2023汉中高三下学期第二次质量检测考试数学（理）含答案

汉中市2023届高三年级教学质量第二次检测考试

数学（理科）

（命题学校 : 西乡一中）

本试卷共23小题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.      

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设全集为，集合，，则（    ）

A.      B.       C.       D.

2.已知复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点

所在的象限为（   ）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 若，且，则的值为（   ）

A．       B．         C．          D．

4. 蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”. 画法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，作一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D（第一段圆弧），再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E，再以点A为圆心，AE为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有11段圆弧时，“蚊香”的长度为（    ）

A. B. C. D.

5.设，则“”是“直线与直线平行”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知点在圆上，且，为圆上任意一点，则的最小值（ ）

A.0 B. C. D.

7. 定义在上的函数满足以下三个条件：

①对于任意的，都有；

②函数 的图象关于轴对称；

③对于任意的，都有；

则、、的大小关系是（    ） 

A.      B.

C.      D.

8. 如图，在正方体中，点在线段上运动，

则下列叙述不正确的结论是（    ）

A.直线平面

B.三棱锥的体积为定值

C.异面直线与所成角的取值范围是

D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为

9.已知函数满足下列两个条件：

①函数是奇函数；②，且．

若函数在上存在最小值，则实数的最小值为（    ）

A．   B．    C．   D．

10.已知函数的定域为，图象恒过点，对任意，当时，都有，则不等式的解集为（  ）

A．   B． C． D．

11.已知双曲线左，右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A．         B．       C.         D．

12.设分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 

13. 已知向量，，且与垂直，则______．

14. 在中，，，,在线段上，若与的面积之比为，则__________.

15. 已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为________.

16. 已知为坐标原点，抛物线的方程为，直线与交于两点，若，则面积的最小值为________.

三、解答题：共70分. 解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤. 第17～21题是必考题，每个考生都必须作答. 第22、23题是选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心.据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；

（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取 5 人，再从这5人中随机  

抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；

（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否

关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X，求随机变量X的分布列及期望.

18.（本小题满分12分）

如图，等腰梯形中，，，，E为中点，以 为折痕把折起，使点到达点的位置（平面ABCD）．

（1）求证：；

（2）若把折起到当时，求二面角的余弦值．

19.（本小题满分12分）

已知数列的前项和为，                .  从:①；

②；③中选出一个能确定的条件，补充到横线处，并解答下面问题.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列，求数列的前项和.

20. （本小题满分12分）

已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率．

(1)求的标准方程；

(2)设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点 恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．

21.（本小题满分12分）

已知函数的图象在点处的切线与直线平行．

（1）求实数的值，并求函数的单调区间；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分. 考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

   在平面直角坐标系 中，直线的参数方程为(为参数)， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

(2) 设，直线与曲线交于两点，求.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

    设，

（1）求的解集；

（2）设的最小值为,若

求的最小值.