2021-2022学年湖南省株洲市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

这是一份2021-2022学年湖南省株洲市高二年级上册学期期中数学试题【含答案】，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省株洲市高二上学期期中数学试题 一、单选题1．已知向量，，且与互相平行，则（    ）．A． B．2 C．1 D．【答案】B【分析】根据与互相平行，可设，列方程，可求出.【详解】与互相平行，可得，且，得，解得，故选：B2．经过两点，的直线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由斜率公式计算可得.【详解】解：经过两点，的直线的斜率.故选：C3．直线与圆相切，则的值是（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出.【详解】解：根据题意，得圆的圆心为，半径为，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，即，故.故选：A.4．抛物线的焦点坐标是（    ）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先把抛物线化为标准方程，直接写出焦点坐标．【详解】抛物线的方程为，所以焦点在轴，由，所以焦点坐标为．故选：D．5．圆关于直线对称的圆的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，利用点关于直线对称点的求法可求得对称圆的圆心，由两圆半径相同可得圆的方程.【详解】由圆的方程知：圆心，半径；设圆心关于的对称点为，则，解得：，所求对称圆的圆心为，半径为，所求对称圆的方程为：.故选：B.6．直线的一个方向向量是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线的斜率为，所以直线的一个方向向量为，又因为与共线，所以的一个方向向量可以是，故选：A.7．在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】由题意，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，设，可得，则，所以.故选：A.8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点，若，则（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据．可得，可得，设，．可得，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出．【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为：，半焦距为．∵椭圆的上顶点为，且．∴，∴，∴．∴．不妨设点在第一象限，设，．∴，．∴．在中，由余弦定理可得：∴．两边同除以，得，解得：．对选项A，，故A错误，对选项B，，故B正确，对选项C，D，，故C，D错误.故选：B 二、多选题9．下列说法错误的是（    ）A．直线必过定点B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为C．经过点，倾斜角为的直线方程为D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为【答案】BCD【分析】A选项由含参直线方程过定点的求法计算即可；B选项没有考虑直线过原点的情况，故错误；C选项，由倾斜角与斜率的关系即可判断；D选项计算出端点值后，由线段MN与y轴相交判断斜率的范围应取端点值两侧，故错误.【详解】A选项，直线方程变形为，令，解得，即原直线必过定点，A正确；B选项，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为，B不正确；C选项，当时，无意义，故C不正确；D选项，直线经过定点，当直线经过M时，斜率为，当直线经过N点时，斜率为，由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，D不正确.故选：BCD.10．若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ）A．B．是数列中的项C．数列单调递减D．数列前7项和最大【答案】ACD【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，由，得，故B错误，因为，所以数列单调递减，故C正确，由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.故选：ACD11．设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（    ）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为C． D．【答案】BC【分析】根据给定条件，求出b，并求出双曲线实半轴长、半焦距，再逐项计算判断作答.【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，双曲线的离心率，A不正确；双曲线的渐近线方程为，B正确；，C正确；，，则，有，D不正确.故选：BC12．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）A．B．点E到直线的距离为C．直线与平面所成的角的正弦值为D．点到平面的距离为【答案】AC【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，则，，则，所以，故A正确；，则，所以，所以点E到直线的距离为，故B错误；因为平面，所以即为平面的一条法向量，则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；设平面的法向量为，则有，可取，则点到平面的距离为，故D错误.故选：AC. 三、填空题13．两平行直线之间的距离为________【答案】##【分析】用平行线间的距离公式，代入即可.【详解】直线，即为，所以两平行直线与之间的距离为.故答案为：14．点到两定点，的距离之和为6，则点的轨迹方程是______.【答案】【分析】由椭圆的定义求解即可【详解】因为，由椭圆的定义可知，动点点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，所以，，所以点的轨迹方程是，故答案为：15．已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为___________.【答案】【分析】利用空间向量法可得出点到平面的距离为，即为所求.【详解】由已知可得，所以，点到平面的距离为.故答案为：.16．已知实数x，y满足：，则的取值范围是______．【答案】【分析】方法一：采用三角换元法，然后利用两角差的正弦公式集合求解；方法二：利用的几何意义：可以看作圆心到直线距离的倍，然后利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解法一：因为，所以令，，则，，故，其中，，因为，所以，所以，故的取值范围为．解法二：因为圆心到直线的距离，所以圆心上的点到直线的距离的取值范围为，又因为，所以的取值范围是．故答案为：． 四、解答题17．（1）已知在递增的等差数列中，.求的通项公式；（2）已知数列中，.证明：数列是等差数列.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）根据已知条件解方程组可得，再列出关于的方程组，求出，从而可求出通项公式；（2）根据等差数的定义结合已知进行证明.【详解】（1）解：由且数列递增，得.设数列的公差为，所以，解得，所以；（2）证明：因为，所以，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a＝b.(1)求sin B；(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理，化简得，结合题意可得，由余弦定理即可求得的值，再应用同角三角函数关系式，求得结果；（2）利用三角形的面积公式，可得，进而得到三角形的周长．【详解】（1）∵，则，由正弦定理可得，又∵，则，即，∴，又∵，故.（2）∵△ABC的面积为，则，∴，故△ABC的周长为.19．已知函数为奇函数.（1）求实数a的值并证明是增函数；（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.【答案】（1），证明见解析；（2）.【解析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；【详解】（1）因为是定义域为R奇函数，由定义，所以所以，∴.所以证明：任取，．，．，即．在定义域上为增函数．（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数所以.【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．20．已知圆，其圆心在直线上．(1)求的值；(2)若过点的直线与相切，求的方程．【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心，代入直线方程即可求解；（2）对直线的斜率是否存在讨论.若存在，设直线的方程为：，利用圆心到直线的距离即可求解.【详解】（1）圆的标准方程为：，所以，圆心为.由圆心在直线上，得.所以，圆的方程为：.（2）当直线的斜率不存在时，即方程为，此时直线与圆相切；当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为：，即，由于直线和圆相切，得，解得：，代入整理可得.所以，直线方程为：或.21．如图,四边形为正方形,平面,,且.(1)证明：平面平面(2)求平面与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据面面平行的判定定理,先由,证明平面,再由证明平面,一个面中两条相交直线平行于另一个面，进而证明面面平行即可;(2)根据题意建立合适的空间直角坐标系,写出点的坐标,分别求出平面和平面的法向量,求出两个法向量夹角的余弦值的绝对值,即面与面夹角的余弦值.【详解】（1）证明:由题知四边形为正方形,,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面,平面平面得证;（2）由题知,平面,且四边形为正方形,,则以原点,方向为轴,方向为轴,方向为轴建立空间直角坐标系如图所示:,,,平面,平面,平面,平面法向量为,记平面法向量为,,即,不妨取,可得,则,故平面与平面所成角的余弦值为.22．已知椭圆C的左、右焦点分别为，，离心率为，点P在椭圆C上，，.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知M是直线上的一点，是否存在这样的直线l，使得过点M的直线与椭圆C相切于点N，且以MN为直径的圆过点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由，【答案】(1)(2)存在，直线 【分析】（1）根据可得，进而，解方程组即可；（2）设直线MN的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理求出点N的坐标，根据圆的性质可得，结合点M、的坐标，利用平面向量的坐标表示计算即可.【详解】（1）设椭圆C的方程为，由，知，代入椭圆方程，得，解得，则 ，解得，，所以椭圆C的标准方程为；（2）显然直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为，由，消去y得.由，得.①所以，.即切点N的坐标为，以为直径的圆恒过点，则.又M的坐标为，，，，，化简，得.上式满足①式任意的k，m成立，则.故存在直线满足题意.