2021-2022学年广东省茂名市信宜市高二年级下册学期开学热身考试数学试题（Ⅲ卷）【含答案】

2021-2022学年广东省茂名市信宜市高二下学期开学热身考试数学试题（Ⅲ卷）

一、单选题

1．设复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合复数的除法运算以及模长公式即可求出结果.

【详解】因为，则，则，

故选：A.

2．已知平面向量，的夹角为，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据平面向量数量积的运算公式和定义，结合平面向量模的性质进行求解即可.

【详解】，

故选：D

3．在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．.等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】由正弦定理边角互化得，进而移项整理得，再结合得或，进而得答案.

【详解】解：根据正弦定理边角互化得，

所以，

所以，

所以，即，

所以或，

所以或，即的形状是等腰或直角三角形.

故选：D

4．同时掷两枚大小相同的骰子，用（x，y）表示结果，记事件A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【分析】根据基本事件概念即可求解.

【详解】因为事件A＝{（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）}，

共包含6个样本点.

故选：D.

5．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（    ）

A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个白球

C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是白球

【答案】C

【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐个判断即可.

【详解】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故A错误；

B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，故B错误；

C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故C正确；

D：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，故D错误.

故选：C.

6．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据古典概率的计算公式计算即可.

【详解】事件A或B发生即向上的一面出现1，2，3，5，而向上的一面出现的点数共有1，2，3，4，5，6共6种可能，所以事件A或事件B发生的概率为．

故选：C.

7．手机支付已经成为人们常用的付费方式．某大型超市为调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调查，统计结果整理如下：

从该超市顾客中随机抽取1人，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为（   ）A． B． C． D．

【答案】A

【分析】算出100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的的人数，进而可以得到未使用手机支付的概率.

【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在且未使用手机支付的共有人，所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在且未使用手机支付的概率为．

故选：A.

8．棱长为1的正方体的八个顶点都在球面上，则该球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题知该球为正方体的外接球，利用正方体的棱长求出球的半径，进而求出球的表面积即可.

【详解】由题知该球为正方体的外接球，正方体的体对角线为球的直径，

设球的半径为，

则，，

所以该球的表面积为.

故选：A.

二、多选题

9．下列说法不正确的是（    ）

A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖

B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值

C．连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，可以认为这枚骰子质地不均匀

D．某市气象台预报“明天本市降水概率为70%”，指的是该市气象台专家中，有70%认为明天会降水，30%认为不降水

【答案】AD

【分析】结合概率与频率的关系以及生活中的概率的解释，逐项分析即可判断选项.

【详解】中奖概率为，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；结合概率的概念即可判断B项正确；C项中说的是“可以认为”，故C项正确：降水概率为70%就是降水的可能性有70%，故D错误.

故选：AD.

10．对于，有如下判断，其中正确的判断是（    ）

A．若，则为等腰三角形

B．在锐角中，一定有

C．若，，，则符合条件的有两个

D．若，则是锐角三角形

【答案】BC

【分析】A：由题意可得或，进而可判断三角形的形状；B：利用诱导公式及正弦函数单调性即可判断；C：结合正弦定理即可求出有两个解时边的范围即可判断；D：结合正弦定理转化为边，进而结合余弦定理即可判断.

【详解】A：因为，所以或，即或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

B：因为，则，且，，所以，即，故正确；

C：当符合条件的有两个时，边需要满足，即，因为，所以符合条件的有两个，故C正确；

D：因为，结合正弦定理，所以，故为锐角，但是是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，故D错误.

故选：BC.

11．如图，在正方体中，下列命题正确的是（    ）

A．与所成的角为

B．与所成的角为

C．与平面所成的角为

D．平面与平面所成的二面角是直二面角

【答案】BCD

【分析】根据异面直线所成的角、直线和平面所成的角的概念作出这些角，再求大小即可判断ABC，对于D，利用线面垂直的判定定理判断

【详解】解：不妨设正方体的棱长为1，

对于A，如图，因为∥，所以与所成的角，即为与所成的角，即，因为，所以，所以A错误，

对于B，如图，因为∥，所以为异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以，即与所成的角为，所以B正确，

对于C，如图，因为∥，所以四点共面，连接交于，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，即平面，所以与平面所成的角为，因为平面，所以，因为，为锐角，所以，所以与平面所成的角为，所以C正确，

对于D，如图，因为平面，平面，所以，因为，，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以平面与平面所成的二面角是直二面角，所以D正确，

故选：BCD

12．疫情就是号令，防控就是责任．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．如图展示了2月14日至29日全国疫情的变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A．16天中每日新增确诊病例数量均下降且19日的降幅最大

B．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于1500

C．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量

D．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和

【答案】BC

【分析】结合选项，对折线图作分析，观察变化趋势，计算新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量及极差，得到答案.

【详解】对于选项A，19日至20日新增确诊病例数量上升，故A错误；

对于选项B，16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于1500，故B正确；

对于选项C，19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量，故C正确；

对于选项D，20日新增治愈病例数量小于2500，但新增确诊与新增疑似病例数量之和大于2500，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．欲利用随机数表从、、、、这些编号中抽取一个容量为的样本，抽取方法是从下面的随机数表的第行第列开始向右读取，每次读取两位，直到取足样本，则第个被抽取的样本的编号为___________.

【答案】

【分析】写出样本的前个个体的编号，即可得出结果.

【详解】由随机数表法可知，样本的前个个体的编号分别为：、、、，

故答案为：.

14．名工人某天生产同一零件，生产的件数分别是，，，，，，，，，，那么数据的分位数是______．

【答案】

【分析】根据百分位数的含义，计算即可得出数据的分位数.

【详解】解：将名工人某天生产同一零件个数从小到大排列为，，，，，，，，，．因为，

所以样本数据的分位数为第个和第个数据的平均数，即．

故答案为：.

15．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用三局两胜制（打满三局），已知甲每局比赛获胜的概率均为.现用计算机随机产生的之间的整数值来模拟甲和乙胜负的情况,用，，，，，，表示甲胜，用，，表示乙胜.由于是三局两胜制，所以以每个随机数为一组，产生组随机数：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.估计最终乙获胜的概率为______.

【答案】

【分析】由随机数中找出含有，，中的两个数字的随机数，计数后由公式计算概率．

【详解】组随机数中含有，，中的两个数字的有，，，，，，共组，所以估计最终乙获胜的概率为.

故答案为：．

16．若是虚数单位，则__________.

【答案】

【分析】根据等比数列的前项和公式，结合虚数单位的幂运算性质进行求解即可.

【详解】，

故答案为：

四、解答题

17．已知向量，.

（1若，求实数的值：

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）首先求出，的坐标，再利用向量共线定理即可得出．

（2），根据，得到即可得出．

【详解】解：（1）因为，.

，，

，，

解得．

（2）因为，

，

，

，解得．

【点睛】本题考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

18．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，．

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数．

【答案】（1）；（2）平均分为73，众数为65，中位数为.

【分析】（1）根据概率之和等于1，即所以小矩形的面积之和等于1，即可求解；

（2）根据平均分，众数，中位数的概念结合频率分布直方图即可求出平均分，众数，中位数.

【详解】解：（1）由频率分布直方图可得：，

∴．

（2）平均分

（分）

众数为65分．

中位数为（分）．

19．甲、乙、丙分别对一个目标射击，甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是，现在三人同时射击目标：

（1）求目标被击中的概率；

（2）求三人中至多有1人击中目标的概率．

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）根据题意，求得目标不被击中的概率为，结合对立事件概率的计算公式，即可求得目标被击中的概率；.

（2）由题意，可分为两类：①三人都未击中；②三人中恰有1人击中，结合对立事件和互斥事件的概率计算公式，即可求解.

【详解】（1）由题意，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，

可得目标不被击中的概率为，

所以由对立事件的概率公式，可得目标被击中的概率为.

（2）由题意，可分为两类：

①三人都未击中，其概率为；

②三人中恰有1人击中，其概率为

，

所以三人中至多有1人击中目标的概率为.

20．交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动，随机对该市岁的人群抽样了人，回答问题统计结果如图表所示：

（1）分别求出，，，的值．

（2）从第，，组回答正确的人中用分层抽样方法共抽取人，则第，，组每组应分别抽取多少人？

（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖，求：所抽取的人中至少有一个第组的人的概率．

【答案】（1）；；；；（2）第，，组每组应各依次抽取人，人，人；（3）．

【分析】（1）根据第组的数据，求得样本容量，然后再分别求解；

（2）根据第，，组回答正确的人数比确定每组应抽取的人数；

（3）这是一个古典概型，先列举出从名中任取名的所有可能的情况数，再找出第组至少有人的情况数，代入公式求解.

【详解】（1）第组人数，所以，

第组人数，所以，

第组人数，所以，

第组人数，所以，

第组人数，所以．

（2）第，，组回答正确的人数比为，

所以第，，组每组应各依次抽取人，人，人

（3）抽取的人中，第组的记为，，第组的记为，，，第组的记为，

则从名中任取名的所有可能的情况有种：

，，，，，，，，，，，，，

其中第组至少有人的情况有种：，，，，，，，，．

故所求概率为.

21．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足

（1）求角；

（2）若，___________(从下列问题中任选一个作答，若选择多个问题分别解答，则按选择的第一个解答计分)

①的面积为，求的周长；

②的周长为，求的面积.

【答案】（1）（2）若选①的周长，若选②的面积．

【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再根据余弦定理计算可得；

（2）①由三角形面积公式先求,结合（1）可求,进而可求周长；

②由已知先求,由（1）可求,然后结合三角形面积公式可求．

【详解】解：（1）因为

所以

即，

，．

（2）①由三角形面积公式得：，解得：．

由（1）知：，

，

的周长为．

②，

，

由（1）得，

，

解得：，

的面积．

22．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，点E为PC的中点.

(1)求证：平面BDE；

(2)求证：PC⊥BD.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据中位线的性质先证线线平行，再证明线面平行.

（2）先证BD⊥平面PAC，再证PC⊥BD.

【详解】（1）证明：连接AC交BD于O点，连接EO，

如图所示：

∵底面ABCD是菱形，∴O为AC的中点

∵点E为PC的中点，∴

∵平面BDE，且平面BDE

∴平面BDE

（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，

∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD，

∴PA⊥BD

∵，平面PAC，

∴BD⊥平面PAC，又平面PAC，

∴BD⊥PC.