2022-2023学年广东省揭阳市揭西县棉湖实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年广东省揭阳市揭西县棉湖实验学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一元二次方程的一般形式是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  方程的根是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

3.  如图，已知某广场菱形花坛的周长是米，，则花坛对角线的长等于(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4.  “凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了本图书，如果设该组共有名同学，那么依题意，可列出的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  设一元二次方程的两个实根为和，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列四条线段中，不能成比例的是(    )

A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，

7.  对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图的几何体是由五个同样大小的正方体搭成的，其主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若点是反比例函数图象上的一点，则此函数图象必经过点(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11.  一元二次方程的一次项系数为______．

12.  如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为______．

13.  如图，在中，，点是的中点，，则        ．

14.  如图，将面积为的矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接交于点，若，则的长为________．
 

15.  已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______．

16.  如图，在直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，直线交直线于点，直线交线段于，且，垂直点为，若图中阴影部分的面积是正方形的面积的，则的周长为______．

17.  如图，在正方形的外侧，作等边，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
用因式分解法解方程：．

19.  本小题分
已知关于的方程．
若这个方程有实数根，求的取值范围；
若此方程有一个根是，请求出的值．

20.  本小题分
如图，已知反比例函数的图象的一支位于第一象限．
该函数图象的另一分支位于第______象限，的取值范围是______；
已知点在反比例函数图象上，轴于点，的面积为，求的值．

21.  本小题分
如图，正方形的对角线，相交于点，在线段，上各取一点，使得，连接并延长交于点．

试猜想与的位置关系和数量关系，并说明理由．
若，，求的长．
如图，在线段，的延长线上各取一点，，使得，连接并延长交于点请问：中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，▱的一个顶点与坐标原点重合，边落在轴上，且，，反比例函数的图象经过点，与交于点，连接，．
试求反比例函数的解析式；
求证：平分；
如图，连接，在反比例的函数图象上是否存在一点，使得？如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由．
 

23.  本小题分
如图，中，的平分线交于点，作的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接、．
求证：四边形是菱形；
若，，，试求的长．

24.  本小题分
阅读下列材料，并解答其后的问题：
我们知道，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．我们还知道，三角形的三条中位线可以将三角形分成四个全等的三角形．如图，若、、分别是三边的中点，则有，且，≌≌≌．
在图中，若的面积为，则的面积为______；
如图中，已知、、、分别是、、、的中点，求证：四边形是平行四边形；
如图中，已知、、、分别是、、、的中点，，，，则四边形的面积为______．
 

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为和，动点从点出发在线段上以每秒的速度向原点运动，动直线从轴开始以每秒的速度向上平行移动即轴，分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒．
求时，的面积；
直线、点在运动过程中，是否存在这样的使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由；
当为何值时，与相似．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一般形式是故选A．
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了一元二次方程的解法--因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
【解答】
解：由原方程，得
，
，
或，
解得，，；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：如图，记与的交点为．

四边形是菱形，且周长为米，
，，，米．
，，
是等边三角形，
米，
米，
又，
米，
米．
故选：．
由菱形花坛的周长是米，，可求得边长的长，，且，则可求得的长，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质．注意根据菱形的对角线互相垂直且平分求解是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
故选B．
根据题意列出一元二次方程即可．
本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，在解决实际问题时，要全面地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系，求出即可得到答案．
本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【解答】
解：、，能成比例；
B、，能成比例；
C、，不能成比例；
D、，能成比例．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：双曲线，当时，随的增大而减小，
，
解得：．
故选：．
根据反比例函数的性质，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：从正面看第一层是三个正方形，第二层左边一个正方形，故A符合题意，
故选：．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
 

9.【答案】 

【解析】解：点是反比例函数图象上的一点，
，
个选项中，只有点，，
故此函数图象必经过点，
故选：．
根据反比例函数图象的性质，，只有横纵坐标的乘积等于相同值的点，在一个图象上，进而得出答案即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数得出是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．
利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置的附近摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【解答】
解：设红球有个，
根据题意得，
解得．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一次项系数为，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和项、系数的定义得出即可．
本题考查了一元二次方程和项、系数等定义，能理解定义的内容是解此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，
，
，
，
．
故答案为：．
先根据菱形的邻角互补求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，为中点，
，
，
，
．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，，则，
由∽可得：，
，
，
，，
设交于．

在中，，
，
．
故答案为．
设，，则，构建方程组求出、即可解决问题；
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
 

15.【答案】且 

【解析】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：正方形顶点的坐标为，
正方形的面积为．
所以阴影部分面积为．
在和中，
≌．
面积面积．
面积四边形面积．
设，，
则，，
所以．
所以．
所以的周长为．
故答案为．
证明≌，推理出面积四边形面积，设，，则，，所以，从而可得的值，则周长可求．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是推理出连个阴影部分面积相等，得到两直角边的平方和、乘积，运用完全平方公式求解出值．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，为等边三角形，
，，，
，
又，
．
故答案为：．
由四边形为正方形，三角形为等比三角形，可得出正方形的四条边相等，三角形的三边相等，进而得到，且得到为直角，为，由求出的度数，进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出的度数．
此题考查了正方形的性质，以及等边三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．
 

18.【答案】解：因式分解，得
，
于是，得
或，
于是，得
或．
解得，． 

【解析】根据因式分解，可得方程的解．
本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．
 

19.【答案】解：根据题意知，
即，
整理，得，
解得：；
将代入方程得，
整理，得：，
即，
解得：，，
故或． 

【解析】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题的关键．
根据根的判别式判断即可；
将代入方程，解方程即可得的值．
 

20.【答案】三；；
点在第一象限，
轴，
，
，
解得． 

【解析】

【分析】
根据反比例函数的图象是双曲线．当时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；
由对称性得到的面积为设、，则利用三角形的面积公式得到关于的方程，借助于方程来求的值．
本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到的面积是解题的关键．
【解答】
解：根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且，则；
故答案是：三，；
见答案．  

21.【答案】解：，，理由如下：
正方形中，，，
在和，
，
≌，
，，
，
，
，
；
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
；
成立，理由如下：
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】先证明≌，可得，，从而得到，即可求解；
根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，再由，即可求解；
先证明≌，可得，，从而得到，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
点在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为，

如图，过点作轴于，交于，
轴，
，
，
由知，，
，
，，
，
，
，
，，
直线的解析式为，
反比例函数解析式为，
联立解得，或舍，
，
，
，
，
，
，，
点是的角平分线上，
即：平分；

存在，点，
直线的解析式为，，
，

Ⅰ、如图，当点在点右侧时，即：点的横坐标大于，
，
设的中点为，
，
过点作交双曲线于，
直线的解析式为，
反比例函数解析式为，
联立解得，
或舍，
；
Ⅱ、当点在点左侧时，即：点的横坐标大于而小于，
设点关于的对称点为，，
，，
，，
，
，
直线的解析式为，
联立解得，或舍，
．
即：点的坐标为或． 

【解析】先确定出，即可得出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论；
先判断出，再联立两函数解析式求出点的坐标，进而得出，即可得出结论；
分两种情况利用面积关系得出点到的距离等于的一半即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解方程组，点到直线的距离，角平分线的判定，解本题的关键是用分类讨论的思想解决问题．
 

23.【答案】证明：是的垂直平分线，
，，，
平分，
，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
解：过作于，则，
，
，
，
在中，，
四边形是菱形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
． 

【解析】先根据垂直平分线的性质得：，，证明≌，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；
作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形的性质可得，由勾股定理得：，根据是等腰直角三角形，可得，从而得结论．
本题考查了菱形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的判定和性质以及直角三角形角的性质，熟练掌握菱形的判定是关键．
 

24.【答案】；
证明：连接，如下图所示：

、、、分别是、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形；
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定等知识，属于较难题．
由三角形中位线定理结合题意得出的面积的面积即可；
连接，证出是的中位线，是的中位线，得出，，即可得出结论；
证出是的中位线，是的中位线，得出，，证出四边形是平行四边形，结合得出四边形是矩形，即可得出结果．
【解答】
解：、、分别是三边的中点，
则有，且，≌≌≌，
的面积的面积；
故答案为：；
见答案；
解：、、、分别是、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
同理：，，
，
，
四边形是矩形，
四边形的面积；
故答案为：．  

25.【答案】解：，

又，
∽，
，
当时，，，，，
，
；
不存在．
理由：∽，
，
，
整理，得，
，
方程没有实数根．
不存在使得的面积等于的值；
当时，∽，
，即，
解得；
当时，∽，
，即，
解得．
当或时，与相似． 

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．
由于轴，则时，，关键是求易证∽，则，从而求出的长度，得出的面积；
假设存在这样的，使得的面积等于，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；
如果与相似，由于，则只能点与点对应，然后分两种情况分别讨论：点与点对应；点与点对应．即可得解．