人教B版高中数学选择性必修第二册3《章末综合提升》（课件+教案）

www.ks5u.com

[巩固层·知识整合]

[提升层·题型探究]

【例1】　(1)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数是________．

(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

(1)20　[以m的值为标准分类，分五类：

第一类：m＝1时，使n>m，n有6种选择；

第二类：m＝2时，使n>m，n有5种选择；

第三类：n＝3时，使n>m，n有4种选择；

第四类：n＝4时，使n>m，n有3种选择；

第五类：n＝5时，使n>m，n有2种选择；

所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法．]

(2)[解]　用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．

第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式；

第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．

第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．

应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：1要做什么事；2如何去做这件事；3怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法.

1．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都参加)

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；

(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．

[解]　(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．

(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．

(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种).

【例2】　(1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)

(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．

①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

(1)48　[①只有1名老队员的排法有CCA＝36种．②有2名老队员的排法有CCCA＝12种．所以共有36＋12＝48种．]

(2)[解]　①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法．

根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种．

②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720种方法．

×□×□×□×□×□×□×

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840种．

根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种．

③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132种排法．

1．处理排列组合应用题的一般步骤

(1)认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题．

(2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”．

2．处理排列组合应用题的规律

(1)两种思路：直接法，间接法．

(2)两种途径：元素分析法，位置分析法．

3．排列组合应用题的常见类型和解决方法

(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略．

(2)合理分类与准确分步的策略．

(3)正难则反，等价转化的策略．

(4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略．

(5)元素定序，先排后除的策略．

(6)排列、组合混合题先选后排策略．

(7)复杂问题构造模型策略．

2．某次国际合作论坛，为了保护各国国家元首的安全，某部门将5个安保小组全部安排到指定的三个区域内工作，且每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排方法共有________种．(用数字作答)

150　[由题意可知，应将5个安保小组分成三组，共有两种方法，即分为1,1,3或2,2,1.

若分为1,1,3，不同的安排方法共有N1＝A＝60种；

若分为2,2,1，不同的安排方法共有N2＝A＝90种；

即共有N1＋N2＝60＋90＝150种不同的安排方法．]

【例3】　已知展开式的二项式系数之和为256.

(1)求n；

(2)若展开式中常数项为，求m的值；

(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况．

[解]　(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8.

(2)设常数项为第r＋1项，则Tr＋1＝Cx8－r＝Cmrx8－2r，

故8－2r＝0，即r＝4，则Cm4＝，解得m＝±.

(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．

则，

化简可得≤r≤.

由于只有第6项和第7项系数最大，

所以

即

所以m只能等于2.

1．解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式．

2．解决二项展开式项的系数(或和)问题常用赋值法．

3．(1)(x2＋2)的展开式的常数项是(　　)

A．－3　　　　 B．－2

C．2 D．3

(2)233除以9的余数是(　　)

A．8 B．4

C．2　 D．1

(1)D　(2)A　[(1)二项式展开式的通项为：Tr＋1＝C·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.

当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；

当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.

∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.

(2)233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C910＋C99＋…＋C9－1＝9(910－C99＋…＋C－1)＋8，∴233除以9的余数是8.故选A.]

[培优层·素养升华]

【例】　长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”．现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为(　　)

A.　　　　　 B.

C.   D.

B　[4名同学去旅游的所有情况有：44＝256种，恰有一个地方未被选中共有：C··A＝144种情况，∴恰有一个地方未被选中的概率：P＝＝.]

该类问题常以新背景、数学传统文化等为依托，将概率计算与排列组合的计算方法相融合，考查转化化归及数据分析、数学建模的数学素养，正确计数是求解此类问题的关键.

[素养提升]

如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则A，C区域涂色不相同的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设5个区域依次为A，B，C，D，E，分4步进行分析：

①，对于区域A，有5种颜色可选；

②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；

③，对于区域E，与A，B区域相邻，有3种颜色可选；

④，对于区域D，C，若D与B颜色相同，C区域有3种颜色可选，

若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，C区域有2种颜色可选，

则区域D，C有3＋2×2＝7种选择，

则不同的涂色方案有5×4×3×7＝420种，

其中，A，C区域涂色不相同的情况有：

①，对于区域A，有5种颜色可选；

②，对于区域B与A区域相邻，有4种颜色可选；

③，对于区域E与A，B，C区域相邻，有2种颜色可选；

④，对于区域D，C，若D与B颜色相同，C区域有2种颜色可选，

若D与B颜色不相同，D区域有1种颜色可选，C区域有1种颜色可选，

则区域D，C有2＋1×1＝3种选择，

不同的涂色方案有5×4×2×3＝120种，

∴A，C区域涂色不相同的概率为p＝＝ ，故选B.]