人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.2 利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性精品课件ppt

课程目标

学科素养

A.通过具体函数图象，发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养。

B.能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养。

1.数学抽象：导数正负与函数单调性关系

2.逻辑推理：运用导数正负判断函数单调性

3.数学运算：函数单调区间的求解

4.直观想象：导数与函数单调性的关系

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

导数是函数的瞬时变化率，因此导数必然与函数的增减性以及增减的快与慢等有关，本节我们用导数来研究函数的性质，体会导数在研究函数性质中的作用。

探究1.竖直上抛的一个小物体，其高度与时间之间的关系式是，

  求出这个函数的导函数，做出这个函数的图像与导函数的图像，观察函数的单调性与导函数之间的关系，并总结出一般结论.

因为

所以可以作出函数及导函数的图像如图所示，

其中是一个二次函数，而且这个函数的对称轴为 从图可以看出,在区间上， 这说明曲线在左边的部分的每一个点处的切线斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此说明函数在区间上是增函数，类似的在区间上，

这说明曲线在右边部分的每一点处的切线斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此说明函数在区间上是减函数。

导数f (x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率

一般地，从函数导数的几何意义理解函数的单调性与导数的正负之间的关系；

函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减． (　　)

(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． (　　)

(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)

(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　)

[解析]　(1)√　函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，所以函数f (x)在这个区间上单调递减，故正确．

(2)×　切线的“陡峭”程度与|f ′(x)|的大小有关，故错误．

(3)√　函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致．

(4)√　若f ′(x)≥0(≤0)，则函数f (x)在区间内单调递增(减)，故f ′(x)＝0不影响函数单调性．

 [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

二、典例解析

例1.求函数的单调区间。

解：根据

=

令 ，可得<0，解得<1 ，因此，

函数在区间上是增函数

令 ，可得0 ，解得1 ，因此，

函数在区间上是减函数

更进一步，可知函数的单调递减区间为，

单调递增区间为.

例2.求函数的单调区间。

解：根据题意有

令可得

，解不等式可得或

令可得

，解不等式可得

因此，函数的单调递增区间为和 ，

单调递减区间为.

例3.求函数的单调区间。

解：根据题意有

令可得,因为恒成立，

所以0，因此

令可得，解不等式可得

因此，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为.

用解不等式法求单调区间的步骤

1．确定函数f（x）的定义域；

2.求导函数f′（x）；

3.解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0，并写出解集；

4.根据3.的结果确定函数f（x）的单调区间.

跟踪训练1．（1）函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　)

A．增函数　　　　B．减函数

C．先增后减     D．不确定

A　[∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，

∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数．]

（2）求f (x)＝3x2－2ln x函数的单调区间：

[解]　(1)f (x)＝3x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x)＝6x－＝＝，

由x＞0，f ′(x)＞0，解得x＞.由x＞0，f ′(x)＜0，解得0＜x＜.

∴函数f (x)＝3x2－2ln x的单调递增区间为，

单调递减区间为.

例4.生物学上的种群研究表明，很多物种的数量与时间的关系都存在下述规律：一开始，由于物种数量较少，因此物种数量的增加比较慢；随着物种数量的增加，又因为有大量的资源可以加以利用，物种数量的增加会越来越快；到了一定程度之后，因为资源有限，再加上物种内部的竞争开始变得激烈，物种数量的增加将减缓，假设是时间的函数，而且认为它们都能在某一区间内任意取值，则如图所示（1）（2）中，哪个能近似地表示上述规律？

解：物种数量的增加比较慢，表示曲线在对应点的切线斜率比较小，增加越来越快，表示曲线在对应点的切线斜率越来越大，因此图2能近似的表示上述规律.

研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点

研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.

跟踪训练2．（1）导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)的图象可能是(　　)

　　　　　　　　　A　　　　B　　　　 C　　　　 D

D　[当x＞0时，f ′(x)＞0，当x＜0时，f ′(x)＜0，所以函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，对照图象，应选D.]

（2）．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________．

(－1，2)和(4，＋∞)　

[由y＝f ′(x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得y＝f (x)的大致图象如图所示．所以函数f (x)的单调递增区间是(－1，2)和(4，＋∞)．]

通过具体问题的思考和分析，提出导数与函数单调性的问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

由特殊到一般的思想，归纳出导数的正负与函数单调性的关系，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对运用导数判断函数单调性的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1.函数f(x)=-x3-x2+x的单调递增区间是(　　)

A. B.

C. D.

解析:f'(x)=-3x2-2x+1,

令f'(x)>0,即-3x2-2x+1>0,

所以3x2+2x-1<0,解得-1<x<.

故f(x)的单调递增区间是.

答案:A

2.若函数f(x)=x2-2x-3ln x,则函数f(x)的单调递减区间为(　　)

A.(-∞,-1)∪[3,+∞)    B.[-1,3]      C.[0,3]             D.[3,+∞)

解析:函数f(x)=x2-2x-3ln x的定义域为{x|x>0},

因为f'(x)=x-2-,

令<0,且x>0,得0<x<3,

所以函数f(x)=x2-2x-3ln x的单调递减区间为[0,3].故选C.

答案:C

3.已知函数y＝f (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)

B  解：法一：由函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象自左到右先增后减，可知函数y＝f (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小．

法二：由于f ′(x)＞0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升．四个图象都满足．

由于当x＞0时，f ′(x)＞0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x＜0时，f ′(x)＞0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断B正确．故选B.]

4．函数f (x)＝ex－x的单调递增区间为________．

(0，＋∞)　

[∵f (x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1.由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.

∴f (x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]

5.求函数f(x)=2ln x-ax的单调区间.

解:函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-a.

(1)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增;

(2)当a>0时,由f'(x)=-a>0,解得0<x<;由f'(x)<0,解得x>.

所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.

综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间是[0,+∞),无单调减区间;

当a>0时,f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

1）  函数的单调性与导数的正负的关系；

在某个区间（a，b）内，如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递增；

在某个区间（a，b）内，如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间（a，b）上单调递减；

2） 用导数判断函数单调性的步骤；

(1)求函数的定义域；

(2)求f'(x)；

(3)解不等式f'(x)>0(或f'(x)<0)；即为f(x) 的单调增（或减）区间;

3）应用导数判断函数图象；

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。