2022无锡高二下学期期末考试数学含解析

无锡市普通高中2022年春学期高二期终调研考试试题

数学

命题单位：江阴市教师发展中心    制卷单位：宜兴市教师发展中心

注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1. 已知集合或，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据集合的关系、集合的交集、并集定义判断．

【详解】，但，A错；

，但，B错；

，C正确，或，D错．

故选：C．

2. 球的体积V（单位：）与半径R（单位：）的关系为，则时体积关于半径的瞬时变化率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可得所求时体积关于半径的瞬时变化率为，所以对函数求导后代值计算即可

【详解】由，得，

所以时体积关于半径的瞬时变化率为，

故选：C

3. 已知幂函数的图像过点，则（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得；

【详解】解：设，依题意，所以，

所以，所以；

故选：B

4. 已知随机变量，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】由二项分布的概率公式求得，再根据方差公式计算．

【详解】由已知，，

所以．

故选：A．

5. 对于样本相关系数r，下列说法不正确的是（    ）

A. 样本相关系数r可以用来判断成对数据相关的正负性

B. 样本相关系数

C. 当时，表明成对样本数据间没有线性相关关系

D. 样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度也越强

【答案】D

【解析】

【分析】根据相关系数：1.；2.，则成对数据正相关,，则成对数据为负相关；3. ，线性相关程度越强，，线性相关程度越弱，时，则成对样本数据间没有线性相关关系；理解辨析．

【详解】根据相关系数的理解：

，B正确；

，则成对数据为正相关；，则成对数据为负相关； A正确；

，线性相关程度越强，，线性相关程度越弱，时，则成对样本数据间没有线性相关关系，C正确，D不正确；

故选：D．

6. 已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台常用设备，两台备用设备）的配置．这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断线．如果一台常用设备正常工作的概率为，两台备用设备正常工作的概率均为，且它们之间互不影响，则该计算机网络不会断线的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用其对立事件三台设备均不能正常工作计算．

【详解】由题意所求概率为．

故选：D．

7. 已知函数关于x的方程有3个不同的实数解，则a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得：与有三个交点，结合图象分析，并把代入检验．

【详解】由题意可得：与有三个交点

如图，当时，符合题意

当时，与只有一个交点

令，则或

∴，符合题意

综上所述：

故选：B．

8. 已知随机变量服从正态分布，有下列四个命题：

甲：          乙：

丙：          丁：

若这四个命题中有且只有一个是假命题，则该假命题为（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】D

【解析】

【分析】由甲乙两个有一个正确得的均值为，可得甲乙正确，然后由正态分布的性质判断丙丁．

【详解】首先甲、乙中至少有一个正确，因此是的均值，从而甲乙两个均正确，

，丙正确，

而，丁错误．

故选：D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 已知，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BD

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断各选项．

【详解】当时，如，时成立，A错；

若则一定有，所以时，一定有，B正确；

，但，C错；

，则，D正确．

故选：BD．

10. 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．下列结论正确的是（    ）

A. 每次随机抽取一个零件，抽出的零件不放回，第1次抽到次品的概率和第2次抽到次品的概率不相同

B. 任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是0.75

C. 任取一个零件，它是次品的概率小于0.06

D. 如果取到的零件是次品，那么它是第2台车床加工的概率是

【答案】BC

【解析】

【分析】由条件概率公式计算后判断．

【详解】记事件为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第台机床加工”，，，且两两互斥，

由题意，，，，，

由全概率公式第1次抽到次品的概率，

第2次取得次品与第1次取得次品这两个事件是相互独立的，因此第2次取得次品的概率仍然是，A错；

任取一个零件，它不是第1台车床加工的概率是，B正确；

由A选项计算结论知C正确；

，D错；

故选：BC．

11. 已知，下列结论正确是（    ）

A.

B. 当时，设，则

C. 当时，中最大的是

D. 当时，

【答案】AD

【解析】

【分析】令可得各项系数和判断A，根据二项式定理求得判断B，求出后判断C，在展开式中先求得，再令计算后判断D．

【详解】在已知式中令得，A正确；

时，，

，

，，B错；

时，，

，C错；

在中，令得，

令，则，

所以，D正确．

故选：AD．

12. 已知函数，下列结论正确的是（    ）

A. 当时，的图像关于y轴对称

B. 当时，的图像关于点中心对称

C. ，使得为上的增函数

D. 当时，若在上单调递增，则的最小值为

【答案】BCD

【解析】

【分析】判断奇偶性后可判断A，由计算可判断B，利用可判断C，求出，由得的表达式，求得最小值判断D．

【详解】时，，，是奇函数，A错；

时，，，

所以的图象关于点对称，B正确；

，，

当时，恒成立，在上递增，C正确；

，，

，所以有两个不等的实根，设，在或时，，时，，即在上单调递增，

，，

，

所以时，取得最小值，即取得最小值，D正确．

故选：BCD．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13. 已知离散型随机变量X的方差为1，则__________．

【答案】9

【解析】

【分析】利用方差的关系求解．

【详解】

所以．

故答案为：9．

14. 在的展开式中，x的系数为_______．

【答案】

【解析】

【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中含x项的系数．

【详解】的展开式中，

通项公式为，
令，求得，可得展开式中含x项的系数.
故答案为：．

15. 写出一个同时具有下列性质①②的函数____________．

①；②．

【答案】（答案不一）

【解析】

【分析】本题属于开放性问题，只需填写符合要求的即可；

【详解】解：依题意令，则，；

故答案为：（答案不一）

16. 一份快递从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，5个环节有a，b两种运输方式，第2，4个环节有b，c两种运输方式，第3个环节有c，d，e三种运输方式，快递从甲送到乙，第1个环节使用a运输方式的运输顺序共有___________种；快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有__________种．

【答案】    ①. 24    ②. 16

【解析】

【分析】空1： 2，4，5个环有各有两种运输方式选择，第3个环节有c，d，e三种运输方式选择，利用分步乘法运算法则运算处理；空2：第3个环节有d，e两种运输方式，1，2，4，5个环有两个环节运输方式相同，另外两个两个环节运输方式不同，同时分情况讨论：若第1，5个环节或第2，4个环节相同，若第1，2个环节或第1，4个环节或第2，5个环节或第4，5个环节相同，运算求解．

详解】根据题意可得：

第1个环节使用a运输方式的运输顺序共有种

快递从甲送到乙有4种运输方式，则第3个环节有d，e两种运输方式，1，2，4，5个环有两个环节运输方式相同，另外两个环节两个运输方式不同

若第1，5个环节或第2，4个环节相同，则种

若第1，2个环节或第1，4个环节或第2，5个环节或第4，5个环节相同，则种

快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种

故答案：24；16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知，．

（1）当时，求；

（2）已知“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求出，从而可求，故可求.

（2）根据题设条件可得，从而可求.

【小问1详解】

或，

当时，，

所以或，

【小问2详解】

，

由“”是“”的必要条件得

所以，解得．

18. 某地区2015年至2021年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：

（1）求y关于t的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．

【答案】（1）   

（2）预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入为23千元

【解析】

【分析】（1）根据已知数据计算出回归方程中的系数得回归方程；

（2）由回归方程中变量的系数可得变化情况，由回归方程可得预测值．

【小问1详解】

由所给数据计算得

，

，

，,

所求回归方程为．

【小问2详解】

由（1）知，，故2015年至2021年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加1.5千元．

将2023年的年份代号，代入（1）中的回归方程，得，

故预测该地区2023年农村居民家庭人均纯收入为23千元．

19. 设，曲线在点处的切线斜率为．

（1）求a的值；

（2）求函数的极值．

【答案】（1）   

（2）极大值为，极小值为

【解析】

【分析】（1）根据切线的斜率，利用导数的几何意义求解即可；

（2）求出函数的导数，求导函数的零点，列表即可得解.

【小问1详解】

由，

得，

令，则，

因为，得

【小问2详解】

由（1）可得，

令，解得，．

当变化时，的变化如下表：

所以，当时，取到极大值，且极大值为；

当时，取到极小值，且极小值为．

20. 某公司对400名求职员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否预录用．公司对400名求职员工的测试得分（测试得分都在内）进行了统计分析，得分不低于90分为“优”，得分低于90分为“良”，得到如下的频率分布直方图和列联表．

（1）完成上面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联；

（2）该公司拟在业务测试成绩为优秀的求职人员中抽取部分人员进行个人发展的问卷调查，以获取求职者的心理需求，进而制定正式录用的方案，按照表中得分为优秀的男女比例分层抽取9个人的样本，并在9人中再随机抽取5人进行调查，记5人中男性的人数为X，求X的分布列以及数学期望．

参考公式：

．

【答案】（1）列联表见解析，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联   

（2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）由已知数据完善列联表，计算后与临界值比较可得；

（2）求出9人中男性和女性的人数，然后由求出的各概率得分布列，由期望公式计算期望．

【小问1详解】

得分不低于90分的人数为：，所以填表如下：

根据列联表中的数据，经计算得到

，

所以依据小概率值的独立性检验，不能认为求职员工的业务水平优良与否与性别有关联．

【小问2详解】

得分为优秀的男女比例为，所以9人中男性有6人，女性有3人．

因此X的可能值为2，3，4，5

；；

；．

所以X的分布列为

X的数学期望为

．

21. 某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为A，B，C三个部分．如果扔进A部分一次，或者扔进B部分两次，或者扔进C部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A部分的概率为p，扔进B部分的概率是扔进A部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．

（1）若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为，求p；

（2）设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为，试比较与的大小．

【答案】（1）   

（2）当时，；

当时，；

当时，．

【解析】

【分析】（1）由题意可知，恰好游戏过关包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次与第二次均扔中B部分”两个事件，然后求解即可;

（2）第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进B部分且有两次扔进C部分,根据独立重复事件的概率计算即可.

【小问1详解】

解：扔进B部分的概率为，扔进C部分的概率为，且．

（1）小杨第二次扔完沙包后，恰好游戏过关包含“第一次未扔中A部分，第二次扔中A部分”和“第一次与第二次均扔中B部分”两个事件，则概率为，

由，得，解得或者，

又，

所以．

【小问2详解】

第四次扔完沙包后，恰好游戏过关后游戏过关需前三次扔完后有一次扔进B部分且有两次扔进C部分，

因此，

又，

，又，所以，

当时，；

当时，；

当时，．

22. 已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若有两个零点，求实数a的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）求出导函数，由导函数的正负确定单调性得极小值，求得极小值后可证不等式成立；

（2）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调区间，有极值的求得极值，结合零点存在定理得零点个数，从而得参数范围．

【小问1详解】

当时，令．

令，解得，

所以，当时，取到最小值，且最小值为，

即恒成立．

【小问2详解】

，

1）当时，，所以上单调递增，故至多存在一个零点，不合题意．

2）当时，由可得，

当时在上单调递减；

当时在上单调递增；

故当时，取到最小值，且最小值为．

①若在上至多存在一个零点，不合题意；

②若；由于，所以在上存在唯一零点．

．

设，则，

当时，，所以在上单调递增．

因为，所以，即．

从而在上有两个零点．

综上，a的取值范围为．