2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列几何体的左视图和俯视图相同的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  我国古代算法统宗里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住人，那么有人无房可住；如果一间客房住人，那么就空出一间客房，若设该店有客房间，房客人，则列出关于，的二元一次方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知是方程的一个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，于点，是线段上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共9小题，共27.0分）

9.  据数据显示，截至北京时间年月日时分，全球新冠肺炎确诊病例达万例，将这个数字用科学记数法表示为        ．

10.  已知一组数据：，，，，，，，，则这组数据的众数是          ．

11.  若圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个半径为的扇形，该圆锥的侧面积是        ．

12.  如图，河坝的横断面的坡比是：，坝高米，则坡面的长度是______米．

13.  如图，在中，点，在边，上，，与的周长比为：，则：______．

14.  如图所示的五边形花环，是用五个全等的直角三角形拼成的，则图等于______度．

15.  如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为          ．
 

16.  如图是由边长相同的小正方形组成的网格，，，，四点均在正方形网格的格点上，线段，相交于点，则        ．

17.  在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点已知点，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围        ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

18.  已知：如图，在▱中，延长到点，延长到点，使得，连接，分别交，于点，，连接， 
求证：； 
连接，若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

四、解答题（本大题共8小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解不等式组：在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解．

21.  本小题分
年月日，李克强总理称赞地摊经济、小店经济是人间的烟火，是中国的生机一时间，祖国大地上掀起了一股地摊经济的热潮根据城管部门统一规划，甲，乙两兄弟只能从，，，四个街道中各随机选取一个街道摆地摊．
“甲，乙两兄弟都到街道摆地摊”是______ 事件填“必然”，“不可能”或“随机”
试用画树状图或列表的方法求甲，乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率．

22.  本小题分
在“新冠”期间，某小区物管为预防业主感染传播购买型和型两种口罩，购买型口罩花费了元，购买型口罩花费了元，且购买型口罩数量是购买型口罩数量的倍，已知购买一个型口罩比购买一个型口罩多花元．则该物业购买、两种口罩的单价为多少元？

23.  本小题分
如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求图中阴影部分的面积．

24.  本小题分
如图，矩形中，．
请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：不写作法，保留作图痕迹
在边上取一点，使；
在上作一点，使点到点和点的距离相等．
在中，若，，则的面积______如需画草图，请使用备用图
 

25.  本小题分
问题初探：在直角三角形中，两直角边的长度之和是，当两直角边的长分别是        ，        时，直角三角形的面积最大；
问题解决：如图，在一个的内部作一个矩形，其中点和点分别在两直角边上，在斜边上，，，矩形面积最大是多少？在解决这个问题时，有一位爱动脑筋的同学通过作辅助线进行了转化，如图，过点作所以，又因为四边形是矩形，所以，于是≌，那么求矩形的面积最大，就可以转化为求平行四边形的面积最大，设平行四边形的边，平行四边形的面积为，请你按这个思路继续完成这问题；
问题拓展：如图，矩形中，，，点是边上的动点点与、两点不重合，连接、，点是边上的动点，过作交于，求面积最大值．
 

26.  本小题分
对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系中，二次函数为常数，且的图象顶点为不与坐标原点重合，以为边构造正方形，则称正方形为二次函数的关联正方形，称二次函数为正方形的关联二次函数．若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点．
如图，直接写出二次函数的关联正方形顶点的坐标______，并验证点是否为伴随点______填“是“或“否“：
当二次函数的关联正方形的顶点与位于轴的两侧时，请解答下列问题：
若关联正方形的顶点、在轴的异侧时，求的取值范围：
当关联正方形的顶点是伴随点时，求关联函数的解析式；
关联正方形被二次函数图象的对称轴分成的两部分的面积分别为与，若，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、与不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意；
故选：．
分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记相关的运算法则是解答本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于即可得出答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A中的几何体的左视图和俯视图为：

选项B中的几何体的左视图和俯视图为：

选项C中的几何体的左视图和俯视图为：

选项D中的几何体的左视图和俯视图为：

因此左视图和俯视图相同的选项D中的几何体，
故选：．
分别画出各种几何体的左视图和俯视图，进而进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的画法是得出正确结论的前提．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意得出方程组是解决问题的关键．
设该店有客房间，房客人，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
【解答】
解：设该店有客房间，房客人，
根据题意得：
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中可得：
，
，



，
故选：．
根据题意可得：把代入方程中可得：，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于．

在中，，，
，，
，
，
故选：．
如图，过点作轴于解直角三角形求出，即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
三角形是等腰直角三角形，
，
，
又是线段上动点，将线段绕点逆时针旋转，
在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当在点时和在点时分别确定的起点与终点，
的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，
当线段与垂直时，线段的值最小，

在中，，，
，
    又是等腰直角三角形，
，
．
故选：．
由点的运动确定的运动轨迹是在与轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据的频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
根据众数的定义求解即可．
【解答】
解：这组数据中出现次，次数最多，所以这组数据的众数是．
故答案为：．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：圆锥的侧面积
故答案为：．
根据圆锥的侧面积：代入计算即可．
本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：河坝的横断面的坡比是：，
，
米，
米，
由勾股定理得：米，
故答案为：．
根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是坡度的概念、勾股定理，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

13.【答案】： 

【解析】解：，
，，
∽，
与的周长比为：，
，
，
：：，
故答案为：：．
根据已知可知字模型相似三角形∽，然后利用相似三角形的性质进行计算计算即可解答．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握字模型相似三角形是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

五边形花环是用五个全等的直角三角形拼成的，
五边形花环为正五边形，
，
而，
．
故答案为：．
利用全等三角形的性质和正五边形的定义可判断五边形花环为正五边形，根据多边形的内角和定理可计算出，然后把减去得到的度数．
本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：且为整数；多边形的外角和等于，熟记有关知识是解题的基础．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到≌，于是．
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
．
又绕点逆时针旋转后得到，
≌，
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：过点作，连接．
，
．
，
，
，
，
，
．
在中，



．
故答案为：．
过点作，连接先利用勾股定理求出、、，再利用勾股定理的逆定理判断的形状，最后在直角三角形中利用直角三角形的边角间关系得结论．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、平行线的性质等知识点是解决本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
将代入得，
点坐标为，点在点上方，
将代入得，
抛物线与直线交于点，
当时，抛物线开口向上，点在抛物线外部，
，
点在点抛物线外部，不符合题意，

当时，抛物线开口向下，点在抛物线内部，
点在抛物线外部时满足题意，
，
解得，
综上所述，．
故答案为：．
由二次函数解析式求出及时的值，分类讨论开口方向，通过数形结合求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
又，
．
在与中，
，
≌；
四边形是菱形．
证明：连接，四边形是平行四边形，
且，
又由得，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形． 

【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握和证明两个三角形的判定以及菱形的判定定理，此题有一定的难度．
先根据平行四边形的性质可得出，，再根据平行线的性质及补角的性质得出，，从而利用可作出证明；
根据平行四边形的性质及的结论可得，，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到四边形是菱形．
 

19.【答案】解：


；


． 

【解析】先去绝对值、计算零指数幂、特殊角的三角函数值、零指数幂，然后计算乘法，最后算加减法即可；
先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
解集表示在数轴上，如图所示：

则不等式组的整数解为，，，． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

21.【答案】不可能 

【解析】解：“甲，乙两兄弟都到街道摆地摊”是不可能事件，故答案为：不可能；
画树状图如图：

共有个等可能的结果，甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有个，
甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的概率为．
由不可能事件的定义解答即可；
画树状图，共有个等可能的结果，甲、乙两兄弟选在同一个街道摆地摊的结果有个，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法以及随机事件，概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】解：设该物业购买型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，
由题意得，
解得，
经检验是原方程的解，
则．
答：该物业购买型口罩的单价为元，型口罩的单价为元． 

【解析】可设该物业购买型口罩的单价为元，则型口罩的单价为元，根据购买型口罩数量是购买型口罩数量的倍，列出方程即可求解．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：直线与的位置关系是相切，
理由是：连接，

，，
，，
，
，
，
，
，
，
即，
，
过，
直线与的位置关系是相切；

，，，
，，
即，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
阴影部分的面积 

【解析】连接，根据等腰三角形的性质得出，，求出，再根据切线的判定得出即可；
根据含角的直角三角形的性质求出，求出，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，求出，再求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的判定，扇形的面积计算和三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：如图，点，点即为所求；


连接．

四边形是矩形，
，，，
，
，
，
设，则有，
，
在和中，
，
≌，
，
．
以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点，点即为所求；
利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理求出即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

25.【答案】   

【解析】解：设直角三角形一条直角边为，则另一条直角边是：，其面积是，
，
当时，；
如图，

过点作．
，
四边形是矩形，
，，
≌，
，
设，▱的面积为，
，
∽，
，
，
，
，
当时，，
即矩形的最大面积是；
如图，

设，面积是，
，
∽，
，
，
，
，
当时，，
即面积的最大值是．
设直角三角形一条直角边为，则另一条直角边是：，其面积是，建立与的函数关系式，求得函数的最值；
证得∽，从而表示出，进而建立与的关系式：，进一步求得结果；
设，面积是，证得∽，从而可表示出，进而建立与的函数关系式：，进而求出结果．
本题考查了矩形性质，平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，运用了二次函数及其图象性质，解决问题的关键是建立正确函数关系式，求二次函数的最值．
 

26.【答案】或  否 

【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点

二次函数顶点
，
四边形是正方形
，


在与中

≌
，
若在左侧，则点在第二象限，
时，
点不在二次函数的图象上
不是伴随点
若在右侧，则点在第四象限，
时，
不是伴随点
故答案为：或；否．

过点作轴于点，过点作轴于点
由可得：≌


，
如图，若点在第一象限
与位于轴的两侧，点、在轴的异侧
点在第四象限，
    解得：
如图，若点在第四象限
点在第一象限，
   解得：
综上所述，点、在轴的异侧时，的取值范围为或．
过点作于点



在与中

≌
，
如图，若点在第一象限，则
，

点是伴随点，即点在二次函数图象上

解得：舍去，
如图，若点在第四象限，则点在点上方
二次函数图象开口向下
点不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点
综上所述，关联函数的解析式为
，



如图，当点、在轴同侧时由可知或，对称轴与交于点


，即

∽



解得：或
如图，当点、在轴异侧时，对称轴与交于点
延长交于



，即


解得：
综上所述，时的取值范围为或或．
由点坐标，画出正方形的大致位置，发现可以在的左右两侧，故需分类讨论．分别过点、作轴长垂线段、，易证≌，故有，根据点在第二或第四象限的位置得到点坐标，把的横坐标代入二次函数解析式，求得的函数值与的纵坐标不相等，故点不着二次函数图象上，不是伴随点．
用配方法求点坐标，画出正方形的大致位置，由可证得≌，故有，由于点、在轴的异侧，由图可知分别讨论点在第一象限和第四象限时的长用表示，即得到关于的不等式，进而求得的取值范围．
过点作直线的垂线段，构造≌，故有，若点在第一象限时，根据求得用表示点的横纵坐标，由点为伴随点可知点在二次函数图象上，把点坐标代入二次函数解析式得到关于的方程，解方程并讨论的取值即可．若点在第四象限，则点在点上方，但二次函数图象开口向下，不可能经过点，即此时不可能为伴随点．
由，可得画图可知，当点、在轴同侧时对称轴与交于点，，故有解得又由可证∽，通过对应边成比例得，把含的式子代入解不等式即求得的范围．当点、在轴异侧时，同理可求的取值范围．
本题考查了新定义的理解和性质运用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的图象与性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法，相似三角形的判定和性质．由于正方形顶点位置的不确定，故每小题都需根据情况抓住相同点和不同点进行分类讨论．讨论正方形顶点坐标时，常在正方形内构造弦图得到全等三角形，再利用全等三角形性质计算．