人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.2 椭圆的几何性质精品ppt课件

2.5.2　椭圆的几何性质

知识点1　椭圆的简单几何性质

1．椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么？

[提示]　最大距离：a＋c；最小距离：a－c．

2．椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)中a，b，c的几何意义是什么？

[提示]　在方程＋＝1(a＞b＞0)中，a，b，c的几何意义如图所示．

即a，b，c正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形，Rt△OB2F2也叫椭圆的特征三角形．

1．(1)椭圆＋＝1的焦点坐标是________，顶点坐标是________．

(2)椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　)

A．　 　　B．　　　C．　 　　D．

(1)(0，±)　(±3，0)，(0，±4)　(2)A　[(1)由方程＋＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7．

因此焦点坐标为(0，±)，顶点坐标为(±3，0)，(0，±4)．

(2)化椭圆方程为标准形式得＋y2＝1，

所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3．

所以e＝＝．]

知识点2　椭圆离心率e的几何意义

椭圆离心率的意义：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度．

当e越趋近于1时，c越趋近于a，从而b＝越小，因此椭圆越扁；

当e越趋近于0时，c越趋近于0，从而b＝越趋近于a，因此椭圆越接近于圆；

当且仅当a＝b时，c＝0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程变为x2＋y2＝a2．

3．或的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？

[提示]　或的大小能刻画椭圆的扁平程度．

(1)当→1时，b→a，椭圆越圆；当→0时，b→0，椭圆越扁．

(2)当→0时，c→0，此时b→a，椭圆越圆；当→＋∞时，b→0，此时c→a，椭圆越扁．

2．比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁(填序号)．

    ①　[x2＋9y2＝36化为标准方程得＋＝1，故离心率e1＝＝；椭圆＋＝1的离心率e2＝．因为e1＞e2，所以①更扁．]

类型1　已知椭圆方程研究其几何性质

【例1】　求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

[解]　把已知方程化成标准方程＋＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点分别是F1(－3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)和B2(0，4)．

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．

2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．

提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．

[跟进训练]

1．求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

[解]　将椭圆方程变形为＋＝1，

∴a＝3，b＝2，∴c＝＝＝．

∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a＝6，2c＝2，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，

顶点坐标为A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，离心率e＝＝．

类型2　利用几何性质求椭圆的标准方程

【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦距，且离心率为；

(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)．

[解]　(1)将方程4x2＋9y2＝36化为＋＝1，

可得椭圆焦距为2c＝2．又因为离心率e＝，

即＝，所以a＝5，从而b2＝a2－c2＝25－5＝20．

若椭圆焦点在x轴上，则其标准方程为＋＝1；

若椭圆焦点在y轴上，则其标准方程为＋＝1．

(2)依题意2a＝2×2b，即a＝2b．

若椭圆焦点在x轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，

则有解得

所以标准方程为＋＝1．

若椭圆焦点在y轴上，设其方程为＋＝1(a＞b＞0)，

则有解得

所以标准方程为＋＝1．

利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项

根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：1求出a2，b2的值；2确定焦点所在的坐标轴；3写出标准方程.

在求解a2，b2时常用方程组思想，通常由已知条件与关系式a2＝b2＋c2，e＝等构造方程组加以求解.

提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.

[跟进训练]

2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：  

(1)长轴长是10，离心率是；

(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．

[解]　(1)设椭圆的方程为

＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．

由已知得2a＝10，a＝5，e＝＝，∴c＝4．

∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．

∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1．

(2)依题意可设椭圆方程为

＋＝1(a＞b＞0)．

如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，

且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，2c＝6，

∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的方程为＋＝1．

类型3　求椭圆的离心率

【例3】　(对接教材人教B版P132例2)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．

求椭圆离心率的关键是什么？

[提示]　根据e＝，a2－b2＝c2，可知要求e，关键是找出a，b，c的等量关系．

[解]　设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c，0)，F2(c，0)．

依题意设A点坐标为，

则B点坐标为，

∴|AB|＝．

由△ABF2是正三角形得2c＝×，

即b2＝2ac．

又∵b2＝a2－c2，∴a2－c2－2ac＝0，

两边同除以a2得×＋2×－＝0，

解得e＝＝．

求椭圆离心率的方法

(1)直接求出a和c，再求e＝，也可利用e＝求解．

(2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解．

[跟进训练]

3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

D　[由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，

过点P作x轴的垂线，垂足为B．设|F1F2|＝2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∠PF2B＝60°．∵|OF2|＝c，∴点P的坐标为(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即点P(2c，c)．∵点P在过A且斜率为的直线上，∴＝，∴a＝4c，∴＝，即椭圆C的离心率e＝．

]

1．椭圆＋＝1的离心率(　　)

A．　　B．    C．    D．

A　[a2＝16，b2＝9，c2＝7，

从而e＝＝．]

2．若中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1   D．＋＝1

A　[由已知得a＝9，2c＝×2a，∴c＝a＝3，b2＝a2－c2＝72．

又焦点在x轴上，

∴椭圆方程为＋＝1．]

3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　)

A．  B．2  C．  D．4

C　[椭圆x2＋my2＝1化为标准形式为：x2＋＝1．

因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以＝4，所以m＝．]

4．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法：

①焦距为n－m；

②短轴长为；

③离心率e＝．

其中正确说法的序号为________．

①③　[由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，

∴2b＝2＝2，

e＝，故①③正确，②不正确．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

1．在椭圆的性质中，哪些是与位置无关的？哪些是与位置有关的？

[提示]　椭圆的对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率等与位置无关；顶点坐标、焦点坐标等与位置有关．

2．a，b，c对椭圆形状有何影响？

[提示]