2023年江苏省常州外国语学校中考数学结课试卷（含解析）

2023年江苏省常州外国语学校中考数学结课试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为．(    )

A.  B.  C.  D.

2.  实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  为了有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗截止年月底，我国疫苗接种高达剂次，数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如果有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  一元二次方程 的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

7.  如图，内接于，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点，，点是线段的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折得到，点落在反比例函数的图象上，若，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  ______．

10.  计算：______．

11.  分式的值为，则的值是          ．

12.  分解因式：______．

13.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是        ．

14.  二次函数的图象经过点，，则        ．

15.  如图，直线，将一个直角的顶点放在直线上，若，则        ．

16.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连结，则的度数是          ．
 

17.  如图，在矩形中，的角平分线与边交于点，的角平分线与边的延长线交于点，与边交于点，如果，，那么______．

18.  如图，在中，，，是边上的高，将绕点旋转到点、分别与点、对应，点落在线段上，连接，则        ．

三、解答题（本大题共10小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
解方程组和不等式组：
；
．

21.  本小题分
为了解某校九年级学生开展“综合与实践”活动情况，抽样调查了该校名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，并根据调查所得的数据绘制了如图所示的尚不完整的两幅统计图根据图中信息，解答下列问题：
填空：        ，        ；
补全条形统计图；
根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的学生人数．
 

22.  本小题分
如图，甲、乙两个带指针的转盘分别被分割成三个面积相等和两个面积相等的扇形，转盘甲上标注的数字分别是，，，转盘乙上标注的数字分别是，规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转动一次．
转动转盘甲，指针指向正数的概率是        ；
若同时转动两个转盘，转盘甲的指针所指向的数记为，转盘乙的指针所指向的数记为，求满足的概率．

23.  本小题分
如图，矩形纸片，点、分别是边、上一点，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合．
请用直尺和圆规作出直线不写作法，保留作图痕迹；
连接，，判断四边形的形状，并证明你的结论．

24.  本小题分
麦收时节，为确保小麦颗粒归仓，某农场安排，两种型号的收割机进行小麦收割作业．已知一台型收割机比一台型收割机平均每天多收割公顷小麦，一台型收割机收割公顷小麦所用时间与一台型收割机收割公顷小麦所用时间相同．
一台型收割机和一台型收割机平均每天各收割小麦多少公顷？
该农场安排两种型号的收割机共台同时进行小麦收割作业，为确保每天完成不少于公顷的小麦收割任务，至少要安排多少台型收割机？

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，且点是轴正半轴上一点，连接，．
求和的值；
求的面积．

26.  本小题分
如图，在中，，点、分别是边、边上的点，连接，，是延长线上一点，连接，．
判断的形状，并说明理由；
若，求的值；
若，．
求的值；
求的长．

27.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与交于点，与轴交于点．
填空：点的坐标是        ；
若，求抛物线的表达式；
在的条件下，点是第一象限内抛物线对称轴上一点，且，求点的坐标．

28.  本小题分
已知平面直角坐标系中的点和，的半径是，交轴于点，对于点给出如下定义：过点的直线与交于点，，点为线段的中点，我们把这样的点叫做关于的“弦中点”．
如图，已知点；
点，，中是关于的“弦中点”的是        ；
若一次函数的图象上只存在一个关于的“弦中点”，求的值；
如图，若，一次函数的图象上存在关于的“弦中点”，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：根据数轴得到，，
则，，，，
故选：．
先根据数轴得到，，即可解答．
本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定，的范围．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

5.【答案】 

【解析】解：、和不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项法则，积的乘方的运算法则，完全平方公式以及平方差公式即可作出判断．
本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用以及合并同类项法则，积的乘方的运算法则，理解公式结构是关键，需要熟练掌握并灵活运用．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
一元二次方程没有实数根，
故选D．
本题考查根的判别式，解题的关键是由根的判别式的正负判断一元二次方程根的情况．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据圆周角定理进行计算，即可解答．
本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：延长交轴于，如图，
点，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
是的中点，
，
，
，，
沿直线翻折，使得点落在点处，
，，
，
≌，
，，
，
，
点落在反比例函数的图象上，
，
故选：．
由点、的坐标求得，，利用勾股定理求得，点是线段的中点，得出，易证得∽，从而求得，，然后通过证得≌，求得，，即可得到点的坐标，代入即可求得的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，相似三角形性质与判定，勾股定理等知识，求得点的坐标是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了立方根的概念，解题关键是掌握立方根的定义：如果一个数的立方等于，那么这个数就是的立方根．注意负数的立方根是负数．因为的立方是，所以的值为．
【解答】
解：．
故答案为．  

10.【答案】 

【解析】解：．
故应填：．
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减直接计算即可．
本题主要考查同底数幂的除法的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
根据分式的值为零的条件得到且，易得．
【解答】
解：分式的值为，
且，
．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
本题主要考查了关于轴对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：二次函数，
对称轴为直线，
二次函数的图象经过点，，
、关于对称轴对称，
，
，
故答案为：．
利用二次函数的对称性即可得到，解得．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知，，

，
，
故答案为：．
根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可．
本题主要考查了平行线的性质以及互余的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
 

16.【答案】或 

【解析】

【分析】
分两种情况画图，由作图可知得，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可．
本题考查了尺规作图作一条线段等于已知线段，等腰三角形的性质等，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【解答】
解：如图，点即为所求；

在中，，，
，
由作图可知：，
，
；
由作图可知：，
，
，
，
．
综上所述：的度数是或．
故答案为：或．  

17.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，
∽，
，
，
，
设，则，
平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，
，
．
故答案为：．
证明∽，得，设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而得结论．
本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质和判定的运用，解答时运用角平分线的定义和平行线得等腰是本题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
将绕点旋转，点落在线段上的点处，
，，
，是边上的高，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，，
，
，
故答案为：．
过点作于点，由旋转可知：，，利用三角函数可得，进而可得：，，运用勾股定理可得，，由等腰三角形性质可得，再运用三角函数可得出答案．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数定义，解题关键是要熟练运用等腰三角形性质．
 

19.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

20.【答案】解：，
，得：，
解得，
将代入，得：，
解得：，
则方程组的解为；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】利用加减消元法求解即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：，
，
；
故答案为：，；
参加“综合与实践”活动天数为天的学生人数为名，
补全条形图如下：

估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数为名．
答：估计该校九年级名学生中上学期参加“综合与实践”活动天及以上的人数为名．
根据各部分所占百分比之和为可求得的值，由参加“综合与实践”活动为天的人数及其所占百分比可得的值；
用总人数乘以活动天数为天的学生人数所占百分比可得对应人数，从而补全图形；
用总人数乘以样本中参加“综合与实践”活动天及以上的人数所占百分比即可得．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：由题意得，转动转盘甲，指针指向正数的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，的值分别为：，，，，，，
其中满足的结果有种，
满足的概率为．
直接利用概率公式计算即可．
画树状图得出所有等可能的结果数和满足的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，为所作；

交于点，如图，
矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，
垂直平分，
，
四边形为矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
和互相垂直平分，
四边形为菱形． 

【解析】作的垂直平分线交于点，交于点；
先利用折叠的性质得到垂直平分，则，再证明≌得到，然后利用和互相垂直平分可判断四边形为菱形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质和折叠的性质．
 

24.【答案】解：设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：一台型收割机平均每天收割小麦公顷，一台型收割机平均每天收割小麦公顷．
设安排台型收割机，则安排台型收割机，
依题意得：，
解得：．
答：至少要安排台型收割机． 

【解析】设一台型收割机平均每天收割小麦公顷，则一台型收割机平均每天收割小麦公顷，利用工作时间工作总量工作效率，结合一台型收割机收割公顷小麦所用时间与一台型收割机收割公顷小麦所用时间相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设安排台型收割机，则安排台型收割机，根据要确保每天完成不少于公顷的小麦收割任务，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：将点代入一次函数，
得，
解得，
，
，
在中，令，则，
，
，
过点作轴于点，则，
，
，
，
，，
，
，
反比例函数的图象过点，
；
，轴于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的面积为：． 

【解析】将点坐标代入一次函数解析式，求出的值，再利用平行线分线段成比例的性质得出，，求出点坐标，即可求出的值；
根据得到是等腰直角三角形，求出，再求的面积即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，求出点坐标是解决本题的关键．
 

26.【答案】解：结论：是等腰三角形．
理由：，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；

，
．
，
∽，
．
，
．
，，
∽，
，
，，
，
，
；

过点作于点，如图，
由题意得：，
，
，
，
．
，
；
，，
∽，
，
，
．
由知：∽，
，
．
． 

【解析】证明即可；
利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；
过点作于点，由题意得：，推出，推出，推出，推出可得；
证明∽，推出，推出，可得由知：∽，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
 

27.【答案】 

【解析】解：抛物线解析式为，
抛物线的的对称轴是直线，
抛物线与轴交于、两点，
点；
故答案为：；
当时，，
点，
抛物线，与轴交于点，
点，
又点，
直线的解析式为，
当时，，
点，
，
，
，
抛物线的解析式为；
如图，

点，点，点，
，，，，
，
又，
∽，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
，
是直径，
点是圆心，
，
点
先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点坐标；
先求出点，点坐标，由可列等式，求的值，即可求解；
通过证明∽，可得，可证点，点，点，点四点共圆，即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

28.【答案】， 

【解析】解：作直线，

点是弦的中点，
，
，
点在以为直径的圆上，
，
点在以为圆心，为半径的圆上，
点，在该圆上，
点，是关于的“弦中点”，
故答案为：，；
由可知，点在以为圆心，为半径的圆上，
设圆心，
直线上只存在一个关于的“弦中点”，
直线与圆相切，
过点作垂直直线交于点，

直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
∽，
，
，
解得；
由可知，点在以为直径的圆上，
直线上存在关于的“弦中点”，
直线与圆相交或相切，
过点作直线交于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，

，
，
，
圆的半径为，
，
，
，
，
，
过点作直线交于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
圆的半径为，
，
，
的取值范围为．
作直线，根据垂径定理可知，则可得点在以为圆心，为半径的圆上，再结合所给的点进行判断即可；
由可知，点在以为圆心，为半径的圆上，设圆心，由题意可知直线与圆相切，过点作垂直直线交于点，先证明∽，根据相似三角形的性质即可求解；
由可知，点在以为直径的圆上，由题意可得直线与圆相交或相切，分两种情况求出的值，即可得的取值范围．
本题是圆的综合题，考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等，熟练掌握垂径定理，直线与圆相切的性质，弄清定义，确定点的轨迹是解题的关键．