2021-2022学年上海市高一年级下册学期4月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年上海市高一下学期4月月考数学试题

一、填空题

1．若是第一象限角，则__.

【答案】

【分析】根据同角三角函数关系求解.

【详解】因为是第一象限角，

所以.

故答案为: .

2．函数的最小正周期为_____________

【答案】

【详解】函数的最小正周期为

故答案为

3．已知与的夹角为，则在方向上的投影向量为__.

【答案】

【分析】由向量投影的定义即可求得则在方向上的投影向量.

【详解】在方向上的投影向量为.

故答案为：

4．已知扇形的圆心角为，半径为6，则扇形的面积为__________．

【答案】

【分析】根据扇形的面积公式直接求解.

【详解】，

故答案为：.

5．若，则________．

【答案】

【分析】直接将两边平方，结合二倍角公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，即，即，所以

故答案为：

6．函数，，则严格单调递减区间是__.

【答案】

【分析】由可求得的取值范围，结合正弦型函数的单调性可求得原函数的递减区间.

【详解】由可得，由可得，

所以，函数，的严格单调递减区间为.

故答案为：.

7．已知，且，则与夹角为___________.

【答案】

【分析】由条件算出，然后可求出答案.

【详解】因为，所以，因为，所以

所以，

因为，所以与夹角为

故答案为：

8．，则__.

【答案】##

【分析】弦化切求解.

【详解】.

故答案为：

9．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边落在第三象限内，且，则__.

【答案】##

【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式求解.

【详解】由，得，即.

所以.

故答案为: .

10．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且，则______．

【答案】0

【分析】由三角形面积公式和余弦定理可将化为，进而可求出结果.

【详解】因为，余弦定理，又，

所以有，即，所以，

因此或，所以或，

因为C三角形内角，所以，故.

故答案为0

【点睛】本题主要考查解三角形，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求出结果，属于常考题型.

11．函数的图象与轴相交的相邻两点，又过点，则__.

【答案】

【分析】根据三角函数的图象性质求解即可.

【详解】由题意得，所以，所以，

又过点，，所以，

又，解得，所以.

故答案为: .

12．在边长为的正六边形中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为，，，，，若与的夹角记为，其中，且，则的最大值为(     )．

【答案】

【分析】由向量的投影的几何意义有：||cosθij的几何意义为向量在向量方向上的投影，由图可知：在直角三角形AED中，向量在向量方向上的投影最大，即可得解．

【详解】由向量的投影的几何意义有：

||cosθij的几何意义为向量在向量方向上的投影，

由图可知：在向量方向上的投影最大，

此时三角形AED为直角三角形，其中AD与AE垂直，又正六边形边长为1，所以AD=2,AE=,

所以在向量方向上的投影为AE=，

故答案为．

【点睛】本题考查了向量的投影的几何意义，属于中档题．

二、单选题

13．已知函数为偶函数，则的最小正数值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数的性质以及三角恒等变换公式求解.

【详解】因为函数为偶函数，

所以，

则有，

即，所以，

则有，所以的最小正数值为，

故选:D.

14．“”是“”成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据三角函数，充分必要条件的定义判断．

【详解】解：，

则，

根据充分必要条件定义可判断：

“ ”是“”成立的充要条件

故选：C．

15．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论中正确的是（    ）

①的一个周期为；②的图象关于对称；

③是的一个零点；④在单调递减.

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

【答案】A

【分析】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，可求得的解析式，再由函数的周期为的整数倍可判断①的正误，由正弦型函数的对称轴为可判断②正误，由正弦型函数的对称中心为可判断③正误，由正弦型函数的单调区间为可判断④正误.

【详解】函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，

所以，

所以的一个周期为，故①正确；

的对称轴满足，，

当时，的图象关于对称，故②正确；

由，得,当时，，

所以是的一个零点，故③正确；

当时，，此时为单调递增,

所以在上单调递增，故④错误.

故选：A.

16．已知函数在 上有两个零点，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简，再令，求出范围，根据在上有两个零点，作图分析，求得的取值范围.

【详解】，由，又，

则可令，

又函数在上有两个零点，作图分析：

则，解得.

故选：B.

【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题.

三、解答题

17．已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值.

【答案】.

【分析】根据正弦函数的性质求解.

【详解】由题意得，解得.

18．已知在中，，，，求、的值.

【答案】，或，.

【分析】根据三角形的余弦定理和面积公式求解.

【详解】在中，由余弦定理与面积公式得，

，化为，，

解得，或，.

19．已知平行四边形的对角线相交于点，设向量，.

（1）用向量､分别表示向量､.

（2）若为直线处上一点，是实数，且，用向量､表示向量.

【答案】（1）；；（2）．

【分析】（1）由向量的三角形法则计算即可得解；

（2）由向量的三角形法则计算即可得解．

【详解】解：（1）因为平行四边形的对角线相交于点，

所以，

．

   （2）．

【点睛】方法点睛：向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答．

20．已知函数.

(1)写出函数的最小正周期和严格单调递增区间；

(2)在中，角、、所对的边分别是、、，若，，且，求的周长.

【答案】(1)；，

(2)

【分析】由辅助角公式将化简成形式，由正弦型函数的周期及单调区间即可求得函数的最小正周期和严格单调递增区间.

将角代入（1）中函数化简后的解析式，由求得角的大小，再由求得的值，联合由余弦定理求得，即可求得的周长.

【详解】（1）.

所以；

由，得.

所以函数的严格单调递增区间为，；

（2）由，得.

所以或，.

因为是三角形内角，所以.

而所以.

又，所以.

所以，则，

所以的周长为.

21．如图，学校门口有一块扇形空地，已知半径为常数，，现由于防疫期间，学校要在其中圈出一块矩形场地作为体温检测室使用，其中点、在弧上，且线段平行于线段．

（1）当点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；

（2）设，当在何处时，矩形的面积最大？最大值为多少？

【答案】（1）；（2）点在弧的四等分点处时，．

【分析】(1)补全四分之一圆，由圆的中心对称性，结合相应辅助线及余弦定理确定AB、BC与半径R的数量关系，即可求面积；(2)应用(1)的思路，结合余弦定理及辅助角公式得到关于的三角函数形式，由函数的最大值即可得矩形的面积最大值

【详解】(1) 由线段平行于线段，为弧的一个三等分点，知：所对的圆心角为30°，由余弦定理有，即而

将扇形所在的圆O补全，延长AD、BC分别交⊙O于E、F，延长MO、NO分别交DE、CF于G、H，并连接OF、OB，如下图示

可知：由圆的对称性，有DCHG为正方形，且

∴，即，故

∴

(2) 时，；此时，，即

∴，

∴

当且仅当，时，即A在弧的四等分点处，矩形的面积最大，

【点睛】本题考查了余弦定理及辅助角公式，其中将扇形所在圆补全，应用圆的对称性找到相关线段的数量关系，并结合余弦定理求边长，进而得到面积；利用辅助角公式得到关于已知角的三角函数，面积的最值转化为函数的最值