高中人教B版 (2019)2.6.2 双曲线的几何性质优质ppt课件

课程目标

学科素养

A.掌握双曲线的简单几何性质.

B.理解双曲线离心率的定义，掌握离心率的算法.

1.数学抽象：双曲线的几何性质

2.逻辑推理：类比椭圆研究双曲线的几何性质

3.数学运算：运用双曲线的标准方程讨论几何性质

4.直观想象：双曲线的几何性质

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    创设问题情境

双曲线的几何性质

 1.若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x                 B．y＝±x

C．y＝±x                 D．y＝±x

B　[在双曲线中，离心率e＝＝＝，可得＝，故所求的双曲线的

渐近线方程是y＝±x.]

2.若双曲线 －＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的

离心率为(　　)

A．　   B．　　　C．　　　D．

 [思路探究]　渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率．

 [解析]　(1)由题意知＝，则e2＝1＋＝，所以e＝.

3.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)

A．3     B．2  C．      D．

解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，

不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，

作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝a，

所以M(2a，a)．将点M的坐标代入双曲线方程－＝1，得a＝b，所以e＝.故选D．

二、典例解析

例 1双曲线方程为-y2=1,其中a>0,双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为 (　　)

A. B. C. D.

解析:根据题意,可以求得双曲线的渐近线的方程为x±ay=0,而圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,结合题意有=1,结合a>0的条件,求得a=,所以c==2,所以有e=,故选A.

答案:A

例 2 已知F1,F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为(　　)

A. B.4 C. D.

解析:因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|

,因为A为双曲线右支上一点,

所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,

因为B为双曲线左支上一点,

所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a,

由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cos 120°,得c2=7a2,则e2=7,又e>1,所以e=.故选A.

答案:A

例3. 已知F1,F2是双曲线=1 (a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的

双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率.

解:设F1(-c,0)(c>0),将x=-c代入双曲线的方程得=1,

那么y=±.

由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°,知|PF1|=|F1F2|,

所以=2c,所以b2=2ac,

所以c2-2ac-a2=0,所以-2×-1=0,

即e2-2e-1=0,

所以e=1+或e=1-(舍去),

所以双曲线的离心率为1+.

求双曲线的离心率

(1)求双曲线的离心率或其范围的方法

①求a,b,c的值,由=1+直接求e.

②列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解.

(2)求解时,若用到特殊几何图形,可运用几何性质使问题简化.

跟踪训练1  渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(　　)

A. B.1 C. D.2

解析:因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b=1.

所以c=,双曲线的率心率e=.

答案:C

跟踪训练2 已知点F(1,0).若l:x=-1与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为 (　　)

A. B. C.2 D.

解析:由得y1=-.，由得y2=.∴|AB|=.

由|AB|=4|OF|得=4,故=2.()2=.∴e=,故选D.

答案:D

回顾双曲线的几何性质，通过离心率的有关问题，提出求解双曲线离心率的算法问题。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。

通过典例解析，帮助学生理出计算离心率的基本解题思路，进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，进一步熟练掌握离心率的基本算法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1．已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)

A．2　　 B．　　C．　　D．1

【答案】D　[由题意得e＝＝2，∴＝2a，

∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]

2．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为(　　)

A．y2－3x2＝36                       B．x2－3y2＝36

C．3y2－x2＝36                        D．3x2－y2＝36

【答案】A　[椭圆4x2＋y2＝64，即＋＝1，焦点为(0，±4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c＝4，e＝，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.]

3.已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)

A．x±y＝0　　　　　B．x±y＝0

C．x±2y＝0            D．2x±y＝0

[解]　椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.

由e1e2＝·＝·＝，

解得＝，所以＝，

所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.

4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)

A．　   B．　　　C．　　　D．3

B　[考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|·|PF2|＝.又已知|PF1|·|PF2|＝ab，∴ab＝，得＝(负值舍去)．

∴该双曲线的离心率e＝＝＝＝.]

5.过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．

2＋　[如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a

代入－＝1中，得y2＝3b2，

不妨令点P的坐标为(2a，－b)，

此时kPF2＝＝，

得到c＝(2＋)a，

即双曲线C的离心率e＝＝2＋.

6.设F为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(　　)

A. B.               C.2    D.

解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.

∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=.

∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,

∴|OA|=.∴P.

又点P在圆x2+y2=a2上,∴=a2,即=a2,∴e2==2,

∴e=,故选A.

答案:A

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。