高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.4 曲线与方程优质课课件ppt

课后素养落实(十八)　曲线与方程

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．F(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线F(x，y)＝0上的(　　)

A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

C　[由曲线与方程的概念可知，若点P(x0，y0)在曲线F(x，y)＝0上，则必有F(x0，y0)＝0；又当F(x0，y0)＝0时，点P(x0，y0)也一定在方程F(x，y)＝0对应的曲线上，故选C．]

2．方程x2＋y2＝1(xy＜0)的曲线形状是(　　)

A　　　　 B　　　　 C　　　　 D

C　[方程x2＋y2＝1(xy＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．]

3．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是(　　)

A．一个点　　　　　 B．一条直线

C．一个圆 D．两条线段

A　[方程可化为(x＋1)2＋2＝0，所以即它表示点．故选A．]

4．已知0≤α＜2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为(　　)

A． B．

C．或 D．或

C　[由(cos α－2)2＋sin2α＝3，得cos α＝．

又0≤α＜2π，∴α＝或α＝．]

5．已知点A(2，0)，点B在圆x2＋y2＝1上，点C是∠AOB的平分线与线段AB的交点，则当点B运动时，点C的轨迹方程为(　　)

A．＋y2＝ B．＋y2＝

C．＋y2＝ D．＋y2＝

A　[设B(x0，y0)，C(x，y)．

由＝2，得＝2，所以＝2，即(x－2，y)＝2(x0－x，y0－y)，所以因为点B(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，所以＋＝1，化简得＋y2＝．故选A．]

二、填空题

6．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的图形是________．

两个点　[由题意所以或所以方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是两个点(1，1)或(－1，－1)．]

7．动点P与平面上两定点A(－，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值－，则动点P的轨迹方程为________．

x2＋2y2－2＝0(x≠±)　[设P(x，y)，由题意知，x≠±，kAP＝，

kBP＝，由条件知kAP·kBP＝－，

所以×＝－，

整理得x2＋2y2－2＝0(x≠±)．]

8．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(－1，2)与动点P(x，y)满足·＝3，则点P的轨迹方程为________．

x－2y＋3＝0　[由题意知＝(x，y)，＝(－1，2)，则·＝－x＋2y，由·＝3得－x＋2y＝3，即x－2y＋3＝0．]

三、解答题

9．曲线x2＋(y－1)2＝4与直线y＝k(x－2)＋4有两个不同的交点，求k的范围，若有一个交点、无交点呢？

[解]　由

得(1＋k2)x2＋2k(3－2k)x＋(3－2k)2－4＝0，

Δ＝4k2(3－2k)2－4(1＋k2)[(3－2k)2－4]＝48k－20．

所以Δ＞0，即k＞时，直线与曲线有两个不同的交点；

Δ＝0，即k＝时，直线与曲线有一个交点；

Δ＜0，即k＜时，直线与曲线没有交点．

10．设点P是圆x2＋y2＝4上任意一点，由点P向x轴作垂线PP0，垂足为P0，且＝，求点M的轨迹方程．

[解]　设点M(x，y)，P(x0，y0)，

则由题意知P0(x0，0)．

由＝(x0－x，－y)，＝(0，－y0)，

且＝，得(x0－x，－y)＝(0，－y0)，

所以于是

又x＋y＝4，

所以x2＋y2＝4，

所以，点M的轨迹方程为＋＝1．

1．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x4＋y2＝2围成的平面区域的直径为(　　)

A．2　　　B．3　　C．2　　　D．4

B　[易知曲线x4＋y2＝2围成的平面区域，关于x，y轴对称，设曲线上的一点P(x，y)，可得|OP|＝＝≤．所以曲线x4＋y2＝2围成的平面区域的直径为3．事实上，本题中曲线x4＋y2＝2的示意图如图所示．]

2．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图)．给出下列结论：

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．

其中，所有正确结论的序号是(　　)

A．①　　　B．②　　C．①②　　　D．①②③

C　[由x2＋y2＝1＋|x|y，得y2－|x|y＝1－x2，即＝1－，1－≥0，x2≤，所以x可取的整数有0，－1，1，从而曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y恰好经过(0，1)，(0，－1)，(1，0)，(1，1)，(－1，0)，(－1，1)，共6个整点，结论①正确．

由x2＋y2＝1＋|x|y，得x2＋y2≤1＋，解得x2＋y2≤2，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，结论②正确．

如图所示，易知A(0，－1)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，

则四边形ABCD的面积S四边形ABCD＝×1×1＋1×1＝，很明显“心形”区域的面积大于2S四边形ABCD，即“心形”区域的面积大于3，结论③错误．故选C．]

3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为________，P点轨迹所围成的图形的面积为________．

(x－2)2＋y2＝4　4π　[设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|知，＝2，化简整理得(x－2)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹为圆心为(2，0)，半径为2的圆，此圆的面积为S＝22π＝4π．]

4．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．

(1)求M的轨迹方程；

(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．

[解]　(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，

所以圆心为C(0，4)，半径为4．

设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)．

由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，

即(x－1)2＋(y－3)2＝2．

因为点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2．

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．

因为|OP|＝|OM|，所以O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，所以ON⊥PM．

因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－，

所以l的方程为y＝－x＋．

又|OM|＝|OP|＝2，O到直线l的距离为，

所以|PM|＝，△POM的面积为．

在平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L­距离”定义为|P1P2|＝|x1－x2|＋|y1－y2|，则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L­距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是(　　)

A　　　　　B

C　　　　　D

A　[设M(x，y)是轨迹上任意一点，F1(－c，0)，F2(c，0)，则|MF1|＋|MF2|＝2a，其中a为常数，且a＞c＞0，由“L­距离”定义，得|x＋c|＋|y|＋|x－c|＋|y|＝2a，

即|y|＝(2a－|x＋c|－|x－c|)，

当y≥0时，y＝

当y＜0时，y＝

则满足上述关系的图像只有选项A．]