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人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用完美版习题课件ppt
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用完美版习题课件ppt，共20页。PPT课件主要包含了化为向量问题，进行向量运算，回到图形，向量的有关知识，二面角的平面角，根据向量的加法法则，于是得等内容，欢迎下载使用。
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的向量
两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cs
1、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(1,0,1)，b=（0,1,1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .
2、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的角为______ .
例1图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N)
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小.8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.
例2.如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB;(2)求证：PB⊥平面EFD;(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小
分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题。
解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1.
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b ,CD的长为c , AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处.从A,B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b ,CD的长为c ,AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值.
库底与水坝所成二面角的余弦值为
如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 ,求平面α与平面β的夹角.
如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.
1.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )
2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分别是AD,BC的中点，求异面直线AN,CM所成角的余弦值。
方法3放入长方体中建立空间直角坐标系求解
3.如图，∠ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
直线的方向向量：与直线平行的非零向量
平面的法向量：与平面垂直的向量
两向量数量积的定义：a·b=|a|·|b|·cs
1、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a=(1,0,1)，b=（0,1,1），那么这条斜线与平面所成的角是______ .
2、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的角为______ .
例1图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2,精确到0.01N)
分析：因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小.8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量.
例2.如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证：PA//平面EDB;(2)求证：PB⊥平面EFD;(3)求平面CPB与平面PBD的夹角的大小
分析：本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决.由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题。
解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设DC=1.
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b ,CD的长为c , AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。
例1：如图3，甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝斜面上的点B处.从A,B到直线l （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a和b ,CD的长为c ,AB的长为d。求库底与水坝所成二面角的余弦值.
库底与水坝所成二面角的余弦值为
如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 ,求平面α与平面β的夹角.
如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小.
1.PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,每两条射线的夹角均为60°,那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是( )
2.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分别是AD,BC的中点，求异面直线AN,CM所成角的余弦值。
方法3放入长方体中建立空间直角坐标系求解
3.如图，∠ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°.求：(1)直线AD与直线BC所成角的大小；(2)直线AD与平面BCD所成角的大小；(3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值.
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