高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布示范课ppt课件

www.ks5u.com第2课时　超几何分布

超几何分布

(1)定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件(M＜N)，从所有物品中随机取出n件(n≤N)，则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数(即n≤N－M)时取0，否则t取n减乙类物品件数之差(即t＝n－(N－M))，而且

P(X＝k)＝，k＝t，t＋1，…，s，

这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布．

(2)记法：X～H(N，n，M)．

(3)分布列：如果X～H(N，n，M)且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示．

拓展：对超几何分布的理解

(1)在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等；

(2)在产品抽样中，一般为不放回抽样；

(3)其概率计算可结合古典概型求得．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)超几何分布的模型是不放回抽样． (　　)

(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点． (　　)

(3)超几何分布中的参数是N，n，M. (　　)

(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　)

A．N＝15，M＝7，n＝10

B．N＝15，M＝10，n＝7

C．N＝22，M＝10，n＝7

D．N＝22，M＝7，n＝10

A　[根据超几何分布概率模型知，A正确．]

3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示(　　)

A．5件产品中有3件次品的概率

B．5件产品中有2件次品的概率

C．5件产品中有2件正品的概率

D．5件产品中至少有2件次品的概率

B　[根据超几何分布的定义可知C表示从3件次品中任选2件，C表示从7件正品中任选3件，故选B.]

4．(教材P80练习BT2改编)高二·一班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X, 则X～________.

H(50,5,15)　[由超几何分布的定义可知，X～H(50,5,15)．]

【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由．

(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；

(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；

(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只．任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；

(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；

(5)现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布．

[解]　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．

(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类．随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．

(5)中没有给出不合格品数，无法计算X的概率分布，所以不属于超几何分布问题．

判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：1总体是否可分为两类明确的对象；2是否为不放回抽样；3随机变量是否为样本中其中一类个体的个数.

1．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)

①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；

②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；

③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X.

①②　[根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．]

【例2】　袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．

(1)求得分X的分布列；

(2)求得分大于6分的概率．

[思路点拨]　→→

[解]　(1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.

P(X＝5)＝＝，

P(X＝6)＝＝，

P(X＝7)＝＝，

P(X＝8)＝＝.

故所求分布列为

(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＋＝.

求超几何分布的分布列的步骤

2．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．

[解]　设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.

P(X＝3)＝＝，P(X＝7)＝＝，

P(X＝11)＝＝.

故X的分布列为

[探究问题]

1．超几何分布适合解决什么样的概率问题？

[提示]　超几何分布适合解决一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．

2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以看作独立重复试验吗？

[提示]　独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型．

【例3】　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；

(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．

[思路点拨]　(1)结合频率分布直方图求解(1)；

(2)结合超几何分布及古典概型求X的分布列；

(3)先分析Y服从什么分布，再选择相应公式求解．

[解]　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，

所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．

(2)重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，且X～H(40,2,12)．

∴P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

∴X的分布列为

(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.

从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，

P(Y＝k)＝C，

所以P(Y＝0)＝C·＝，

P(Y＝1)＝C··＝，

P(Y＝2)＝C·＝.

∴Y的分布列为

在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．

3．100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列．

[解]　任取一件得到次品的概率为＝0.1，有放回的取出5件，相当于5次独立重复试验，故ξ～B(5,0.1)，所以ξ的分布列为

1．解决超几何分布问题的两个关键点

(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．

(2)超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．

2．注意超几何分布与二项分布的区别与联系

前者是不放回模型，而后者是有放回模型，但在大量试验时，超几何分布可与二项分布互化．

1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

B　[由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝.]

2．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是(　　)

A.     B.     C.     D.

C　[设取出红球的个数为X，易知X～H(9,3,5)．

∴P(X＝2)＝＝，故选C.]

3．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P(X＝r)＝________.

，r＝0,1,2,3,4　[P(X＝r)＝，r＝0,1,2,3,4.]

4．(一题两空)已知某批产品共100件，其中二等品有20件．从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列．

　　　[由题意可知ξ～H(100,2,20)．

则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝.]

5．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：

(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列．

[解]　(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，

则P(A)＝＝.

(2)依题意知，X～H(7,3,3)．

∴P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝，

∴X的分布列为