选择性必修 第二册3.1.1 基本计数原理教课ppt课件

www.ks5u.com第2课时　基本计数原理的应用

【例1】　(教材 P6例2改编)用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的：

(1)银行存折的四位密码？

(2)四位整数？

(3)比2 000大的四位偶数？

[思路点拨]　(1)用分步乘法计数原理求解(1)问；(2)0不能作首位，优先排首位，用分步乘法计数原理求解；(3)可以按个位是0,2,4分三类，也可以按首位是2,3,4,5分四类解决，也可以用间接法求解．

[解]　(1)分步解决．

第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；

第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；

第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；

第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．

由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有

6×5×4×3＝360(个)．

(2)分步解决．

第一步：首位数字有5种选取方法；

第二步：百位数字有5种选取方法；

第三步：十位数字有4种选取方法；

第四步：个位数字有3种选取方法．

由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有

5×5×4×3＝300(个)．

(3)法一：按末位是0,2,4分为三类：

第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；

第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；

第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．

则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．

法二：按千位是2,3,4,5分四类：

第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；

第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；

第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；

第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．

则由分类加法计数原理有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．

法三：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：

第一类：末位是0的有5×4×3＝60(个)；

第二类：末位是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．

共有60＋96＝156(个)．

其中比2 000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，

所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个)．

1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．

2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．

1．四张卡片上分别标有数字“2”、“0”、“1”、“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为(　　)

A．6　　　 B．9　　　

C．12 D．24

B　[法一：(列举法)根据0的位置分类：

第一类：0在个位有：2110,1210,1120，共3个．

第二类：0在十位有：2101,1201,1102，共3个．

第三类：0在百位有：2011,1021,1012，共3个．

故共有3＋3＋3＝9个不同的四位数，故选B.

法二：(树形图法)如图，可知这样的数共有9个，故选B.

]

【例2】　(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有(　　)

A．16种　　　 B．18种　　　

C．37种 D．48种

(2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________种．

[思路点拨]　(1)由于去甲工厂的班级分配情况较多，而其对立面较少，可考虑间接法求解．

(2)先让一人去抽，然后再让被抽到贺卡所写人去抽．

(1)C　(2)9　[(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.

(2)不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．]

求解抽取(分配)问题的方法

1．当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法．

2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．

2．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？

[解]　法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：

第一步：放第一个小球有5种选择；

第二步：放第二个小球有4种选择；

第三步：放第三个小球有3种选择．

根据分步乘法计数原理得：

共有方法数N＝5×4×3＝60(种)．

法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：

第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；

第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；

第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；

分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．

根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．

[探究问题]

1．用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？

[提示]　涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．

2．在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？

[提示]　恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．

3．在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？

[提示]　若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．

【例3】　将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

[思路点拨]　注意小方格中第2个和第3个所涂颜色可能相同，也可能不同，故应分两类：所涂颜色相同和不同，分别求解．

[解]　第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．

①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．

②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×4×4＝80(种)不同的涂法．

由分类加法计数原理可得共有180＋80＝260(种)不同的涂法．

求解涂色种植问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：

1按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；

2以颜色种植作物为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；

3对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题.

解决较为复杂的计数问题综合应用

1．合理分类，准确分步：

(1)处理计数问题，应扣紧两个原理，根据具体问题首先弄清楚是“分类”还是“分步”，要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准．

(2)分类时要满足两个条件：①类与类之间要互斥(保证不重复)；②总数要完备(保证不遗漏)，也就是要确定一个合理的分类标准．

(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析，必须做到步与步之间互相独立，互不干扰，并确保连续性．

2．特殊优先，一般在后：

解含有特殊元素、特殊位置的计数问题，一般应先安排特殊元素，优先确定特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，体现出解题过程中的主次思想．

1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　)

A．6种　　　 B．7种　　　

C．8种 D．9种

D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．]

2．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　)

A．30　　　 B．20　　 

C．10 D．6

D　[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法．故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6种取法．]

3．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有________种.

108　[A有4种涂法，B有3种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3×3＝108(种)涂法．]

4．5名班委进行分工，其中A不适合当班长，B只适合当学习委员，则不同的分工方案种数为________．

18　[根据题意，B只适合当学习委员，有1种情况，A不适合当班长，也不能当学习委员，有3种安排方法，剩余的3人担任剩余的工作，有3×2×1＝6种情况，由分步乘法计数原理，可得共有1×3×6＝18种分工方案．]

5．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有多少种？

[解]　法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2×1＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．

法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)．