高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量精品课件ppt

课程目标

学科素养

A. 理解位置向量、方向向量的概念

B.能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题.

C.初步了解两条异面直线的距离的定义.

1.数学抽象：点的位置向量、直线的方向向量

2.逻辑推理：用直线的方向向量解决两条直线所成的角

3.直观想象：点的位置向量、直线的方向向量

4.数学运算：求解异面直线所成的角，直线的平行与垂直判断

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境导学

在交通繁忙的路口，交警常常借助专用的手势，作为 “语言” 来指挥交通。在不同领域有不同的“语言”,研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的“向量语言”来进行。同学们,你们知道是如何提炼的吗?提炼出来后又将如何运用呢?

二、探究新知

问题1：（1）如图所示的，四面体A-BCD中，怎样借助空间

向量来描述A，B，C在空间中是不同的点？

（2）一般地，怎样借助空间向量来刻画空间中点的位置？

      一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以有向量 唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量。特别地，空间直角坐标系中的任意一点都有它的位置向量唯一确定，从而也就有它的坐标唯一确定。

问题2：（1）如图所示的长方体中,设 = ，如果只借助能不能确定直线AB在空间中的位置？
（2）一般地,怎样借助空间向量来刻画空间中直线的位置？

  一般地如果是空间中的一条直线，空间中的一个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与 平行或重合，则称 为直线L的一个方向向量，此时也称 与直线 平行，记作

1.点的位置向量、直线的方向向量

思考：空间一条直线的方向向量唯一吗?

提示:不唯一.

2.空间中两条直线所成的角

设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,

则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>,

特别地,sin θ=sin<v1,v2>,cos θ=|cos<v1,v2>|;l1⊥l2⇔<v1,v2>=   ⇔v1·v2=0.

1.已知直线a,b的方向向量分别是m=(1,k,1),n=(k,k+2,2),若a⊥b,

则k=　　　　. 

解析:∵a⊥b,∴m⊥n,即m·n=0.∴k+k2+2k+2=0,

即k2+3k+2=0,∴k=-2或k=-1.

答案:-1或-2

3.两条异面直线的距离

     一般地,如果l1与l2是空间中两条异面直线,A∈l1,B∈l2,AB⊥l1,AB⊥l2,则称AB为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离.

思考：怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度?

提示:利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组,求出公垂线段对应的向量,准确找出公垂线段在图中的位置,运用向量求出公垂线段的长度.

例1.已知正方体中，E为的中点，

求证:直线与直线不平行

证明：以为原点，，，的方向分别为轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，则（0,0,1）,

所以= =

又因为所以与不平行，

因为为直线的一个方向，向量为直线的一个方向，向量,当时 必有 由上可知直线与直线不平行

       解决直线的位置关系,可用直线对应的方向向量的坐标来刻画,对于此类问题应注意先要进行宏观判断,再合理地选取坐标公式.

若直线l1的方向向量u1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为u2=(a2,b2,c2).

(注:下面的λ,k∈R).

1.如果l1∥l2,那么u1∥u2⇔u1=λu2⇔(a1,b1,c1)=λ(a2,b2,c2);

2.如果l1⊥l2,那么u1⊥u2⇔u1·u2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.

跟踪训练1已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(　　)

A.a∥c,  b∥c            B.a∥b, a⊥c

C.a∥c, a⊥b             D.以上都不对

答案:C

例2  如图,在三棱锥O-ABC中,OA, OB,OC两两垂直，E为OC的中点，且OB=OC=2OA=2, 求直线AE与BC所成角的余弦值的大小.

解：（方法一） 

根据已知可得，， 不共面，且=1, =2

= = =0

又因为= =, =

所以=()()=2， =()()=8，所以==

因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为.

解：（方法二）因为OA，OB,OC两两互相垂直，

所以能以O为原点, ，，的方向分别

为轴正方向，建立如图所示直角坐标

系，由OB=OC=2OA=2,

可知A（0,0,1）, ，

所以=(-1,0,1), =(0,0,1) ,    因此

所以===

因此直线AE与BC所成角的余弦值的大小为.

解：（方法三）设OB的中点为F，连接EF，AF.由E，F分别为OC，OB中点可知EF为OBC的中位线，从而EF BC，

因此直线AE与BC所成角的大小等于直线AE与EF所成角的大小.又易知OA=OE=OF=1，而且OA,OE,OF两两垂直，

因此AE=EF=AF=

所以是等边三角形,从而,

因此直线AE与BC所成角的大小为

     求解异面直线夹角方法,常用的就是建系后利用向量的坐标处理,除此之外还要注意其他方法的要领.

(1)传统法:作出与异面直线所成角相等的平面角,进而构造三角形求解.这种方法灵活技巧性强,强调对夹角定义的挖掘.

(2)向量法:在两异面直线a与b上分别取点A,B和C,D,则可分别为a,b的方向向量,则cos θ=.这一方法思路简单,不需构造,但计算量一般较大.

运用向量法常用两种途径:

①基底法

在一些不适合建立坐标系的题型中,我们经常采用取定基底的方法,这是小技巧.在由公式cos<a,b>=求向量a,b的夹角时,关键是求出a·b及|a|与|b|,一般是把a,b用基向量表示出来,再求有关的量.

②坐标法

根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.

跟踪训练2  如图,在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=     ,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小.

解:以O为坐标原点,的方向为x轴,y轴的正方向.建立如图所示的空间直角坐标系,

则O(0,0,0),O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),

∴=(-,1,-),=(,-1,-).

∴|cos<>|==.

∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.

例3 如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,

E,F分别为AC,DC的中点.

求证:EF⊥BC.

证明:由题意,以点B为坐标原点,在平面DBC内过点B作垂直于BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,

在平面ABC内过点B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

易得B(0,0,0),A0,-1,,D(,-1,0),C(0,2,0),

因而E0,,F,0,，所以=,0,-,=(0,2,0),

则=0,所以,即EF⊥BC.

              证明两直线垂直的基本步骤

     建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直.对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的重要性,要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准.本例中要充分抓住平面ABC和平面BCD互相垂直这一条件.

跟踪训练3  已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,M是底面上BC边的中点,N是侧棱CC1上的点,且CN=  CC1.求证:AB1⊥MN.

证明:设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

由已知得A-,0,0,B,0,0,C0,,0,N0,,B1,0,1,

∵M为BC中点,∴M,0.

∴=-,=(1,0,1),∴=-+0+=0,

∴,即AB1⊥MN.

金题典例：如图,已知▱ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成60°角,求B,D间的距离.

错解: 如图,因为∠ACD=90°,

所以=0,同理=0.

因为AB与CD的夹角为60°,

所以的夹角为60°.

因为,

所以||2=||2+||2+||2+2+2+2=3+2cos<>=4.

所以||=2,即B,D间的距离为2.

错因分析： 由异面直线AB与CD成60°角得到所成的角为60°,这是错误的.混淆了异面直线所成的角与向量的夹角的定义,从而致误.

向量的夹角与向量的方向有关系,且向量的夹角的范围为0≤θ≤π;异面直线的夹角与直线的方向没有关系,异面直线的夹角的范围是0<θ≤.两者的范围不一样.

正解:因为∠ACD=90°,所以=0,同理=0.

因为AB与CD的夹角为60°,

所以的夹角为60°或120°,

因为,

所以||2=||2+||2+||2+2+2+2=3+2cos<>.

当所成的角为60°时,||2=3+2cos<>=4,所以||=2,即B、D间的距离为2;当所成的角为120°时,||2=3+2cos<>=2,所以||=.

综上可得,B,D间的距离为2或.

创设问题情境，引导学生体会运用向量语言，实现将空间几何问题转化为向量语言，进而实现代数化的基本思想，提升数形结合思想。

由问题引导，让学生感受到运用向量语言表示立体几何要素，实现立体几何向量化。

通过对立体几何的向量表示的学习，进而使向量坐标化，让学生感受，用代数方法解决立体几何问题。发展学生逻辑推理，数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典型例题的分析和解决，让学生感受空间向量坐标运算在解决空间几何中的应用。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过典例解析，进一步让学生体会空间向量坐标在解决立体几何中的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1.若A(1,0,-1),B(2,1,2)在直线l上,则直线l的一个方向向量是(　　)

A.(2,2,6)    B.(-1,1,3)     C.(3,1,1)     D.(-3,0,1)

解析:∵A,B在直线l上,∴=(1,1,3),与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.

答案:A

2.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(3,-2,m),若l1⊥l2,则m等于(　　)

A.-2 B.2 C.10   D.6

解析:因为a⊥b,故a·b=0,即-2×3+2×(-2)+m=0,解得m=10.

答案:C

3.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是　　　　. 

解析:∵=()·=||2=1,

∴cos<>=.所以<>=.

答案:

4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上的动点,

求证:A1E⊥BD.

证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).

设E(0,a,b)(0≤b≤a),=(-a,a,b-a),

=(-a,-a,0),=a2-a2+(b-a)·0=0,

∴,即A1E⊥BD.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。