2021-2022学年北京市顺义区高二年级下册学期期中考试数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市顺义区高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．8，2的等差中项是（    ）

A．±5 B．±4 C．5 D．4

【答案】C

【分析】利用等差中项的定义直接求解.

【详解】8，2的等差中项为.

故选：C

2．已知，则的值为（   ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据导数计算公式与法则即可得结果．

【详解】由，则，所以，

故选：B．

3．已知数列中，，是数列的前项和，则最大值时的值为（   ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】首先表示出，再根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，所以

所以当时取最大值，且；

故选：B

4．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用常见函数的导数对选项分别求导即可.

【详解】对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，，B选项错误；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项正确．

故选：D

5．设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝（　　）

A．﹣63 B．63 C．﹣31 D．31

【答案】A

【解析】由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出.

【详解】解：设公比为，则，即，解得，所以，

所以，

故选:A.

6．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数求出所求切线的方程，进而可求得切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式即可得解.

【详解】令，则，，

所以，曲线在点处的切线方程为，

与轴的交点为，与轴的交点为，故所求三角形的面积为．

故选：D．

【点睛】本题考查切线与坐标轴围成的三角形面积计算，解答的关键就是求出切线的方程，考查计算能力，属于基础题.

7．在等差数列中，若，是方程的两根，则的前12项的和为（    ）

A．12 B．18 C．－18 D．－12

【答案】C

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，由等差数列性质及前项和公式计算即可得出结果.

【详解】由，是方程的两根，利用韦达定理可得；

则的前12项的和；

由等差数列性质可得，即；

故选：C

8．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（    ）

A．尺 B．尺 C．尺 D．尺

【答案】B

【解析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.

【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，

且，故公差，

故，

故选：B.

9．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由导数判断单调性求解

【详解】，由题意恒成立，故

解得

故选：A

10．已知函数，下列结论中错误的是（    ）

A．函数有零点

B．函数有极大值，也有极小值

C．函数既无最大值，也无最小值

D．函数的图象与直线y=1有3个交点

【答案】C

【分析】由确定A正确，结合导数判断BCD选项的正确性.

【详解】，所以A选项正确.

，所以在区间上递增，在区间上递减，

所以当时，有极大值，

当时，有极小值，所以B选项正确.

注意到恒成立，所以是的最小值，C选项错误.

画出的大致图象如下图所示，由图可知函数的图象与直线y=1有3个交点，D选项正确.

故选：C

二、填空题

11．函数在处有极值，则常数a＝______．

【答案】1

【分析】根据极值定义可得，求导并将代入计算即可求得

【详解】由可得，

又在处有极值，所以可得，

即，所以.经检验满足题意，

故答案为：1

12．已知数列中，，，则__________．

【答案】

【分析】直接由递推式逐一计算得出即可得解．

【详解】由题意，，，．

故答案为：．

三、双空题

13．已知函数的定义域为R，的导函数，若函数无极值，则a=___________；若x=2是的极小值点，则a的取值范围是___________.

【答案】         

【分析】对进行分类讨论，结合函数的单调性确定正确结论.

【详解】当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.

当时，，在上递增，无极值.

当时，在区间上递增，在区间上递减.的极大值点为，极小值点为.

故答案为：；

四、填空题

14．已知数列满足：，，的前n项和为，则______．

【答案】

【分析】利用裂项求和即可求得答案.

【详解】由已知可得，

故

.

故答案为:

15．已知函数其中.如果对于任意，，且，都有，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【分析】把题意翻译为函数在上单调递增，则两段函数分别递增，且在分界处右端点大于等于左端点的函数值即可．

【详解】解：对于任意，，且，都有 成立，即函数在上单调递增，

先考察函数， 的单调性，

配方可得，

函数 在上单调递增，在 上单调递减，且（1），

，

以下考察函数， 的图象，

则，令，解得．

随着 变化时， 和 的变化情况如下：

即函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且．

对于任意，，且，都有 成立，

，

，即，

的取值范围为．

故答案为：．

五、解答题

16．已知函数．

(1)求函数在点处的切线方程；

(2)求函数在的最大值和最小值．

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数在的导数值，即切线斜率；代入直线的点斜式方程即可；（2）利用导数判断出函数在上的单调性，求出极大值和极小值，再分别求出端点处的函数值比较即可得出其最大值和最小值．

【详解】（1）易知，函数的定义域为；

所以，则切点为

又，

则在点处的切线斜率，

所以，切线方程为，整理可得

即函数在点处的切线方程为.

（2）由（1）可知，当时，，在上单调递减；

或时，，在或上单调递增；

函数在上的单调性列表如下：

所以，的极大值为，极小值为；

又，；

综上可得，函数在上的最大值为，最小值为

17．已知数列满足，，等差数列满足，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

【答案】（1），；（2）

【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求出公差，进而得到；

（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．

【详解】解：（1）由，，

可得；

设等差数列的公差为，

由，，

可得，

则；

（2），

可得数列的前项和为

．

18．已知是等差数列，其前n项和为，再从条件①条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)数列的通项公式；

(2)的最小值，并求取得最小值时n的值．

条件①：；条件②：．

【答案】(1)条件①：；条件②：

(2)条件①：时，最小值为；条件②：或时，最小值为.

【分析】（1）根据等差数列定义，设出公差利用所选条件分别解得和，即可写出数列的通项公式；（2）根据通项公式可得前n项和为的表达式，再根据二次函数性质即可求得最小值.

【详解】（1）若选择条件①：

设等差数列的公差为，由可得；

又，得，即；

解得，

所以；

即数列的通项公式为.

若选择条件②：

设等差数列的公差为，由可得；

又，即，得；

解得；

所以；

即数列的通项公式为.

（2）若选择条件①：

由可得，；

根据二次函数的性质可得当时，为最小；

即时，取最小值，且最小值为.

若选择条件②：

由可得，；

根据二次函数的性质可得当或时，为最小；

即或时，取最小值，且最小值为.

19．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．

(1) 求的值；

(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大

【答案】(1)因为时，所以；

(2)由(1)知该商品每日的销售量，所以商场每日销售该商品所获得的利润：；

，令得函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，

所以当时函数取得最大值

答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.

【详解】(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入a..于a的方程即可求a..

(2)在（1）的基础上，列出利润关于x的函数关系式，

利润=销售量（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.

20．已知函数.

(1)若曲线在x＝1处的切线与直线2x－y＋3＝0平行，求a的值；

(2)求函数的单调区间；

(3)若存在，使得，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）由导数的几何意义结合题意知，，解方程即可得出答案；

（2）对求导，讨论和时，即可得出函数的单调区间；

（3）由（2）知，当时，，则存在，使得，当时，，解不等式即可求出a的取值范围．

【详解】（1）直线2x－y＋3＝0的斜率为，

因为，所以由导数的几何意义知，，

所以，解得：.

（2）的定义域为，

，

当时，，则在上单调递增，

当时，令，解得：，

令，得；令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，则单调递增区间为；

当时，单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）若存在，使得，转化为证明，

由（2）知，当时，则在上单调递增，而，

则存在，使得，

当时，在上单调递增，在上单调递减.

所以，

解得：，因为，所以.

a的取值范围为.

21．设数列的前项和为．若对，总，使得，则称数列是“数列”．

（1）若数列是等差数列，其首项，公差．证明：数列是“数列”；

（2）若数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；

（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

【答案】（1）证明见解析；（2）数列不是“数列”；理由见解析；（3）证明见解析．

【分析】（1）根据数列的定义证明即可；

（2）由，可以判断数列不是“数列”；

（3）若，（为常数），可与判断数列是“数列”，继而可以证明成立．

【详解】解：（1）证明：由题意，

，

若，

则．

所以，存在，使得．

所以，数列是“数列”．

（2）首先，

当时，，

所以

当时，，得因此数列不是“数列”．

（3）若，（为常数），

则数列的前项和是数列中的第项，因此数列是“数列”．

对任意的等差数列，，（为公差），

设，，

则，而数列和都是“数列”．