湖南省邵东市第一中学2022-2023学年高二数学下学期4月期中考试试题（Word版附答案）

这是一份湖南省邵东市第一中学2022-2023学年高二数学下学期4月期中考试试题（Word版附答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

邵东一中2023年上学期高二期中考试数学试卷
考试时间：120分钟
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为R,集合P={x|x2-4x>0},Q={x|log2(x-1)<2},则(∁RP)∩Q=(　　)
A.[0,4] B.[0,5) C.(1,4] D.[1,5)

2.函数f(x) =1x-ln(x+1) 的图象大致为(　　)







3.某次坐议组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问,要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团,且国内媒体团不能连续提问,则不同的提问方式的种数为(　　)
A.198 B.268 C.306 D.378

4.已知两条不同的直线l,m和一个平面α,下列说法正确的是(　　)
A.若l⊥m,m∥α,则l⊥α B.若l⊥m,l⊥α,则m∥α
C.若l⊥α,m∥α,则l⊥m D.若l∥α,m∥α,则l∥m

5.在数列{an}中,a1= 12 ,an=1- 1 an-1 (n≥2,n∈N*),则a2 020=(　　)
A.12 B.1 C. -1 D.2
6.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线C于A,B两点,y轴被以AB为直径的圆所截得的弦长为6,则|AB|=(　　)
A.5 B.7 C.10 D.14

7.在△ABC中,OA+OB+OC=0,AE=2EB, |AB|=λ|AC|, 若 AB·AC=9AO·EC,则实数λ=(　　)
A.33 B.32 C.63 D.62
8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)<1-f '(x), f (0)=4,则不等式f(x)<1+3ex 的解集为(　　)
A.(1,+∞) B.(-∞,1)　 C.(0,+∞) D.(-∞,0)

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.函数f(x)=cos2x -π3-2sinx+π4cosx+π4,下列四个命题正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为2π
B.函数f(x)的最大值为1
C.函数f(x)在-π4,π4上单调递增
D.将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x
10.在2x-x6的展开式中,下列说法正确的是(　　)
A.常数项为160 B.第4项的二项式系数最大
C.第3项的系数最大 D.所有项的系数和为64
11.已知数列{an}满足a1=1, an+1= an2+3an (n∈N*),则下列结论正确的有(　　)
A.1an+3为等比数列 B.{an}的通项公式为an= 12n+1-3
C.{an}为递增数列 D.1an的前n项和Tn=2n+2-3n- 4
12.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=22.则下列结论正确的是(　　)
A.三棱锥A-BEF的体积为定值
B.当E向D1运动时,二面角A-EF-B逐渐变小
C.EF在平面ABB1A1内的射影长为 1 2
D.当E与D1重合时,异面直线AE与BF所成的角为 π4

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13.有三台车床加工同一型号的零件,第一台加工的次品率为0.06,第二、三台加工的次品率均为0.05,加工出来的零件混放在一起.已知第一、二、三台车床加工的零件数分别占总数的0.25, 0.3, 0.45,任取一个零件,是次品的概为　　　　　. 
14.在各项均为正数的等比数列{an}中,a5a6=8,则数列{log2an}的前10项和等于　　　.
15. 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若＝，则C的离心率为　　
16.已知函数f(x)=2ln x, g(x)=ax2-x- 1 2 (a>0).若直线y=2x-b与函数y=f(x), y=g(x)的图象均相切,则a的值为　　　　　;若总存在直线与函数y=f(x), y=g(x)的图象均相切,则a的取值范围是　　　　　. 



四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,　　　　,DC=2. 
在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.
① 3AB=4BC,sin∠ACB=23;
② tan∠BAC+π6=3;
③ 2BCcos∠ACB=2AC-3AB.
(1)求∠DAC的大小; (2)求△ADC面积的最大值.






18. (12分)如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥菱形ABCD所在的平面,∠ABC=60°,点E,F分别是BC,PC的中点,M是线段PD上的点(不包含端点).
(1)求证:平面AEM⊥平面PAD;
(2)当AB=AP时,是否存在点M,使直线EM与平面ABF所成角的正弦值为217?若存在,请求出PMPD的值;若不存在,请说明理由.






19. (12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(Ⅰ)求X的分布列;
(Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,
在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?





20.(12分)设Sn是等比数列{an}的前n项和,满足S3,S2,S4成等差数列,已知a1+2a3+a4=4.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn= 1log2|an|, n∈N*,记Tn=b1b2+b2b3+b3b4+…+bnbn+1, n∈N*,若对于任意n∈N*,都有aTn






21. (12分) 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆E的离心率为32,过焦点且垂直于长轴的弦长为1.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线l与椭圆E交于M,N两点(点M,点N在x轴的同侧),当F1M∥F2N时,求四边形F1F2NM面积的最大值.







22. (12分) 已知函数（其中，为自然对数底数）．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围．







邵东一中2023年上学期高二期中考试数学试卷答案
一、单选
1.C　由P={x|x2-4x>0}={x|x>4,或x<0},得∁RP={x|0≤x≤4},集合Q={x|1 2.A　f(1)=11-ln2>0,排除选项C,D;由f(x)=1x-ln(x+1)≠0,得函数没有零点,排除选项B.
3.A　分两种情况,若选两个国内媒体一个国外媒体,有C62C31A22=90(种)不同提问方式;若选两个外国媒体一个国内媒体,有C61C32A33=108(种)不同提问方式,
所以共有90+108=198(种)提问方式.故选A.
4.C
5．A　a2=1-1a1=1-2=-1,a3=1-1a2=1+1=2,a4=1-1a3=1-12=12,可得数列{an}是以3为周期的周期数列,
∴a2020=a3×673+1=a1=12.故选A.

6.C　由题意可知抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),直线AB的斜率一定存在,
故设直线AB的方程为y=k(x-1),点A(x1,y1),B(x2,y2).
由y2=4x,y=k(x-1),得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则x1+x2=2k2+4k2=2+4k2,
故AB中点的横坐标为x1+x22=1+2k2,|AB|=x1+x2+p=4+4k2.
由已知得|AB|22=32+1+2k22,即2+2k22=32+1+2k22,解得k2=23.所以|AB|=10
7.D　由OA+OB+OC=0,知O为△ABC的重心,所以AO=23×12(AB+AC)=13(AB+AC).又因为AE=2EB,
所以EC=AC-AE=AC-23AB.所以9AO·EC=3(AB+AC)·(AC-23AB)
=AB·AC-2AB2+3AC2=AB·AC,所以2AB2=3AC2,λ=|AB||AC|=32=62.故选D.
8.C　解析由f(x)<1+3ex得exf(x)0,所以F'(x)<0,故函数F(x)在R上单调递减,由F(0)=e0f(0)-e0-3=4-1-3=0,故当x>0时,F(x)<0,即f(x)<1+3ex的解集是(0,+∞),故选C.
二、多选
9.BD　f(x)=cos2x-π3-sin2x+π2=32sin2x-12cos2x=sin2x-π6,所以函数f(x)的最小正周期为π,最大值为1,故A不正确,B正确;当x∈-π4,π4时,2x-π6∈-2π3,π3,函数y=sin2x-π6在此区间不单调,故C错误;当将函数f(x)的图象向左平移π12单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+π12=sin2x,故D正确.故选BD.
10.BC　解析展开式的通项为Tr+1=C6r2x6-r(-x)r=26-r(-1)rC6rx2r-6.
由2r-6=0,得r=3,所以常数项为23×(-1)3×C63=-160,故A错误;
展开式共有7项,所以第4项二项式系数最大,故B正确;
由通项公式可得r为偶数时,系数才有可能取到最大值,
当r=2时,该项系数最大为240,故C正确;
令x=1,得a0+a1+a2+…+a6=(2-1)6=1,所有项的系数和为1,故D错误.
故选BC.
11.ABD　因为1an+1=2+3anan=2an+3,所以1an+1+3=21an+3).又因为1a1+3=4≠0,所以1an+3是以4为首项,2为公比的等比数列,1an+3=4×2n-1,即an=12n+1-3,{an}为递减数列,1an的前n项和Tn=(22-3)+(23-3)+…+(2n+1-3)=2(21+22+…+2n)-3n
=2×2×(1-2n)1-2-3n=2n+2-3n-4.故选ABD.
12.AC　连接BD,AC,交于点O,由正方体性质知BDD1B1是矩形,

∴S△BEF=12EF·BB1=12×22×1=24,由正方体性质知AO⊥平面BDD1B1,
∴AO是点A到平面BDD1B1的距离,即AO=22,∴VA-BEF=13S△BEF×AO=13×24×22=112,∴VA-BEF是定值,故A正确;
连接A1C1与B1D1交于点M,连接AD1,AB1,

由正方体性质知AD1=AB1,M是B1D1中点,∴AM⊥EF,又BB1⊥EF,BB1∥AA1,∴二面角A-EF-B的平面角即为∠A1AM,在直角三角形AA1M中,tan∠MAA1=22为定值,故B不正确;

如图,作FH⊥A1B1,EG⊥A1B1,FT⊥EG,垂足分别为点H,G,T.在直角三角形EFT中,FT=cos45°×EF=22×22=12,∴HG=FT=12,故C正确;
当E与D1重合时,F与M重合,连接AC与BD交于点R,连接D1R,D1R∥BM,

异面直线AE与BF所成的角,即为直线AD1与D1R所成的角,
在△AD1R中,AD1=2,D1R=MB=BB12+MB12=62,AR=22,
由余弦定理得cos∠AD1R=32,则∠AD1R=π6,故D不正确,故选AC.

三、填空
13. 答案0.052 5　
解析依题意,任取一个零件,它是次品的概率为0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525.
14.　答案15
∵数列{an}为各项均为正数的等比数列,且a5a6=8,∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=8,
log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9+log2a10=log2(a1a10)+log2(a2a9)+log2(a3a8)+log2(a4a7)+
log2(a5a6)=5log2(a5a6)=5log28=15.
15. 答案e＝
由题可知＝b，＝c，
所以＝a，
在Rt△POF2中，cos ∠PF2O＝＝，
因为在△PF1F2中，cos ∠PF2O
＝＝，
所以＝⇒c2＝3a2，所以e＝.
16. 答案 32　，32,+∞　
由题意,f'(x)=2x,g'(x)=2ax-1,因为直线y=2x-b与函数y=f(x),y=g(x)的图象均相切,所以2x=2,2ax-1=2,解得x=1,a=32.设直线l与y=f(x)的图象相切于点P1(x1,y1),x1>0,则切线方程为y-2lnx1=2x1(x-x1),代入g(x)=ax2-x-12(a>0),得2x1x-2+2lnx1=ax2-x-12,即ax2-1+2x1x+32-2lnx1=0.所以Δ=1+2x12-4a×32-2lnx1=0.
所以a=(x1+2)22x12(3-4lnx1)(x1>0).
令y=(x1+2)22x12(3-4lnx1)(x1>0),
则y'=2(x1+2)(4lnx1+x1-1)x13(3-4lnx1)2.
令y'=0,解得x1=1.
当x1>1时,y'>0,y单调递增,当0 四、解答
17.解若选①:
(1)在△ABC中由正弦定理可得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,
又3AB=4BC,sin∠ACB=23,可得sin∠BAC=12,∴∠BAC=π6.
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.
若选②:
(1)由tan∠BAC+π6=3,
可得∠BAC=π6,
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.
当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.
若选③:
(1)2BCcos∠ACB=2AC-3AB,由正弦定理得
2sin∠BACcos∠ACB=2sin∠ABC-3sin∠ACB,
2sin∠BACcos∠ACB=2sin(∠ACB+∠BAC)-3sin∠ACB,
可得cos∠BAC=32,
∴∠BAC=π6.
又AB⊥AD,∴∠BAD=π2,
∴∠DAC=π3.
(2)在△ACD中,DC=2,由余弦定理可得DC2=4=AC2+AD2-AC·AD≥AC·AD,
故S△ADC=12AC·ADsin∠DAC≤12×4×32=3.当且仅当AC=AD时,等号成立,故△ADC面积的最大值为3.

18.(1)证明连接AC.因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,
则△ABC是正三角形,
∵E是BC的中点,∴AE⊥BC.
又AD∥BC,∴AE⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,∴PA⊥AE.
又PA∩AD=A,∴AE⊥平面PAD.
∵AE⊂平面AEM,∴平面AEM⊥平面PAD.

(2)解存在.以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,
不妨设AB=AP=2,则AE=3.
可知A(0,0,0),B(3,-1,0),C(3,1,0),D(0,2,0),E(3,0,0),F32,12,1,P(0,0,2),
则AF=32,12,1,AB=(3,-1,0).
设PM=λPD=λ(0,2,-2)(0<λ<1),
则M(0,2λ,2-2λ).
设平面ABF的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·AF=32x+12y+z=0,n·AB=3x-y=0,
取x=1,则y=3,z=-3,
得n=(1,3,-3).
设直线EM与平面ABF所成角为θ,EM=(-3,2λ,2-2λ),
则sinθ=|n·EM||n||EM|=|21(4λ-3)|78λ2-8λ+7=217,
化简得4λ2-8λ+1=0,则λ=2-32(0<λ<1).
故存在点M满足题意,此时PMPD=2-32.
.19解(Ⅰ)由柱状图　并以频率代替概率　可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.
从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04

(Ⅱ)由(Ⅰ)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(Ⅲ)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时　,
EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.
当n=20时　,
EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.
20.解(1)设数列{an}的公比为q,
由S3+S4=2S2,得S3-S2+S4-S2=0,
即有a3+a4+a3=0,得q=-2.
∵a1+a4=4-2a3,∴a1+(-2)3a1=4-2×4a1,解得a1=4.
故an=4×(-2)n-1=(-2)n+1.
(2)由(1)知bn=1log2|an|=1n+1,
则bnbn+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2.
∴Tn=12-13+13-14+14-15+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).
依题意有an2(n+2) 即a2<(n+2)(n+4)n对于任意n∈N*恒成立.
设f(n)=(n+2)(n+4)n=n+8n+6,
由于y=x+8x+6在区间[1,22]上单调递减,在区间[22,+∞)上单调递增,
∴f(n)min=f(3)=353,
∴a2 ∴实数a的取值范围为-∞,703.
21.解(1)由题可知ca=32,2b2a=1,a2=b2+c2,a>b>0,解得a=2,b=1,c=3,
所以椭圆的方程为x24+y2=1.
(2)由(1)可知F1(-3,0),F2(3,0).
延长MF1交E于点M0(图略).
设M(x1,y1),M0(x2,y2),直线MF1的方程为x=my-3.
联立x=my-3,x24+y2=1得(m2+4)y2-23my-1=0.
因为m2+4>0,Δ=12m2+4(m2+4)>0,
所以y1+y2=23mm2+4,y1y2=-1m2+4.
设F1M与F2N的距离为d,则四边形F1F2NM的面积S=12(|F1M|+|F2N|)d=12(|F1M|+|F1M0|)d=12|MM0|d=S△MF2M0.
又因为S△MF2M0=12|F1F2||y1-y2|=12·23|y1-y2|
=3(y1+y2)2-4y1y2
=43m2+1m2+4=43m2+1+3m2+1≤4323=2,
当且仅当m2+1=3m2+1,即m=±2时,等号成立,
所以四边形F1F2NM面积的最大值为2.

22.(1)、【小问1详解】

当时，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
当时，由得：
①若，则恒成立，故在R上单调递增；
②若，由得：或，由得:此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③若，由得：或，由得:
此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，在R上单调递增;
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
【小问2详解】
不等式恒成立，可得：
对恒成立，即，恒成立.
令，和在均为大于0的增函数，
所以在为增函数，由知，得：，
设，
故当时，单调递增；
当时，单调递减；
故
由题意知解得
故的取值范围为