人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.3 基本初等函数的导数优质ppt课件

课程目标

学科素养

A. 理解导函数的概念．

B.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2， 的导数．

C.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．

1.数学抽象：导数的概念

2.逻辑推理：导数及导数的几何意义

3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率

4.直观想象：导数的几何意义

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

探究1. 已知函数, 任取一个实数判断在是否可导，如果可导，求出,并观察与关系.

设自变量在附近的改变量为则函数在以, 为端点的闭区间上的平均变化率为

.
可以看出，当无限接近于0时，平均变化率无限接近于，

因此在处可导，而且

显然随着变化而变化，而且的值确定之后，也就确定了。

例如，时， 时，

这就说明，是的函数。

1.　函数的导数

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)或y′(或y′x)．

二、典例解析

例1.分别求出下列函数的导数：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

解：（1）根据定义可知

（2）根据定义可知

（3）根据定义可知

=[

=

解：（4）根据定义可知

（5）根据定义可知

=

=

=

         上述结果表明，例1中的函数在它们的定义域或指定的范围内都是可导的，这也就说明对应的曲线在各点处都存在切线。而且，我们还能根据导函数来分析不同点切线有什么联系或不同。

     例如，由的导数是 偶函数可知，在曲线上,自变量互为相反数的两点，它们的切线斜率相等；而且，因为 增函数，这就说明曲线在那一部分，自变量越大，切线的斜率越大，如图所示；

同样，由的导函数为 也能得到类似的结论，只是曲线在的那一部分,自变量越大，切线的斜率越小，如图所示；

为了简单起见，前面我们得到的有关导函数的结论通常简写为;

探究2.观察上述导函数的结论，归纳出（ ）的导函数具有形式（即写出的结果）.

注意到 ，,所以可以改写为

类似地,

可以改写为

结合和可以归纳出

.

例2.已知求 以及曲线在点（4，）处的切线方程。

解：因为

所以 又因为

所以切线的方程为

即

典例解析基本初等函数的导数公式

例3.已知函数 求 , 。

解：在

因此

在

因此.

1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．

3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别．

跟踪训练1．求下列函数的导数：

(1)y＝(x＞0)；

(2)y＝sin(π－x)；

(3)y＝logx.

[解]　(1)∵y＝＝(x＞0)，∴y′＝()′＝.

(2)y＝sin(π－x)＝sin x，∴y′＝cos x.

(3)y′＝′＝＝－.

例4. 求曲线在处切线的切线方程。

解：因为 因此所求切线的斜率为又因为，因此切线的方程为

即

例5. 已知函数, 而是曲线的切线，且经过点（2,3）.

（1）判断（2,3）是否是曲线上的点;

（2）求的方程。

解：（1）因为，所以点（2,3）不是曲线上的点.

（2）设切点为

因为所以切线的斜率为

又因为，所以直线的方程为

将（2,3）代入上式并整理，可得

由此可解得 或

因此，切点为（1,1）或（3,9），

切线方程为或

即的方程为或

求曲线方程或切线方程时，应注意：

1.切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；

2.曲线在切点处的导数就是切线的斜率；

3.必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．

跟踪训练2.  当常数k为何值时，直线y1＝x与曲线y2＝x2＋k相切？请求出切点．

解：设切点为A(x0，x＋k)．∵y′　2＝2x，

∴∴

故当k＝时，直线y1＝x与曲线y2＝x2＋k相切，

且切点坐标为.

通过具体问题的思考和分析，建立导函数的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

由特殊到一般的思想，归纳出幂函数的导数公式，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对基本函数导数公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

通过典型例题，加深学生对求曲线上某点处切线问题的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1．设函数f(x)＝cos x，则′＝ (　　)

A．0　　　　　　　　　　B．1

C．－1              D．以上均不正确

解析：注意此题中是先求函数值再求导所以导数是0

答案：A　

2．下列各式中正确的是(   )

A．(logax)′＝                B．(logax)′＝

C．(3x)′＝3x                 D．(3x)′＝3xln 3

解析：由(logax)′＝，可知A，B均错；由(3x)′＝3xln 3可知D正确．

答案：D　

3．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．

解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.

因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，

即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.

答案：1或－

4．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝________.

解析：∵f′(x)＝，

∴f′(1)＝＝－1.

∴ln a＝－1，即a＝.

答案：

5．求与曲线y＝f(x)＝在点P(8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程．

解：因为y＝，所以y′＝()′＝()′＝.

所以f′(8)＝×＝，即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为.所以所求直线的斜率为－3，从而所求直线方程为y－8＝－3(x－4)，即3x＋y－20＝0.

6.已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．

∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为：k1＝cos x0，k2＝－sin x0.

若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，

即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．

∴两条曲线不存在公共点，

使在这一点处的两条切线互相垂直．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式，解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y＝1－2sin2的导数，因为y＝1－2sin2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。