高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.4 点到直线的距离完美版ppt课件

2.2.4　点到直线的距离

问题1：你能用已学过的知识想办法求出P(－1，2)到直线l1：2x＋y－5＝0的距离吗？

问题2：两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，是否也可以看作是两条直线上各任取一点的最短距离？

知识点1　点到直线的距离

(1)平面内点到直线的距离，等于过这个点作直线的垂线所得垂线段的长度．

(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

(1)应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解．例如求点P(x1，y1)到直线y＝kx＋b的距离，应先把直线方程化为kx－y＋b＝0，再利用公式，得d＝．

(2)当点P在直线l上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点P与直线l的位置关系．

(3)当直线方程Ax＋By＋C＝0中A＝0或B＝0时，公式也成立，还可以用下列方法求点到直线的距离：

①P(x1，y1)到x＝a的距离d＝|a－x1|；

②P(x1，y1)到y＝b的距离d＝|b－y1|．

1．(1)原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　)

A．　　B．　　C．2　　D．

(2)分别过点M(－1，5)，N(2，3)的两直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．

(1)D　(2)3　[(1)由点到直线的距离公式得：d＝＝．

(2)d＝|2－(－1)|＝3．]

知识点2　两条平行直线之间的距离

(1)两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

(2)两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离．

(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝．

(1)使用两条平行直线间的距离公式时，直线的方程必须是一般式，而且方程中x，y的系数分别对应相等，对于系数不同的方程，应先将系数化为相等后再求距离．

(2)两条平行直线间的距离，也可以转化为一条直线上的一个点到另一条直线的距离，即转化为点到直线的距离．

(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．

①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|．

2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)当点在直线上时，点到直线的距离公式仍适用． (　　)

(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b． (　　)

(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为． (　　)

(4)两直线x＋2y＝m与2x＋4y＝3n的距离为． (　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×

[提示]　(1)正确．

(2)应是d＝|y0－b|．

(3)正确．

(4)错误．将2x＋4y＝3n化为x＋2y＝n，因此距离为．

3．两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－2＝0间的距离为________．

1　[d＝＝1．]

类型1　点到直线的距离

【例1】　求过点M(－2，1)且与A(－1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程．

[解]　当直线的斜率不存在时，直线为x＝－2，它到A，B两点的距离不相等，故可设直线方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0．

由＝，

解得k＝0或k＝－．

故所求直线方程为y＝1或x＋2y＝0．

点到直线的距离的求解方法

(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．

(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线x＝a或y＝b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|．

(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

[跟进训练]

1．求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3，1)的距离为的直线的方程．

[解]　①当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0．

由题意知＝，解得k＝1或k＝－．

∴所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0．

②当直线不经过原点时，设所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0．

由题意知＝，解得a＝2或a＝6．

∴所求直线的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．

综上所述，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0．

类型2　两条平行线间的距离

【例2】　(对接教材人教B版P94例2)已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－21＝0，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离．

[解]　l1的斜率为k1＝，l2的斜率k2＝＝．

因为k1＝k2，且l1与l2不重合，所以l1∥l2．

l2的方程可化为2x－7y－7＝0，

所以l1与l2间的距离为d＝＝＝．

求两平行线间的距离的方法

[跟进训练]

2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程．

[解]　法一：设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0，

∵两直线的距离为2，

∴＝2，∴m＝32或m＝－20．

∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．

法二：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0．

在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0，

点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为

d＝＝，

由题意得＝2，则C＝32或C＝－20．

∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．

类型3　距离公式的综合应用

【例3】　(1)已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则直线l关于点A的对称直线l′的方程为________．

(2)已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0．若直线l1关于直线l的对称直线为l2，则直线l2的方程为_____________．

1．已知点A不在直线l上，问直线l关于点A的对称直线l′与l是什么位置关系？

[提示]　平行．

2．若直线l1∥直线l，直线l1关于直线l的对称直线为直线l2，则l1与l2是什么位置关系？

[提示]　平行．

(1)3x＋y＋18＝0　(2)x－y－5＝0　[(1)法一：由题意可知l′∥l，设直线l′的方程为3x＋y＋C＝0(C≠－2)，则l′与l之间的距离等于点A到直线l的距离的2倍，即＝2×，

解得C＝－22或C＝18．结合图形(图略)可知C＝－22不满足题意，舍去，故所求直线l′的方程为3x＋y＋18＝0．

法二：由题意可知l′∥l，设直线l′的方程为3x＋y＋C＝0(C≠－2)，则＝，解得C＝18或C＝－2(舍去)，故所求直线l′的方程为3x＋y＋18＝0．

(2)由题意得l1∥l∥l2．设直线l2的方程为x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．

因为直线l1，l2关于直线l对称，所以直线l1与直线l之间的距离等于直线l2与直线l之间的距离．由两平行直线间的距离公式，得＝，

解得m＝－5或m＝3(舍去)，故直线l2的方程为x－y－5＝0．]

一般将“关于直线对称的两条直线的问题”转化为“关于直线对称的两点的问题”加以解决.

1若已知直线l1与已知对称轴平行，则直线l1关于对称轴对称的直线l2与直线l1平行，可以利用直线l1与对称轴间的距离等于直线l2与对称轴间的距离进行求解.

2若已知直线l1与已知对称轴相交，则交点必在与直线l1对称的直线l2上，然后求出直线l1上任意一点关于对称轴对称的点，由两点式写出直线l2的方程.

[跟进训练]

3．求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．

[解]　法一：解方程组得所以直线l1与l相交，且交点坐标为(3，－2)，故交点也在直线l2上．

在直线l1：2x＋y－4＝0上取点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，

于是有解得

即B．

故由两点式得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0．

法二：设直线l2上的任一点P(x，y)关于直线l：3x＋4y－1＝0的对称点为Q(x0，y0)，

则有

解得

因为点Q(x0，y0)在直线l1：2x＋y－4＝0上，所以2×＋－4＝0，化简得2x＋11y＋16＝0．

即直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0．

1．点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)

A．7　　　B．5　　　　C．3　　　　D．2

A　[直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝5－(－2)＝7．]

2．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)

A．　　B．　　C．　　D．

C　[l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，

由平行线间的距离公式得d＝＝．]

3．已知直线l：kx－y＋2＝0过定点M，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　)

A．　　B．　　C．　　D．3

B　[由直线l：kx－y＋2＝0过定点M，得M(0，2)．∵点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，∴|MP|的最小值为点M到直线2x＋y－1＝0的距离d，d＝＝＝，故选B．]

4．两平行直线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________．

10　[由两直线平行知，a＝8，d＝＝2，∴a＋d＝10．]

5．已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为________．

或－6　[由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，∴m＝或m＝－6．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．怎样利用距离公式解决距离问题？

[提示]　(1)应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离公式d＝的前提是直线方程为一般式．特别地，当直线方程中A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解．

(2)两条平行线间的距离处理方法有两种：

一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想．

二是直接套用公式d＝，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别对应相同．

2．试总结利用距离公式解决的常见题型．

[提示]　(1)最值问题

①利用对称转化为两点之间的距离问题．

②利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离．

③利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题，通过配方求最值．

(2)求参数问题

利用距离公式建立关于参数的方程或方程组，通过解方程或方程组求值．

(3)求方程的问题

立足确定直线的几何要素——点和方向，利用直线方程的各种形式，结合直线的位置关系(平行直线系、垂直直线系及过交点的直线系)，巧设直线方程，在此基础上借助三种距离公式求解．