高中数学2.6.2 双曲线的几何性质优质课件ppt

课程目标

学科素养

A.掌握双曲线的简单几何性质.

B.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.

1.数学抽象：双曲线的几何性质

2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质

3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质

4.直观想象：双曲线的几何性质

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    创设问题情境

已知双曲线C的方程为根据这个方程完成下列任务：
（1）已观察方程中与是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；
（2）指出双曲线C是否关于轴、 轴、原点对称；
（3）指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；

（4）如果（ ， ）满足双曲线C的方程,说出当增大时，怎样变化，并指出反应了双曲线的形状具有什么特点.

   一般地，如果双曲线C的标准方程是  (>0，>0)，可得到双曲线的几何性质为？

（1）根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围；
（2）猜想双曲线离心率的大小与双曲线形状有什么联系，并尝试证明.

因为另外，注意到

=  说明越趋近于1，则的值越小，

因此双曲线的渐近线所夹得双曲线区域越狭窄.

思考

(1)双曲线的离心率对开口大小有怎样的影响?

提示:双曲线的离心率e=反映了双曲线开口的大小,e越大,双曲线的开口就越大.

(2)一条直线与双曲线的渐近线平行时,它与双曲线有几个公共点?

提示:1个.

如果双曲线C的标准方程是  (>0，>0)，那么该双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率中，那些与焦点在轴上的双曲线是有区别的？

双曲线的几何性质

 (1)双曲线与椭圆的六个不同点:

(2)等轴双曲线是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率为      .

(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.

1.判断

(1)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的形状相同. (　　)

(2)双曲线=1与=1(a>0,b>0)的渐近线相同. (　　)

(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直. (　　)

答案:(1)√　(2)×　(3)√

2.圆锥曲线=1的离心率e=2,则实数m的值为(　　)

A.-5　　　B.-35           C.19     D.-11

解析:由圆锥曲线=1的离心率e=2,说明曲线是双曲线,

所以m<-8,∴e==2,解得m=-35.

答案:B

二、典例解析

例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程.

解:将9y2-4x2=-36化为标准方程为=1,

即=1,所以a=3,b=2,c=. 因此顶点坐标为(-3,0),(3,0),

焦点坐标为(-,0),(,0),实轴长2a=6,虚轴长2b=4,

离心率e=, 渐近线方程为y=±x=±x.

由双曲线的方程研究其几何性质的注意点

(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.

(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.

(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.

跟踪训练1   求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.

解:把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)

化为标准方程为=1(m>0,n>0),

由此可知,半实轴长a=,

半虚轴长b=,c=,

焦点坐标为(,0),(-,0),

离心率e=,

顶点坐标为(-,0),(,0),

所以渐近线方程为y=± x,即y=±x.

例2 根据以下条件,求双曲线的标准方程.

(1)过点P(3,-),离心率为;

(2)与椭圆=1有公共焦点,且离心率e=;

(3)与双曲线=1有共同渐近线,且过点(-3,2).

解:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为=1(a>0,b>0),

∵e=,∴=2,即a2=b2.①

又双曲线过P(3,-),∴=1,②

由①②得a2=b2=4,故双曲线方程为=1.

若双曲线的焦点在y轴上,

设其方程为=1(a>0,b>0),

同理有a2=b2,③

=1,④

由③④得a2=b2=-4(舍去).综上,双曲线的标准方程为=1.

(2)由椭圆方程=1,知半焦距为,

∴焦点是F1(-,0),F2(,0).

因此双曲线的焦点为(-,0),(,0).

设双曲线方程为=1(a>0,b>0),

由已知条件,有解得

∴所求双曲线的标准方程为-y2=1.

(3)设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点(-3,2)代入得λ=,

∴双曲线方程为,

即双曲线的标准方程为=1.

1.根据双曲线的某些几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式.

2.巧设双曲线方程的六种方法与技巧

 (1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).

(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为=1(a>0,b>0).

(3)与双曲线=1共焦点的双曲线方程可设为=1(λ≠0,-b2<λ<a2).

(4)与双曲线=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为=λ(λ≠0).

(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).

(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).

跟踪训练2  求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;

(2)过点(2,0),与双曲线=1离心率相等.

解:(1)设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知2b=8,e=, 从而b=4,c=a, 代入c2=a2+b2,得a2=9,

故双曲线的标准方程为=1.

(2)由题意知,所求双曲线的焦点在x轴上,故可设其方程为=λ(λ>0),将点(2,0)的坐标代入方程得λ=, 故所求双曲线的标准方程为-y2=1.

通过具体的双曲线方程，类比椭圆讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。

推广到一般地双曲线方程，讨论双曲线的几何性质。发展学生数学抽象，数学运算，直观想象的核心素养。

通过典例解析，已知双曲线的几何条件求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，进一步熟练掌握双曲线标准方程的求解及其定义，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(　　)

A.4 B.-4 C.- D.

解析:由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0,则双曲线方程可化为y2-=1,

则a2=1,a=1,又虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2,∴-=b2=4,∴m=-,故选C.

答案:C

2.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0),P是双曲线上一点,且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是 (　　)

A.C的方程为=1           B.C的离心率为

C.焦点到渐近线的距离为3        D.|PF|的最小值为2

解析:双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±x,可得c=5,焦点坐标在x轴上,所以,因为c=5,所以b=4,a=3,

所以C的方程为=1,A正确;

离心率为e=,B不正确;焦点到渐近线的距离为d==4,C不正确;

|PF|的最小值为c-a=2,D正确.

答案:AD

3.中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是　　　　　. 

解析:令y=0,得x=-4,∴等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),

∴c=4,a2=b2=c2=×16=8,故等轴双曲线的方程为x2-y2=8.

答案:x2-y2=8

4.关于双曲线=-1,有以下说法:

①实轴长为6;②双曲线的离心率是;③焦点坐标为(±5,0);④渐近线方程是y=±x;⑤焦点到渐近线的距离等于3.

正确的说法是　　　　　.(把所有正确说法的序号都填上) 

解析:∵双曲线=-1,即=1,∴a=4,b=3,c==5,

∴①实轴长为2a=8,故①错误;

②双曲线的离心率是e=,故②正确;

③焦点坐标为F(0,±5),故③错误;

④渐近线方程是y=±x,故④正确;

⑤焦点到渐近线的距离为d==3,故⑤正确.

答案:②④⑤

5.已知F为双曲线C:=1的左焦点,P,Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为　　　　　. 

解析:根据题意,双曲线C:=1的左焦点F(-,0),所以点A(,0)是双曲线的右焦点,P,Q为双曲线C右支上的两点.虚轴长为6,所以|PQ|=12. 双曲线图像如图.

|PF|-|AP|=2a=4,①    |QF|-|QA|=2a=4,②

①+②得|PF|+|QF|-|PQ|=8,

∴周长为|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32.

答案:32

6.已知双曲线C1:x2-=1.

(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程;

(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点,当=3时,求实数m的值.

解:(1)双曲线C1的焦点坐标为(,0),(-,0),

设双曲线C2的标准方程为=1(a>0,b>0),

则解得∴双曲线C2的标准方程为-y2=1.

(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x,

由可得x=m,y=2m,∴A(m,2m).

由可得x=-m,y=m,

∴B.  ∴=-m2+m2=m2.

∵=3,  ∴m2=3,即m=±.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。