高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.3 二项式定理与杨辉三角示范课课件ppt

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www.ks5u.com第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用学 习 目 标核 心 素 养1．掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．(难点)3．掌握二项式定理的应用．(难点)1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养.2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养.我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数．(a＋b)0 1(a＋b)1 1　1(a＋b)2 1　2　1(a＋b)3 1　3　3　1(a＋b)4 1　4　6　4　1(a＋b)5 1　5　10　10　5　1问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？1．二项式系数的性质(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.2．杨辉三角具有的性质(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．(3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C，C，C，…，C，C，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． (　　)(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的． (　　)(3)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C. (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　)A．1　　　　 B．－1C．215　 D．315B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　)A．第8项　 B．第7项C．第9项　  D．第10项C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]4．(教材P32尝试与发现改编)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________．11　2　11　3　3　11　4　a　4　11　5　10　10　5　16　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.]求展开式的系数和【例1】　设(1－2x)2 021＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 021·x2 021(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 021的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 021的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 021|的值．[思路点拨]　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．[解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 021＝(－1)2 021＝－1.①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 021＝32 021.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 021)＝－1－32 021，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝.(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 021|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＝32 021.1．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6.[解]　(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①所以a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128.二项式系数的性质及应用【例2】　已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨]　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解]　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·x(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有∴∴∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．2．(1)(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是(　　)A．n，n＋1　　　　 B．n－1，nC．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3(2)已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于________．(1)C　(2)8　[(1)该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．(2)因为只有第5项的二项式系数最大，所以＋1＝5，所以n＝8.]与“杨辉三角”有关的问题 

【例3】　如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．[思路点拨]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.[解]　S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.“杨辉三角”问题解决的一般方法3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.34　[由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.]二项式定理的应用[探究问题]1．不用计算器，你能用二项式定理求0.9986的近似值，使误差小于0.001吗？[提示]　把0.998变成1－0.002，然后应用二项式定理展开．因为0.9986＝(1－0.002)6＝1－C×0.002＋C×0.0022－C×0.0023＋…＋C×0.0026.第三项T3＝15×0.0022＝0.00006<0.001，以后各项更小，所以0.9986≈1－0.012＝0.988.2．你能用二项式定理证明＞2，(n∈N*，且n≥2)吗？[提示]　∵＝1＋C＋C＋…＋C＝2＋＋…＋，又n≥2且n∈N*，∴＋＋…＋＞0.∴＞2(n∈N*，且n≥2)．【例4】　(教材P33例5改编)(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．[思路点拨]　(1)1110－1＝(1＋10)10－1，展开求证便可；(2)9192＝(1＋90)92，展开求解便可．[解]　(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，故9192被100除可得余数为81.利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.,整除性问题或求余数问题的处理方法：1解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.2用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数或与除数密切关联的数与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面或者是前面的几项就可以了.4．(1)求证32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除；(2)求230－3除以7的余数．[解]　(1)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C·8＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82.该式每一项都含因式82，故能被64整除．(2)230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2.又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用(1＋x)n≈1＋nx，具体情况视精确度而定．1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(　　)A．5　　　　 B．6C．7　 D．8C　[二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C.]2．已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于(　　)A．4　　  B．5C．6　　 D．7C　[令x＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有＝64，所以n＝6.]3．若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　)A．210　　　 B．252C．462　　 D．10A　[由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.]4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．－15　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1. ①又Tk＋1＝C(－3)4－k(2x)k，∴当k＝4时，x4的系数a4＝16.  ②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.]5．设a∈Z，且0≤a＜13，若512020＋a能被13整除，求a的值．[解]　512020＋a＝(52－1)2020＋a＝522020＋C×522019×(－1)＋…＋C×52×(－1)2019＋(－1)2020＋a能被13整除，只需(－1)2020＋a＝1＋a能被13整除即可．∵0≤a＜13，∴a＝12.