.在单调递增

C.在上有极大值 D.在上有极小值

11、已知函数的导函数的两个零点为1，2，则下列结论正确的有(   )

A.  B.在区间的最大值为0

C.只有一个零点 D.的极大值是正数

12、已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是(   )

A.函数在上为增函数 B.是函数的极小值点

C.函数必有2个零点 D.

三、填空题

13、用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为__________(用数字作答).

14、函数从1到a的平均变化率为，则实数a的值为___________.

15、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则________吨.

16、已知函数，若关于x的不等式有且仅有1个整数解，则a的取值范围为___________.

四、解答题

17、已知函数，求：

（1）函数的图象在点处的切线方程；

（2）的单调递减区间.

18、已知双曲线的离心率为，实轴长为2.

(1)写出双曲线的渐近线方程；

(2)直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数k的取值范围.

19、如图，在三棱柱中，平面，D，E，F分别为，，的中点，，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的余弦值.

20、已知函数.

(1)求极值点；

(2)若，证明：时，成立.

21、已知函数.

(1)求的最大值；

(2)若恒成立，求a的值.

22、已知函数.

(1)讨论的单调区间；

(2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：由题意可得，

所求曲线在点处的切线的斜率为，又切线与直线平行，

，

故选：D.

2、答案：D

解析：解：因为选派的3人中至少有1名女生，且总共有2名女生，

所以当选派的3人中有1名女生时，有种方案，

当选派的3人中有2名女生时，有种方案，

所以根据分类加法计数原理得共有：种不同的选派方案.

故选：D.

3、答案：B

解析：由题：函数的导函数为，且，

所以，

令，，

解得.

故选：B.

4、答案：B

解析：解：，

.

故选：B.

5、答案：A

解析：由已知得

解得，.

故选A.

6、答案：C

解析：设，则，

因为，所以在R上恒成立，所以单调递减，

又得，由等价于，

所以，即的解集是.

故选：C.

7、答案：C

解析：解：先将A与C捆绑在一起和另外两个确定的节目进行全排列，有种排法，

再将B与D插排在3个空里(最后1个空不排)，有种排法，

由乘法分步原理得6个节目的不同排法有.

故选：C.

8、答案：C

解析：恒成立，即恒成立，即的最小值大于k，，令，则，在上单调递增，又，，存在唯一实根a，且满足，.当时，，；当时，，，，故整数k的最大值为3.故选C.

9、答案：AC

解析：根据导函数图象可知当时，，在时，，

函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；

则-3是函数的极小值点，故A正确；

在上单调递增，-1不是函数的最小值点，故B不正确；

函数在处的导数大于0，切线的斜率大于零，故D不正确；

故选：AC.

10、答案：BD

解析：因为，则，

所以，即，

设，则，

令，解得：，令，解得：，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，取得极小值.

故选：BD.

11、答案：BC

解析：因为，且，，所以，化简得，解得，，

因为，所以，，所以，故A错误；

由，可知为开口向下的二次函数，且零点为1，2，则当或时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以为极小值点，为极大值点，则的极大值为，故D错误；

由函数的单调性可知，函数在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，所以在区间的最大值为0，故选项B正确；

函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以只有一个零点0，故C正确；

故选：BC.

12、答案：BD

解析：函数，则，

当时，，故在上为增函数，A错误；

当时，，故在单调递减，故是函数的极小值点，B正确；

若，则有两个零点，

若，则有一个零点，

若，则没有零点，故C错误；

在上为增函数，则，即，化简得，D正确；

故选：BD.

13、答案：36

解析：根据题意，个位数字是1，3，5共有3种可能，由于还剩下4个数字，排列两个位置

故可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为，故答案为36.

14、答案：9

解析：，，，，

从1到a的平均变化率，解得，

故答案为：9.

15、答案：20

解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，，当，即吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小.

16、答案：

解析：由，，

令，解得：，

令，解得：，

的递增区间为，递减区间为，故的最大值是；

时，，时，，，故在时，，在时，，

函数的图象如下：

①时，由不等式得或，

而时无整数解，的解集为，整数解有无数多个，不合题意；

②时，由不等式，得，解集为，

整数解有无数多个，不合题意；

③时，由不等式，得或，

的解集为无整数解，

因为在递增，在递减，且，

而的解集整数解只有一个，故这一个正整数解只能为1，

，；

综上，a的取值范围是，

故答案为：.

17、

（1）答案：

解析：由题意得：，

，又，

在处的切线方程为，即.

（2）答案：，

解析：由(1)知：，

当时，；当时，；

的单调递减区间为，.

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)由已知有，，所以，，

所以双曲线方程为，或，渐近线方程为；

(2)设两交点坐标分别为，，

联立，消去y得，

由已知，因为直线与双曲线右支交于不同的两点，

所以解得，

实数k的取值范围为.

19、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)在三棱柱中，

平面，

故四边形为矩形.

又E，F分别为，的中点，

，

又，

，

，平面，平面，

平面.

(2)由(1)知，，

由平面，

平面.

如图建立空间直角坐称系.

由题意得，，，，，，，

，，

设平面的法向量为，

，

，

令，则，，

所以平面的法向量，

又平面的法向量为，

.

所以二面角的余弦值为.

20、答案：(1)极大值点为，无极小值点

(2)证明见解析

解析：(1)解：由题意，得，

令，得；，得；

列表如下：

所以极大值点为，无极小值点.

(2)证明：，

令，

.

当时，，，从而，

，在上是增函数，.

当时，成立.

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)因为，所以，

由得；得；

所以在上单调递增，在上单调递减，

故，即.

(2)要使成立必须，

因为，所以当，；当时，.

所以在上单调递减，在上单调递增.

所以，所以满足条件的a只有2，即.

22、答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)，

①当时，由于，故，，

所以的单调递增区间为；

②当时，由，得，

在区间上，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)由题目知，只需要即可，

又因为，所以只需要即可，

即等价于恒成立，

由变量分离可知，，

令，下面求的最小值，

令，所以得，

所以在为减函数，为增函数，

所以，所以.