数学选择性必修 第二册3.1.3 组合与组合数背景图ppt课件

www.ks5u.com第2课时　组合数的性质及应用

组合数的性质

(1)C＝；

(2)C＋C＝C.

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)C＋C＝C(m≥2且m∈N*)． (　　)

(2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有CC种．  (　　)

(3)把4本书分成3堆，每堆至少一本共有C种不同分法．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．若C＝C，则x的值为(　　)

A．2　　　 B．4　　　

C．0 D．2或4

D　[由C＝C可知x＝2或x＝6－2＝4.故选D.]

3．C＋C的值为________．

84　[C＋C＝C＝＝＝84.]

4．甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种．

96　[甲选修2门，有C＝6(种)不同方案．

乙选修3门，有C＝4(种)不同选修方案．

丙选修3门，有C＝4(种)不同选修方案．

由分步乘法计数原理，不同的选修方案共有6×4×4＝96(种)．]

【例1】　计算：(1)C＋C·C；

(2)C＋C＋C＋C＋C＋C；

(3)C·C(n＞0，n∈N)．

[解]　(1)原式＝C＋C×1＝＋＝56＋4 950＝5 006.

(2)原式＝2(C＋C＋C)＝2(C＋C)＝2×＝32.

(3)原式＝C·C＝(n＋1)n＝n2＋n.

性质“C＝C”的意义及作用

1．(1)化简：C－C＋C＝________；

(2)已知C－C＝C，求n的值．

(1)0　[原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0.]

(2)[解]　根据题意，C－C＝C，

变形可得C＝C＋C，

由组合数的性质，可得

C＝C，故8＋7＝n＋1，

解得n＝14.

【例2】　高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．

(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？

(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？

(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？

(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？

(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？

[思路点拨]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用两个计数原理解决．

[解]　(1)从余下的34名学生中选取2名，

有C＝561(种)．

∴不同的选法有561种．

(2)从34名可选学生中选取3名，有C种．

或者C－C＝C＝5 984种．

∴不同的选法有5 984种．

(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100种．

∴不同的选法有2 100种．

(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方法N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555种．

∴不同的选法有2 555种．

(5)选取3名的总数有C，至多有2名女生在内的选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090种．

∴不同的选法有6 090种．

常见的限制条件及解题方法

1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．

2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．

3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．

2．“抗击疫情，众志成城”，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴抗击疫情前线，其中这10名医疗专家中有4名是内科专家．问：

(1)抽调的6名专家中恰有2名是内科专家的抽调方法有多少种？

(2)至少有2名内科专家的抽调方法有多少种？

(3)至多有2名内科专家的抽调方法有多少种？

[解]　(1)分步：首先从4名内科专家中任选2名，有C种选法，再从除内科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90(种)抽调方法．

(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．

法一：按选取的内科专家的人数分类：

①选2名内科专家，共有C·C种选法；

②选3名内科专家，共有C·C种选法；

③选4名内科专家，共有C·C种选法．

根据分类加法计数原理，共有C·C＋C·C＋C·C＝185(种)抽调方法．

法二：不考虑是否有内科专家，共有C种选法，考虑选取1名内科专家参加，有C·C种选法；没有内科专家参加，有C种选法，所以共有：C－C·C－C＝185(种)抽调方法．

(3)“至多2名”包括“没有”“有1名”“有2名”三种情况，分类解答．

①没有内科专家参加，有C种选法；

②有1名内科专家参加，有C·C种选法；

③有2名内科专家参加，有C·C种选法．

所以共有C＋C·C＋C·C＝115(种)抽调方法.

[探究问题]

1．把3个苹果平均分成三堆共有几种分法？为什么？

[提示]　共1种分法．因为三堆无差异．

2．若把3个不同的苹果分给三个人，共有几种方法？

[提示]　共有A＝3×2×1＝6种分法．

【例3】　(教材P20例5改编)6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：

(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；

(2)分为三份，每份两本；

(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；

(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．

[思路点拨]　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．

[解]　(1)根据分步乘法计数原理得到：CCC＝90种．

(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．

(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种方法．

(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种方法．

(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CC5CA＝360种方法；③“1、1、4型”，有CA＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．

分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种

1．完全均匀分组，每组的元素个数均相等．

2．部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.

3．完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．

3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．

36　[分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种．所以满足条件的分配方案有·A＝36(种)．]

1．在组合数的计数中，恰当利用组合数的性质解题可以使问题简化．

2．对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法．

3．对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关．

1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　)

A．120种　　　 B．84种　　　

C．52种 D．48种

C　[间接法：C－C＝52种．]

2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　)

A．A种　　 B．45种

C．54种 D．C种

D　[由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种．]

3．方程C＝C的解为________．

4或6　[由题意知或

解得x＝4或6.]

4．C＋C＋C＋…＋C的值等于________．

7 315　[原式＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＝C＝C＝7 315.]

5．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：

(1)有女生但人数必须少于男生；

(2)某女生一定担任语文课代表；

(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；

(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．

[解]　(1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC种，后排有A种，

共(CC＋CC)·A＝5 400种．

(2)除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．

(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3 360种．

(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种．