高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.2 空间中的平面与空间向量优秀课件ppt

1.2.2　空间中的平面与空间向量

知识点1　平面的法向量

(1)如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α．

1．平面α的法向量有多少个？它们之间什么关系？

[提示]　无数个　平行

2．一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有什么关系？

[提示]　垂直．

(2)平面的法向量的性质

①如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量．

②如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行．

③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即n·＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定．

(3)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则n∥v⇔l⊥α，n⊥v⇔l∥α，或l⊂α．

(4)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则n1⊥n2⇔α1⊥α2，n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合．

1．(1)若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则(　　)

A．l∥α　　　 B．l⊥α

C．l⊂α D．l与α斜交

(2)平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系为(　　)

A．平行 B．相交但不垂直

C．垂直 D．不能确定

(1)B　(2)C　[(1)∵a＝(1，0，2)，u＝－2(1，0，2)＝－2a，∴u与a平行，∴l⊥α．

(2)∵(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．]

知识点2　三垂线定理及其逆定理

(1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

(2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．

定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．

2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量．              (　　)

(2)若直线l是平面α外的一条直线，直线m垂直于l在平面α内的投影，则l与m垂直．              (　　)

(3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

[提示]　(1)×　不一定．当a＝0时，也满足a∥l，尽管l垂直于平面α，a也不是平面α的法向量．

(2)×　不一定．若直线m在平面α外，例如m⊥α，尽管m垂直于直线l在平面α内的投影，也不能得出m⊥l．

(3)√

类型1　求平面的法向量

【例1】　如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

[解]　∵在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA⊥平面ABCD，

∴以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0，0，0)，C(1，，0)，D(0，，0)，P(0，0，1)，

E，＝，＝(1，，0)，

设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)，

则

取y＝－，得n＝(3，－，3)．

∴平面ACE的一个法向量为n＝(3，－，3)．

求平面的法向量的步骤

[跟进训练]

1．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面ABCD，且PD＝AD，求平面PAB的一个法向量．

[解]　因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD，

从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD，以D点为坐标原点，射线DA，DB，DP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，

则A(1，0，0)，B(0，，0)，

P(0，0，1)．

∴＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

即因此可取n＝(，1，)．

∴平面PAB的一个法向量为(，1，)．

类型2　利用法向量证明空间中的位置关系

【例2】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．

证明：(1)C1M∥平面ADE；

(2)平面ADE⊥平面A1D1F．

利用空间向量证明线面平行和垂直问题的依据是什么？

[提示]　因为直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位置关系，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间线面、面面间的平行和垂直关系．

(1)设v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则：

①n∥v⇔l⊥α；

②n⊥v⇔l∥α，或l⊂α．

(2)设n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，则：

①n1⊥n2⇔α1⊥α2；

②n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合．

[证明]　(1)以D为原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为1．

则D(0，0，0)，A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，M，＝(1，0，0)，＝，＝．

设平面ADE的一个法向量为m＝(a，b，c)，

则即

令c＝2，得m＝(0，－1，2)，

∵m·＝(0，－1，2)·＝0＋1－1＝0，

∴⊥m．

又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE．

(2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F，

得＝(1，0，0)，＝，

设平面A1D1F的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令y＝2，则n＝(0，2，1)．

∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，

∴m⊥n．∴平面ADE⊥平面A1D1F．

利用向量法证明空间中的位置关系，关键是建立坐标系，用坐标向量，证法的核心是利用向量的数量积或数乘运算.

提醒：解这类问题时要利用好向量垂直和平行的坐标表示.

[跟进训练]

2．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD＝1．

证明：(1)PQ⊥平面DCQ；

(2)PC∥平面BAQ．

[证明]　如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz．

(1)依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，1)，＝(1，－1，0)，

所以·＝0，·＝0，

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC且DQ∩DC＝D，故PQ⊥平面DCQ．

(2)根据题意得，＝(1，0，0)，＝(0，0，1)，

＝(0，1，0)，故有·＝0，·＝0，

所以为平面BAQ的一个法向量．

又因为＝(0，－2，1)，且·＝0，

即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，

故有PC∥平面BAQ．

类型3　三垂线定理及其逆定理的应用

【例3】　如图，已知在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接BD1，AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C．

[证明]　连接BD，A1B，∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD．

又DD1⊥平面ABCD，

∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的射影，

∴BD1⊥AC，而A1B是BD1在平面ABB1A1内的射影，

∴BD1⊥AB1．又AB1∩AC＝A，

∴BD1⊥平面AB1C．

利用三垂线定理证明线线垂直的关键点与注意点

(1)关键点：找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影．

(2)注意点：要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．

[跟进训练]

3．在四面体PABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB．

[证明]　如图，过P作PH⊥平面ABC，连接AH并延长交BC于E，

连接BH并延长交AC于F，

PH⊥平面ABC，PA⊥BC，

而PA在平面ABC内的射影为AH，由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH，

同理可证BF⊥AC．则H为△ABC的垂心，连CH并延长交AB于G，

于是CG⊥AB，而CH是PC在平面ABC内的射影，故PC⊥AB．

1．若直线l的方向向量a＝(1，2，－1)，平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，若l⊥α，则实数k＝(　　)

A．2　　　　B．－10　　　　C．－2　　　　D．10

A　[∵直线l的方向向量a＝(1，2，－1)，

平面α的法向量m＝(－2，－4，k)，l⊥α，

∴a∥m，∴＝＝，解得k＝2．]

2．已知平面α的一个法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　)

A．4　　B．－4　　C．5　　D．－5

D　[∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝1×(－2)＋2×(－4)＋(－2)·k＝0，∴k＝－5．]

3．若两个向量＝(1，2，3)，＝(3，2，1)，则平面ABC的一个法向量为(　　)

A．(－1，2，－1) B．(1，2，1)

C．(1，2，－1) D．(－1，2，1)

A　[设平面ABC的一个法向量n＝(x，y，z)，

则

取x＝－1，得平面ABC的一个法向量为(－1，2，－1)．]

4．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．

－9　[由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0．∴z＝－9．]

5．设平面α的一个法向量的坐标为(1，2，－2)，平面β的一个法向量的坐标为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于________．

4　[∵α∥β，∴两平面的法向量平行，∴＝＝，∴k＝4．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．平面的法向量有何特点？

[提示]　设向量n是平面α的一个法向量．则

(1)n是一个非零向量．

(2)向量n与平面α垂直．

(3)平面α的法向量有无数多个，它们都与向量n平行，方向相同或相反．

(4)给定空间中任意一点A和非零向量n，可确定唯一一个过点A且垂直于向量n的平面．

2．用向量法证明空间线面平行和垂直问题有何优势？

[提示]　利用向量法来解决有关直线与平面、平面与平面的关系问题，不必考察图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到证明的结果．

3．利用三垂线定理证明线线垂直的步骤是什么？

[提示]　(1)找平面(基准面)及平面的垂线．

(2)找射影线(平面上的直线与斜线)．

(3)证明射影线与直线垂直，从而得线线垂直，更进一步证明线面垂直或面面垂直．