2022-2023学年福建省福州十九中九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年福建省福州十九中九年级（下）月考数学试卷（3月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在有理数，，，中，最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年十三届全国人大五次会议审议通过的政府工作报告中提出，今年城镇新增就业目标为人以上，数据用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示几何体的俯视图为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列说法正确的是(    )

A. 正六边形的每个内角是 B. 明天福州城区晴天是必然事件
C. 是无理数 D. 相似三角形的面积比等于相似比

6.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点、点、、、处的读数分别为、、、，则直尺宽的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为(    )

A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，

9.  已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10.  如图，的顶点，，点在轴的正半轴上，，将向右平移得到，若经过点，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  使有意义的的取值范围是          ．

12.  不等式组的解集是        ．

13.  已知点，在反比例函数的图象上，则与的大小关系是        ．

14.  在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学两名男生，两名女生中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是______．

15.  关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说，相传在远古时期，伏曦氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现有、、、、、、、分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则        ．

16.  在中，，，是边上的一点．，以为边作等边，连接若，则        ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，点、、，在一条直线上，，，求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
已知：如图，为的直径，与相切于点，交延长线于点，连接、，，平分交于点，过点作，垂足为．
求证：；
若，求线段的长．

21.  本小题分
某校举办以年北京冬奥会为主题的知识竞赛，从七年级和八年级各随机抽取了名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，部分们的总如下：
：七年级抽取成绩的频数分布直方图如图．
数据分成组，，，，，：七年级抽取成绩在这一组的是：
，，，，，，，，
，，，，，，，：七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如右表：请结合以上信息完成下列问题：

七年级抽取成绩在的人数是        ，并补全频数分布直方图；
表中的值为        ；
七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是，则        填“甲”或“乙”的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
七年级的学生共有人，请你估计七年级竞赛成绩分及以上的学生人数．

22.  本小题分
如图，中，，点为边中点，且，．
请用尺规作图在上作一点，使得不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，连接，求的面积．

23.  本小题分
排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为米某次摸拟测试中，某生在处将球垫偏，之后又在、两处先后垫球，球沿抛物线运动假设抛物线、、在同一平面内，最终正好在处垫住，处离地面的距离为米如图所示，以为坐标原点米为单位长度建立直角坐标系，轴平行于地面水平直线，已知点，点的横坐标为，抛物线表达式为和抛物线表达式为．
求抛物线的函数表达式；
第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处离地面的高度至少为多少米？

24.  本小题分
如图，在矩形中，点是射线上动点，连接，点和点分别在线段和上不与端点重合，且满足．
求证：；
当时，连接并延长交于点求证：是等腰三角形；
点在边上，，，，当时，求的长．
 

25.  本小题分
已知抛物线经过点，，与轴的另一个交点为，且点在点的左边．
求抛物线的解析式；
连接，该抛物线上存在一点，当，请求出点的坐标；
抛物线的对称轴与轴的交点为，若点为抛物线在轴上方的一动点，过点作直线、分别交抛物线的对称轴于点、，记，的面积分别为和点在运动过程中，判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在有理数，，，中，最小的数是．
故选：．
正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数．两个负数比较绝对值大的反而小，依此即可求解．
本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，不符合题意，
B、不是轴对称图形，不符合题意，
C、不是轴对称图形，不符合题意，
D、是轴对称图形，符合题意，
故选：．
根据轴对称图形的定义去逐一判断即可．
本题考查了轴对称图形的定义，正确理解定义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意知，几何体的俯视图为：

故选：．
根据从上面看得到俯视图即可．
本题主要考查三视图的知识，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、根据正多边形内角公式，故该选项说法正确，
B、明天福州城区晴天是随机事件，故该选项说法错误，
C、，故该选项说法错误，
D、相似三角形的面积比等于相似比的平方，故该选项说法错误，
故选：．
根据正多边形内角公式、区分不同事件、无理数的定义、相似的性质即可得出答案．
本题考查正多边形内角公式、区分不同事件、无理数的定义、相似的性质，熟练掌握相关知识点是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点、、、处的读数分别为、、、，
，，
，，
，，即，，
，
，
直尺宽的长为．
故选：．
，可得，，，再代入计算求值即可．
本题考查了角直角三角形，熟练掌握直角三角形正切的含义是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
 

8.【答案】 

【解析】解：该同学五项评价得分分别为，，，，，
出现次数最多的数是，所以众数为，
位于中间位置的数是，所以中位数是，
平均数为．
故选：．
利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可．
本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的定义是关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：二次函数的对称轴是直线，
，
解得，
关于的方程可化为，
即，
解得，．
故选：．
先根据二次函数的对称轴是直线求出的值，再把的值代入方程，求出的值即可．
本题考查抛物线与轴的交点，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，

，，，
，，，
，
，
，
，
，
在，，
，
点；
设直线的解析式为：，
，
解得，
；
设向右平移个单位长度得到，
直线的解析式为：，
点在直线上，
，
，
向右平移个单位长度得到，
点，
故选：．
过点作轴于点，根据，利用勾股定理，可求出点的坐标；设直线的解析式为：，把，代入，求出解析式，根据点在平移的直线，即可得解．
本题考查坐标系下的平移，掌握函数平移的性质，勾股定理的运用是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件．掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
当被开方数为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解．
【解答】
解：根据二次根式有意义的条件，得
，解得．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在反比例函数中，，
此函数的图象分别在第一、第三象限，在每个象限内，随的增大而减小，
，且这两点都在第三象限，
，
故答案为：．
根据反比例函数的图象和性质，即可解答．
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握和运用反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为．
故答案为：．
画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率．
 

15.【答案】 

【解析】解：设大圈上的空白圆内的数字为，
则：由题意，得：，，
，，
共有、、、、、、、，个数字，还剩下，两个数字的位置没有确定，
，
即：，
，
；
故答案为：．
设大圈上的空白圆内的数字为，根据题意，列出等式，求出，的值，进行求出的值即可．
本题考查二元一次方程的应用，代数式求值．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：当在右侧时，如图，

在中，，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
；
当在右左侧时，过作于，

同上易证≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：或．
当在右侧时，如图，结合已知易证是等边三角形，从而易证≌得到，结合可求解；当在左侧时，过作于，同上易证≌得，，即，在中解三角形可得，即，，由即可求解．
本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，掌握全等三角形的判定和性质，解直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先根据数的乘方及开方法则，绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则，绝对值的性质是解题的关键．
 

18.【答案】证明：，，
在与中，
，
≌，
． 

【解析】由“两直线平行，内错角相等”得，易证≌，根据全等三角形对应边相等即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
所以原式，
因为化简后的式子不含，
所以与取值无关，则原式值． 

【解析】先对的分子进行提公因式，对分母进行因式分解，即 ，去括号合并即可．
本题考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则和运算顺序是解决本题的关键．
 

20.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
；
解：为直径，
，
在中，，，
，
平分，
，
，
，
． 

【解析】连接，由与相切于点得到，由得到，则，由得到，则，结论得证；
因为为直径，所以，可得出为等腰直角三角形，即可求出，由此即可解决问题．
本题考查切线的性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会常用辅助线，属于中考常考题型．
 

21.【答案】    甲 

【解析】解：成绩在的人数为人，

故答案为：；
第，名学生的成绩分别为，，所以，
故答案为：；
大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数．
甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前；
故答案为：甲；
人，
即估计七年级竞赛成绩分及以上的学生人数为．
根据各组人数求出的人数，并补全频数分布直方图；
根据中位数的定义求解即可；
根据该学生的成绩大于七年级的中位数，而小于八年级的中位数，即可判断；
用样本估计总体的思想解决问题．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
 

22.【答案】解：如图所示：点为在上一点，使得，

解：如图，连接，，

，
，即，
，
，
，
点为边中点，
． 

【解析】在的延长线上截取，作的垂直平分线交于点即可；
如图，连接，，利用可计算出，则，再利用三角形面积公式可计算出，然后利用点为边中点得到即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的面积．
 

23.【答案】解：抛物线表达式为，且经过点，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为：；
最大高度未达到要求，理由如下：
由得，抛物线的函数表达式为，
，
抛物线的顶点坐标为，
处离地面的距离为米，
球在运动中离地面的最大高度为，
最大高度未达到要求；
解：由可知，，
抛物线表达式为，
对称轴为直线，顶点坐标为，
球在运动中离地面的最大高度达到要求，
，
或，
对称轴在轴负半轴，
，
，
点的横坐标为，
，
当时，有最小值，最小值为，
点离地面的高度至少为米． 

【解析】直接利用待定系数法，即可求出抛物线的函数表达式；
将抛物线表达式化为顶点式，得到顶点坐标，求出实际最大高度，即可得到答案；
由可知，，得到抛物线表达式为，进而得到对称轴为直线，顶点坐标为，根据最大高度的要求和对称轴，求出，再根据点的横坐标为，得到，求出的最小值即可得到答案．
本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
 

24.【答案】证明：，
，，
，
，
；
证明：如图，连接交于点，连接，

四边形矩形，
，，
，，
，，
四边形平行四边形，
，
，
，
，
点是的中点，
垂直平分，
，
又，
≌，
，
，
，
，，
≌，
，
是等腰三角形；
如图，过点作，交于点，交于点，

设，则，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
同理可得：，
，
，
解得：，
，
，，
，
或，
，
∽，
，
，
或． 

【解析】由已知，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出结论；
连接交于点，连接，先证明≌，得出，再证明≌即可得出结论；
过点作，交于点，交于点，构建∽，∽，得出，求出，再由∽，即可求出的值．
本题是关于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，并涉及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出图形，添加辅助线，难度较大．
 

25.【答案】解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；

令，
解得：或，即点，
则，则，
，，
则轴，
即点、关于抛物线对称轴对称，
故点；

存在，理由：
设点、的纵坐标分别为：、，

由点、的坐标知，，
设点的坐标为：，其中，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，直线的表达式为：，
当时，，即，
当时，，
，，
即，
即存在最小值为：． 

【解析】用待定系数法即可求解；
证明轴，即点、关于抛物线对称轴对称，即可求解；
由，，得到即，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了主要考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形面积，轴对称的性质，本题综合性强，难度较大，运用分类讨论思想和方程思想是解题关键．