2022-2023学年湖南省常德市桃源县文昌中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年湖南省常德市桃源县文昌中学九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在以下关于二次函数的图象的说法，正确的是(    )

A. 开口向下 B. 当时，随的增大而减小
C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标是

2.  如图是一个圆锥形冰淇淋外壳不计厚度，已知其母线长为，底面圆半径为，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于．(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，点、、是半径为的上的三点如果，那么的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，这是由个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  正比例函数与反比例函数的图象和性质的共有的一个特征是(    )

A. 函数值随的增大而减小 B. 图象在第二、四象限都有分布
C. 图象与坐标轴都没有交点 D. 图象经过点

6.  如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，半径弦于点，连接并延长交于点，连接，若，，则的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，抛物线的顶点坐标为下列结论：；；关于的一元二次方程有两个不相等实数根；抛物线上有两点和，若，且，则其中正确的结论共有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是        ．

10.  从，，，，中任取一个数作为，则抛物线的开口向上的概率是          ．

11.  已知二次函数与轴有交点，则的取值范围是        ．

12.  将一个圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．

13.  如图，太阳光线与地面成的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是______．

14.  如图，在中，，，是的内切圆，分别与、、相切于点、、，则圆心到顶点的距离        ．

15.  如图，直线的图象与、轴交于、两点，与的图象交于点，过点作轴于点如果：：，则的值为______．

16.  如图，点是上一点，是一条弦，点是上一点，与点关于对称，交于点，与交于点，且给出下面四个结论：
平分；；；为的切线．
其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知函数是关于的二次函数，为何值时，二次函数有最小值？
求出此时的值及二次函数的解析式；
求出此函数与轴的交点坐标．

18.  本小题分
某学校为满足学生多样化学习需求，准备组建美术、劳动、科普、阅读四类社团．学校为了解学生的参与度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：

求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；
若全校共有学生人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；
甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．

19.  本小题分
已知二次函数的图象为抛物线．
抛物线顶点坐标为        ；
当时，求该二次函数的函数值的取值范围；
将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线求出抛物线的解析式．

20.  本小题分
如图，为的直径，弦于点，连结，，，于点，且．
求的长；
当时，求圆中弧的长和阴影部分的面积．

21.  本小题分
如图，在矩形中，，两点分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，已知点的横坐标为．
求反比例函数和一次函数的表达式；
直接写出一次函数大于反比例时的取值范围；
在反比例函数的图象上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

22.  本小题分
如图，上有，，三点，是直径，点是的中点，连接交于点，点在延长线上且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

23.  本小题分
某水果店以进价为每千克元购进草莓，销售中发现，销售单价定为元时，日销售量为千克；当销售单价每上涨元，日销售量就减少千克，设销售单价为元，每天的销售量为千克，每天获利为元．
求与之间的函数表达式；
求与之间的函数表达式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于千克，求每天销售利润的最大值是多少元？

24.  本小题分
如图，的直径，为等腰三角形，，点在上．

如图，当点与点重合时，的度数为______ ；
如图，当点为线段的中点时，求的值；
在第的前提下，延长至点，连接，则当长为多少时与相切？

25.  本小题分
如图，抛物线交坐标轴于、、三点，，，，点是直线下方抛物线上一点，设点的横坐标为，交直线于点．
求抛物线的函数关系式；
求当为何值时，线段的长度最大？最大长度是多少？
是否存在点的位置，使与相似？若存在，请求出相应点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、二次函数中的，则其图象开口向上，不符合题意；
B、二次函数的对称轴是直线，其图象开口向上，则当时，随的增大而增大，不符合题意；
C、二次函数的对称轴是直线，不符合题意；
D、二次函数的顶点坐标是，符合题意．
故选：．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
此题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题还考查了学生的应用能力．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面圆半径为，
圆锥的底面周长为，
冰淇淋外壳的侧面积为：，
故选：．
根据圆锥的底面半径求出底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是展开图扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，连接、．

，
，
，
的长是：．
故选：．
根据圆周角定理可得出，再根据弧长公式计算即可．
本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解题的关键是掌握弧长公式．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，共有列，从左到右小正方形的个数分别为、、．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：正比例函数，随的增大而减小，反比例函数是每个象限内，随的增大而减小，故此选项不合题意；
B.正比例函数，图象经过第二、四象限，反比例函数是图象分布在第二、四象限，故两函数图象在第二、四象限都有分布，故此选项符合题意；
C.正比例函数，图象与坐标轴有交点，反比例函数是图象与坐标轴都没有交点，故此选项不合题意；
D.正比例函数不经过点，反比例函数经过，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用反比例函数的性质以及正比例函数的性质分别判断得出答案．
此题主要考查了反比例函数的性质以及正比例函数的性质，正确区分正比例函数与反比例函数是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
故选：．
根据垂径定理得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，设的半径为，

，
，
在中，，，
由勾股定理，得，
，解得，
，
是的中点，是的中点，
是三角形的中位线，
，
为的直径，
，
在中，．
故选：．
首先连接，由的半径弦于点，，，根据垂径定理可求得，然后设，利用勾股定理可得方程：，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得的长，又由是直径，可得，继而由勾股定理求得答案．
此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
顶点坐标，
对称轴为直线，
，
，，
，故正确；
点关于直线的对称点为，
，
，
，
，故正确，
顶点坐标
抛物线有唯一的解，当时，与抛物线有两个交点，
故正确，
，且，

抛物线关于对称，时，随的增大而增大，时，随的增大而减小，
，故正确，
综上所述，结论正确的是共个．
故选：．
根据抛物线开口方向和对称轴即可判断；根据抛物线的对称性和对称轴判断；根据对称轴和的符号即可判断；根据顶点坐标即可判断出；从而得解．
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据顶点横坐标表示出、的关系．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，且，
，
故答案为：．
根据反比例函数的一般形式进行计算即可．
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
由共有种等可能结果，其中抛物线的开口向上的有种结果，根据概率公式求解可得答案．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
【解答】
解：从，，，，中任取一个数作为，共有种等可能结果，其中抛物线的开口向上的有种结果，
抛物线的开口向上的概率是，
故答案为：．  

11.【答案】且 

【解析】解：为二次函数，
．
，
由二次函数与轴有交点，得
有实数根，
，
解得，
故答案为：且．
根据抛物线与轴有交点，可得相应方程有实数根，根据根的判别式，可得答案．
本题考查了了抛物线与轴的交点，利用根的判别式得出不等式是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设此圆锥的底面半径为，由题意，得
，
解得．
故答案为：．
利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得．
本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，，
可得：，
故答案为：．
根据题意建立直角三角形，然后根据，可求出答案．
本题考查平行投影的应用，属于基础题，解答本题的关键是建立直角三角形，然后利用三角函数值进行解答．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连结，，，设半径为，

，，，
，
是的内切圆，分别与、、相切于点、、，
，，，且，
四边形是正方形，
，
，，
，
，
．
，
．
．
故答案为：．
如图，连结，，，设半径为，根据勾股定理得到，根据切线的性质得到，，，且，根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到．
本题考查了三角形的内切圆与内心，切线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：直线的图象与、轴交于、两点，
点，点，
，，
轴，
，
∽，
：：，
，
，，
，
点的坐标为：，
反比例函数的图象过点，
．
故答案为：．
由直线的图象与，轴交于，两点，可求得与的坐标，易得∽，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得与的长，继而求得点的坐标，则可求得答案．
此题考查了一次函数的性质与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式，注意掌握数形结合思想的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：点与点关于对称，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
平分；
故正确；
四边形是的内接四边形，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
故正确；
，
，
，
与不相似，
故不正确；
连接，交于点，

，，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线，
故正确；
所以给出上面四个结论，其中所有正确结论的序号是：，
本题考查了角平分线的定义，切线的判定，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定，以及圆周角定理，垂径定理是解题的关键．
 

17.【答案】解：函数是关于的二次函数，
，解得或，
当二次函数有最小值，
，
，
，
抛物线解析式为；
令，则，
解得或，
此函数与轴的交点坐标为，． 

【解析】由二次函数的定义可求得的值，二次函数有最小值时，可求得相应的的值，即可求得二次函数的解析式；
令，则，解方程即可求得此函数与轴的交点坐标．
本题主要考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，待定系数法求二次函数的解析式，由二次函数的定义求得的值是解题的关键．
 

18.【答案】解：本次调查的学生人数为：人，
则科普类的学生人数为：人，
补全条形统计图如下：

愿意参加劳动社团的学生人数为：人；
把阅读、美术、劳动社团分别记为、、，
画出树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种，
甲、乙两名同学恰好选中同一社团的概率为． 

【解析】用愿意参加阅读类社团的学生人数除以其所占的百分比可得本次调查的学生人数，即可解决问题；
用全校共有学生人数乘以愿意参加劳动社团的学生人数所占的比例即可；
画出树状图，共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选中同一社团的结果有种．再根据概率公式即可求解．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
故答案为：；
，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，；
当时，；
当时，二次函数的函数值的取值范围为；
抛物线：先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到抛物线，
：，即．
把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
根据二次函数的性质可得出答案；
根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式．
本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
，
；
连接．

，，
，
，
在中，
，，，
，，
，
的长，
阴影部分的面积． 

【解析】本题考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、度角的直角三角形性质、扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
根据三角形的中位线定理可得，再利用垂径定理可得，推出，即可解决问题．
连接，利用弧长公式求出弧，再求出弓形的面积即可．
 

21.【答案】解：在双曲线上
，
反比例函数解析式为：，
当时，，
，
，在直线上，
，
解得：，
；
，，
一次函数大于反比例函数时的取值范围：或，
存在；
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
设点的横坐标为，
则：，
，
，
解得：或，
当时，；当时，；
存在点或，使． 

【解析】将点的横纵坐标相乘，求出的值，进而求出点坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
由图象可得即可；
先求出，利用求出点的坐标．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：在中，，，
，
设，，
，
，
或舍去，
，，
，，
∽，
，
，
，
的半径为：． 

【解析】连接，利用直径所对的圆周角是直角，可得，然后利用等腰三角形的性质，以及等弧所对的圆周角是直角证明，即可解答；
在中先求出和的长，然后证明∽，利用相似三角形的性质即可解答．
本题考查了解直角三角形，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，熟练掌握切线的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意得，，
即；
根据题意得，，
即与之间的函数关系式为，
，
且，
当时，有最大值，最大值为，
答：与之间的函数关系式为：，该水果售价为每千克元时，每天的销售利润最大，最大值为元；
由题意得，，
解得：，
，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为：，
答：商家每天销售利润的最大值是元． 

【解析】根据“当销售单价每上涨元，日销售量就减少千克”可得减少的销售量为千克，进而再根据题意列出函数解析式即可；
根据“总利润售价进价销售数量”列出函数解析式，再根据求二次函数性质即可得答案；
根据题意“每天的销售量不低于千克”列出不等式求得的取值范围，再由二次函数的性质求最大值．
本题是一次函数的实际应用与二次函数的实际应用的综合题，主要考查了从实际问题中正确列一次函数的解析式和二次函数的解析式，求二次函数的最值，解题的关键是在运用二次函数的性质求最值时，要思考顶点横坐标在实际的取值范围内没有，若在这个范围内，则顶点的函数值就是所求最值，否则要进一步根据二次函数的增减性求最值．
 

24.【答案】 

【解析】解：点与点重合，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：；
过作于，连接，如图：

的直径，为线段的中点，
，，
，，
，，
为直径，
，
，
又，
∽，
，即，
．
中，；
过作于，连接，如图：

由知：，，，
与相切，
，
而，
∽，
，即，
．
由点与点重合，，可得是等边三角形，即可得；
过作于，连接，由为线段的中点，得，，而，，有，再证明∽，，可求得，从而中，求出；
过作于，连接，由与相切，，故∽，，可得，即求出．
本题考查圆的综合知识，涉及等边三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，圆的切线等知识，解题的关键是根据∽求出的长度．
 

25.【答案】解：，，
，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
，，，
可设抛物线解析式为，
把、两点坐标代入可得，
解得，
抛物线解析式为；

，，
可设直线解析式为，且，
把点坐标代入可得，解得，
直线解析式为，
过作轴于，交于，
是直线下方抛物线上一点，点的横坐标为，
，，
，
，
当时，有最大值，
，，
，
，
即，
，
当时，线段的长度最大，且最大值；

存在，
，，
，，
，，
即，
，
∽，
，，
与相似，
Ⅰ、当∽，
，
，
，
点的纵坐标为，
，
舍或，
；
Ⅱ、当∽时，
，
，
，
，
，
，
由知，，，
，
，，
，
或舍，

即满足条件的点的坐标为或 

【解析】由条件可先求得、的坐标，由∽，可求得的长，再利用待定系数法可求得抛物线的函数关系式；
由、坐标可求得直线的解析式，则可设出点坐标，从而可表示出的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再利用相似三角形的性质得，即可得到的最大值；
先判断出∽，得出，，
Ⅰ、当∽，得出，进而得出，即可得出结论；
Ⅱ、当∽时，得出，进而得出，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，第三问注意分类讨论是解本题的关键．